VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc b, ta chứng minh a || a’, ở đó a’ vuông góc b. BÀI TẬP DẠNG 4: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC. Lấy M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SB và SC. Chứng minh rằng AM vuông góc với NP. Do N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC nên NP là đường trung bình của tam giác SBC, từ đó suy ra NP || BC. Mặt khác, do tam giác ABC cân tại A, suy ra trung tuyến AM vuông góc BC. Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Lấy M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC. Do tứ giác BBCC là hình bình hành nên BC || BC. Mặt khác, do tam giác ABC đều nên AM vuông góc BC. Từ (1)(2) suy ra AM vuông góc B’C’.
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD cạnh a. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Trên cạnh BC lấy điểm P sao cho CP = c (0 < 0 < a). Trên cạnh CD lấy điểm 2 sao cho CQ = 0. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ. Do tứ giác BB'DD là hình chữ nhật, suy ra BD || B'D'. Do ABCD là hình vuông, suy ra BD vuông góc AC. Từ (1)(2) suy ra B'D vuông góc AC. Theo bài ra ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN || AC.
Một trong những mối quan hệ cơ bản trong hình học sơ cấp là mối quan hệ từ vuông góc đến song song. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin gửi đến các bạn một số bài toán cơ bản của chủ đề này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết về quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song, vừa đưa ra ví dụ cụ thể nhằm giúp các bạn nắm vững và áp dụng vào giải toán. Cùng Kiến Guru tìm hiểu nhé:
1. Từ vuông góc đến song song: Kiến thức cần nhớ.
1. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc trong hình học phẳng.
Ta có hai tính chất cơ bản sau:
- Khi hai đường thẳng phân biệt, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì lúc đó, chúng sẽ song song với nhau.
Cụ thể:
- Cho hai đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng khác vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng đã cho, thì hiển nhiên nó cũng sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.
Cụ thể:
2. Các đường thẳng song song.
Cho hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với đường thẳng thứ ba thì cả ba đường thẳng đó đôi một song song nhau.
Cụ thể:
II. Từ vuông góc đến song song - các dạng bài tập thường gặp.
Dạng 1: Nhận biết song song và vuông góc.
Phương pháp:
Dạng này thường sử dụng mối quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc của hai đường thẳng cho trước với đường thẳng thứ ba:
- Nếu 2 đường thằng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì song song nhau.
- Nếu đường thẳng vuông góc với 1 trong cặp đường thẳng song song thì vuông góc đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì 3 đường thẳng này đôi một song song.
Bài 1: Hoàn thành câu sau:
- Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c, và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì…
- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, …..thì đường thẳng c cũng vuông góc với đường thẳng a.
Hướng dẫn:
- đường thẳng a song song đường thẳng b.
- đường thẳng c vuông góc với đường thẳng b.
Nhận xét: đối với những bài dạng này, ta chỉ cần áp dụng các tính chất cơ bản đã trình bày ở mục 1 là sẽ dễ dàng tìm ra đáp án. Bài này thuộc mức độ đọc hiểu, không yêu cầu vận dụng lý thuyết nhiều.
Bài 2: Cho đường thẳng d song song với d’. Vẽ đường thẳng d’’ song song với d (chú ý d’’ và d’ là phân biệt).
Chứng minh d’ song song với d’’?
Hướng dẫn:
Để chứng minh 2 đường thẳng song song, ta sẽ sử dụng phương pháp hay được sử dụng trong toán lớp 7, đó là phương pháp phản đề.
- Giả sử d’ không song song với d’’.
Gọi M là giao điểm của d’ và d’’, khi đó M không nằm trên d, vì
Ta thấy, qua điểm M không thuộc đường thẳng d, ta lại vẽ được tận 2 đường thẳng d’ và d’’ cùng song song với d, điều này là vô lý vì trái với tiên đề Ơ-clit.
Vì vậy vậy điều giả sử là sai, tức là d’ và d’’ không thể cắt nhau.
Suy ra d’ song song d’’.
Dạng 2: Tính số đo các góc.
Phương pháp:
- Vẽ thêm đường thẳng (nếu cần)
- Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, vị trí các góc so le trong, góc đồng vị, góc kề bù để tính toán.
- Nhắc laị tính chất: Khi 2 đường thẳng song song được cắt bởi 1 đường thẳng thứ ba:
+ Hai góc so le trong bằng nhau.
+ Hai góc đồng vị bằng nhau.
+ Hai góc trong cùng phía có tổng là 180 độ.
Bài 3: Cho hình vẽ sau:
giải thích vì sao
Tính
Hướng dẫn:
a song song b vì hai đường thẳng này đều vuông góc với đường thẳng c.
Ta có
suy ra:
Bài 4: Cho hình vẽ sau, biết rằng a song song b,
Hướng dẫn:
Vì a song song b, mà
Suy ra
Dựa vào tính chất hai góc trong cùng phía, lại có:
suy ra:
Bài 5: Xem xét hình vẽ dưới, biết rằng góc A1 có số đo 120 độ, góc D1 bằng 60 độ, góc C1 là 135 độ. Tính giá trị góc x?
Hướng dẫn:
Dựa theo tính chất hai góc kề bù:
suy ra:
từ đó
Lại có:
Mặt khác, AB song song CD nên
Bài 6: Cho hình vẽ dưới đây:
Biết rằng
AD với BC có song song với nhau không? Tại sao?
Tính giá trị góc
Hướng dẫn:
Ta có:
(tính chất mối quan hệ giữa song song và vuông góc)
Do AD song song BC (câu a), suy ra:
Tương tự ta sẽ tính được giá trị các góc còn lại dựa vào tính chất các góc kề bù, góc đồng vị và góc so le trong.
Trên đây là tổng hợp các lý thuyết cơ bản trong chủ đề từ vuông góc đến song song của hình học lớp 7. Qua đây, hy vọng các bạn sẽ tự ôn tập và rèn luyện tư duy giải toán hình của mình. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng, các bạn cần nắm vững. Ngoài ra, còn nhiều bài học và bài tập bổ ích khác về mối quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song trên App Kiến Guru, mời bạn tải app Kiến để tham khảo nhé. Chúc các bạn học tập tốt.