Một trong những đặc điểm chính trong đại số, và thực sự là trong tất cả toán học, là mức độ. Tất nhiên, trong thế kỷ 21, tất cả các phép tính đều có thể được thực hiện trên máy tính trực tuyến, nhưng tốt hơn hết là bạn nên tự học cách thực hiện vì sự phát triển của não bộ. Show
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét nhất câu hỏi quan trọng liên quan đến định nghĩa này. Cụ thể, chúng ta sẽ hiểu nó nói chung là gì và chức năng chính của nó là gì, những tính chất nào tồn tại trong toán học. Hãy xem các ví dụ về phép tính trông như thế nào, các công thức cơ bản là gì. Chúng ta sẽ phân tích các loại đại lượng chính và chúng khác với các hàm khác như thế nào. Chúng tôi sẽ hiểu cách giải quyết các vấn đề khác nhau bằng cách sử dụng giá trị này. Chúng tôi sẽ chỉ ra với các ví dụ về cách nâng cao đến mức 0, không hợp lý, tiêu cực, v.v. Máy tính lũy thừa trực tuyếnMức độ của một số là gìBiểu thức "nâng một số lên thành lũy thừa" có nghĩa là gì? Bậc n của một số a là tích của các thừa số a n lần liên tiếp.  Về mặt toán học, nó trông như thế này: a n = a * a * a *… a n. Ví dụ:
Dưới đây là bảng các hình vuông và hình lập phương từ 1 đến 10. Bảng độ từ 1 đến 10Dưới đây là kết quả của việc nâng các số tự nhiên lên lũy thừa dương - "từ 1 đến 100". Ch-loLớp 2lớp 3111248392741664525125636216749343864512981279101001000Tính chất bằng cấpĐiều gì là điển hình cho như vậy hàm toán học? Chúng ta hãy xem xét các thuộc tính cơ bản. Các nhà khoa học đã thiết lập những điều sau dấu hiệu đặc trưng của tất cả các độ:
Hãy kiểm tra với các ví dụ: 2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Mặt khác 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32. Tương tự: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Nếu không thì 2 3-2 = 2 1 = 2. (2 3) 2 = 8 2 = 64. Nếu khác thì sao? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64. Như bạn có thể thấy, các quy tắc hoạt động. Nhưng làm thế nào để được với phép cộng và phép trừ? Mọi thứ đều đơn giản. Luỹ thừa đầu tiên được thực hiện, và chỉ sau đó cộng và trừ. Hãy xem các ví dụ:
Nhưng trong trường hợp này, trước tiên bạn phải tính phép cộng, vì có các hành động trong ngoặc: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512. Làm thế nào để sản xuất tính toán nhiều hơn ca khó ? Thứ tự giống nhau:
Có những thuộc tính cụ thể không phải là đặc trưng của tất cả các mức độ:
Những quy tắc này quan trọng trong trường hợp cá nhân, chúng tôi sẽ xem xét chúng chi tiết hơn bên dưới. Mức độ có số mũ âmLàm gì với một mức độ âm, tức là, khi chỉ báo là âm? Dựa trên thuộc tính 4 và 5(xem điểm trên) hóa ra: A (- n) \ u003d 1 / A n, 5 (-2) \ u003d 1/5 2 \ u003d 1/25. Và ngược lại: 1 / A (- n) \ u003d A n, 1/2 (-3) \ u003d 2 3 \ u003d 8. Nếu nó là một phân số thì sao? (A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9. Mức độ với một chỉ số tự nhiênNó được hiểu là bậc có số mũ bằng số nguyên. Những điều cần nhớ: A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… vv. A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… vv. Ngoài ra, nếu (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2… thì kết quả sẽ có dấu “+”. Nếu một số âm được nâng lên thành không mức độ đồng đều, sau đó ngược lại. Các thuộc tính chung và tất cả các tính năng cụ thể được mô tả ở trên, cũng là đặc trưng của chúng. Độ phân đoạnChế độ xem này có thể được viết dưới dạng lược đồ: A m / n. Nó được đọc là: căn bậc n của số A với lũy thừa của m. Với chỉ báo phân số, bạn có thể làm bất cứ điều gì: giảm, phân hủy thành các phần, nâng lên một mức độ khác, v.v. Mức độ với số mũ vô tỉCho α là một số vô tỉ và А ˃ 0. Để hiểu bản chất của mức độ với một chỉ số như vậy, Hãy xem xét các trường hợp có thể xảy ra khác nhau:
A r 1 ˂ A α ˂ A r 2, r 1 ˂ r 2 - số hữu tỉ;
Trong trường hợp này, ngược lại: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 trong cùng điều kiện như trong đoạn thứ hai. Ví dụ, số mũ là số π.Đó là lý trí. r 1 - trong trường hợp này nó bằng 3; r 2 - sẽ bằng 4. Khi đó, với A = 1 thì 1 π = 1. A = 2 thì 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16. A = 1/2 thì (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8. Các mức độ như vậy được đặc trưng bởi tất cả các phép toán và các tính chất cụ thể được mô tả ở trên. Sự kết luậnHãy tóm tắt - những giá trị này để làm gì, những lợi thế của các chức năng như vậy là gì? Tất nhiên, trước hết, chúng đơn giản hóa cuộc sống của các nhà toán học và lập trình khi giải các ví dụ, vì chúng cho phép giảm thiểu các phép tính, giảm thuật toán, hệ thống hóa dữ liệu, v.v. Những kiến thức này có thể hữu ích ở đâu khác? Trong bất kỳ chuyên ngành nào: y học, dược học, nha khoa, xây dựng, công nghệ, kỹ thuật, thiết kế, v.v. Trong khuôn khổ tài liệu này, chúng tôi sẽ phân tích lũy thừa của một số là gì. Ngoài các định nghĩa cơ bản, chúng ta sẽ hình thành độ với số mũ tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ là gì. Như mọi khi, tất cả các khái niệm sẽ được minh họa bằng các ví dụ về nhiệm vụ. Yandex.RTB R-A-339285-1 Đầu tiên chúng tôi xây dựng định nghĩa cơ bảnđộ với một chỉ số tự nhiên. Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ các quy tắc cơ bản của phép nhân. Hãy để chúng tôi làm rõ trước đó làm cơ sở mà chúng tôi sẽ lấy ngay bây giờ số thực(ký hiệu bằng chữ a), và như một chỉ số - tự nhiên (ký hiệu bằng chữ n). Định nghĩa 1 Lũy thừa của a với số mũ tự nhiên n là tích của số thừa số thứ n, mỗi thừa số đều bằng số a. Mức độ được viết như thế này: một và ở dạng công thức, thành phần của nó có thể được biểu diễn như sau: Ví dụ, nếu số mũ là 1 và cơ số là a, thì lũy thừa đầu tiên của a được viết dưới dạng một 1. Cho rằng a là giá trị của thừa số và 1 là số thừa số, chúng ta có thể kết luận rằng a 1 = a. Nói chung, chúng ta có thể nói rằng mức độ là một ký hiệu thuận tiện một số lượng lớn số nhân bằng nhau. Vì vậy, một bản ghi của biểu mẫu 8 8 8 8 có thể được giảm xuống 8 4 . Theo cách tương tự, công việc giúp chúng ta tránh viết một số lượng lớn số hạng (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); chúng tôi đã phân tích điều này trong bài báo dành cho phép nhân các số tự nhiên. Làm thế nào để đọc chính xác hồ sơ của mức độ? Phương án thường được chấp nhận là "a theo lũy thừa của n". Hoặc bạn có thể nói "sức mạnh thứ n của a" hoặc "sức mạnh thứ n". Giả sử trong ví dụ có một mục nhập 8 12 , chúng ta có thể đọc "8 đến lũy thừa 12", "8 lũy thừa 12" hoặc "lũy thừa 12 trong 8". Mức độ thứ hai và thứ ba của số có tên riêng của chúng: hình vuông và hình lập phương. Nếu chúng ta nhìn thấy lũy thừa thứ hai, chẳng hạn, của số 7 (7 2), thì chúng ta có thể nói "7 bình phương" hoặc "bình phương của số 7". Tương tự, mức độ thứ ba được đọc như thế này: 5 3 là "khối của số 5" hoặc "khối 5". Tuy nhiên, cũng có thể sử dụng từ ngữ tiêu chuẩn “ở mức độ thứ hai / thứ ba”, điều này sẽ không sai. ví dụ 1 Hãy xem một ví dụ về mức độ với chỉ số tự nhiên: cho 5 7 năm sẽ là cơ sở và bảy sẽ là chỉ số. Cơ sở không nhất thiết phải là số nguyên: cho mức độ (4 , 32) 9 cơ số sẽ là phân số 4, 32 và số mũ sẽ là chín. Hãy chú ý đến dấu ngoặc: ký hiệu như vậy được thực hiện cho tất cả các độ, các cơ số của chúng khác với các số tự nhiên. Ví dụ: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3. Dấu ngoặc để làm gì? Chúng giúp tránh sai sót trong tính toán. Giả sử chúng ta có hai mục nhập: (− 2) 3 và − 2 3 . Đầu tiên trong số chúng có nghĩa là một số âm trừ đi hai, được nâng lên thành lũy thừa với số mũ tự nhiên là ba; thứ hai là số tương ứng với ý nghĩa ngược lạiđộ 2 3 . Đôi khi trong sách, bạn có thể tìm thấy cách viết hơi khác về mức độ của một số - a ^ n(trong đó a là cơ số và n là số mũ). Vì vậy, 4 ^ 9 giống như 4 9 . Trong trường hợp n là số có nhiều chữ số, nó được đặt trong ngoặc đơn. Ví dụ: 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Nhưng chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu một như phổ biến hơn. Cách tính giá trị của một độ với số mũ tự nhiên rất dễ đoán từ định nghĩa của nó: bạn chỉ cần nhân một số thứ n với số lần. Chúng tôi đã viết thêm về điều này trong một bài báo khác. Khái niệm mức độ là đối lập với một khái niệm toán học- gốc của số. Nếu chúng ta biết giá trị của số mũ và số mũ, chúng ta có thể tính được cơ số của nó. Mức độ có một số tính chất cụ thể hữu ích cho việc giải quyết các vấn đề mà chúng tôi đã phân tích trong một tài liệu riêng biệt. Số mũ không chỉ có thể chứa các số tự nhiên mà nói chung là bất kỳ giá trị số nguyên nào, kể cả các số âm và số không, vì chúng cũng thuộc tập hợp các số nguyên. Định nghĩa 2 Bậc của một số với số mũ nguyên dương có thể được hiển thị dưới dạng công thức: Hơn nữa, n là bất kỳ số nguyên dương nào. Hãy đối phó với khái niệm không độ. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp có tính đến thuộc tính của thương số cho các lũy thừa với căn cứ bình đẳng. Nó được xây dựng như sau: Định nghĩa 3 Bình đẳng a m: a n = a m - n sẽ đúng với các điều kiện sau: m và n là các số tự nhiên, m< n , a ≠ 0 . Điều kiện cuối cùng là quan trọng vì nó tránh chia hết cho số không. Nếu giá trị của m và n bằng nhau thì ta nhận được kết quả như sau: a n: a n = a n - n = a 0 Nhưng đồng thời a n: a n = 1 - thương của các số bằng nhau một và a. Nó chỉ ra rằng độ không của bất kỳ số nào khác không đều bằng một. Tuy nhiên, một bằng chứng như vậy không phù hợp với 0 đến 0 lũy thừa. Để làm được điều này, chúng ta cần một thuộc tính khác của quyền hạn - tài sản của các sản phẩm của quyền lực với cơ sở ngang nhau. Nó trông như thế này: a m a n = a m + n . Nếu n là 0, thì a m a 0 = a m(sự bình đẳng này cũng chứng minh cho chúng ta thấy rằng a 0 = 1). Nhưng nếu và cũng bằng 0, đẳng thức của chúng ta có dạng 0 m 0 0 = 0 m, Nó sẽ đúng với bất kỳ giá trị tự nhiên nào của n và không quan trọng giá trị chính xác của mức độ là bao nhiêu 0 0 , nghĩa là, nó có thể bằng với bất kỳ số nào, và điều này sẽ không ảnh hưởng đến hiệu lực của bình đẳng. Do đó, một bản ghi của biểu mẫu 0 0 không có ý nghĩa đặc biệt của riêng nó, và chúng tôi sẽ không ghi nó vào nó. Nếu muốn, thật dễ dàng để kiểm tra a 0 = 1 hội tụ với tài sản bằng cấp (a m) n = a m n với điều kiện là cơ sở của độ không bằng không. Do đó, bậc của bất kỳ số nào khác 0 với số mũ 0 đều bằng một. Ví dụ 2 Hãy lấy một ví dụ với con số cụ thể: Cho nên, 5 0 - đơn vị, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1, và giá trị 0 0 không xác định. Sau độ 0, chúng ta vẫn phải tìm ra độ âm là gì. Để làm điều này, chúng ta cần cùng một tính chất của tích lũy thừa với các cơ số bằng nhau, mà chúng ta đã sử dụng ở trên: a m · a n = a m + n. Ta đưa ra điều kiện: m = - n thì a không được bằng không. Nó theo sau đó a - n a n = a - n + n = a 0 = 1. Nó chỉ ra rằng một n và một chúng ta có các số tương hỗ lẫn nhau. Kết quả là, một lũy thừa số nguyên âm không là gì khác ngoài một phân số 1 a n. Công thức này xác nhận rằng đối với một mức độ với một số nguyên chỉ báo tiêu cực tất cả các thuộc tính tương tự mà một bậc với số mũ tự nhiên có (với điều kiện là cơ số không bằng 0) đều hợp lệ. Ví dụ 3 Lũy thừa a với số nguyên âm n có thể được biểu diễn dưới dạng phân số 1 a n. Do đó, a - n = 1 a n với điều kiện a ≠ 0 và n là bất kỳ số tự nhiên. Hãy minh họa ý tưởng của chúng tôi bằng các ví dụ cụ thể: Ví dụ 4 3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1 Trong phần cuối cùng của đoạn văn, chúng tôi sẽ cố gắng mô tả mọi thứ đã được nói rõ ràng trong một công thức: Định nghĩa 4 Lũy thừa của a với số mũ tự nhiên z là: a z = a z, e c và z là số nguyên dương 1, z = 0 và a ≠ 0, (nếu z = 0 và a = 0 ta nhận được 0 0, các giá trị của biểu thức 0 0 không được xác định) 1 a z, nếu z là số nguyên âm và a ≠ 0 (nếu z là số nguyên âm và a = 0 ta nhận được 0 z, đó là a n d e n t i o n) Độ với số mũ hữu tỉ là gìChúng tôi đã phân tích các trường hợp khi số mũ là một số nguyên. Tuy nhiên, bạn cũng có thể nâng một số lên lũy thừa khi số mũ của nó là một số phân số. Đây được gọi là độ chỉ báo hợp lý. Trong phần phụ này, chúng ta sẽ chứng minh rằng nó có cùng tính chất với các lũy thừa khác. Số hữu tỉ là gì? Tập hợp của chúng bao gồm cả số nguyên và số phân số, trong khi số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường (cả số dương và số âm). Chúng ta xây dựng định nghĩa bậc của một số a với số mũ phân số m / n, trong đó n là số tự nhiên và m là số nguyên. Chúng ta có một số mức độ với một số mũ phân số a m n. Để tính chất lũy thừa có một bậc thì đẳng thức a m n n = a m n · n = a m phải đúng. Với định nghĩa của căn bậc n và a m n n = a m, chúng ta có thể chấp nhận điều kiện a m n = a m n nếu a m n phù hợp với các giá trị đã cho của m, n và a. Các tính chất trên của bậc với số mũ nguyên sẽ đúng với điều kiện a m n = a m n. Kết luận chính từ suy luận của chúng tôi như sau: bậc của một số a với số mũ phân số m / n là căn bậc n từ số a đến lũy thừa m. Điều này đúng nếu, với các giá trị đã cho của m, n và a, biểu thức a m n có nghĩa. 1. Chúng ta có thể giới hạn giá trị của cơ số bậc: lấy a, với giá trị dương của m sẽ lớn hơn hoặc bằng 0, và đối với giá trị âm thì nó sẽ nhỏ hơn hẳn (vì đối với m ≤ 0 chúng tôi nhận được 0 m, nhưng mức độ này không được xác định). Trong trường hợp này, định nghĩa của mức độ với số mũ phân số sẽ giống như sau: Số mũ phân số m / n với một số dương a là căn thứ n của a được nâng lên lũy thừa m. Dưới dạng công thức, điều này có thể được biểu diễn như sau: Đối với bậc có cơ số 0, quy định này cũng phù hợp, nhưng chỉ khi số mũ của nó là một số dương. Một lũy thừa với cơ số 0 và một số mũ phân số dương m / n có thể được biểu thị bằng 0 m n = 0 m n = 0 với điều kiện là m nguyên dương và n tự nhiên. Với tỷ lệ âm m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет. Hãy lưu ý một điểm. Vì chúng tôi đã đưa ra điều kiện a lớn hơn hoặc bằng 0 nên chúng tôi đã loại bỏ một số trường hợp. Biểu thức a m n đôi khi vẫn có ý nghĩa đối với một số giá trị âm của a và một số giá trị âm của m. Vì vậy, các mục đúng là (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, trong đó cơ số là âm. 2. Cách tiếp cận thứ hai là xét riêng căn a m n với số mũ chẵn và lẻ. Sau đó, chúng ta cần giới thiệu thêm một điều kiện: bậc a, trong số mũ có một phân số thông thường rút gọn, được coi là bậc a, trong số mũ có phân số bất khả quy tương ứng. Sau đó chúng tôi sẽ giải thích lý do tại sao chúng tôi cần điều kiện này và tại sao nó lại quan trọng như vậy. Do đó, nếu chúng ta có một bản ghi a m · k n · k, thì chúng ta có thể rút gọn nó thành m n và đơn giản hóa các phép tính. Nếu n là số lẻ, m dương và a là bất kỳ số nào không âm thì a m n có nghĩa. Điều kiện đối với a không âm là cần thiết, vì căn bậc chẵn không được lấy ra từ một số âm. Nếu giá trị của m là dương, thì a có thể vừa âm vừa bằng không, bởi vì Một căn lẻ có thể được lấy từ bất kỳ số thực nào. Hãy kết hợp tất cả dữ liệu phía trên định nghĩa trong một mục nhập: Ở đây m / n có nghĩa là một phân số bất khả quy, m là một số nguyên bất kỳ và n là một số tự nhiên bất kỳ. Định nghĩa 5 Đối với bất kỳ phân số rút gọn thông thường nào m · k n · k, bậc có thể được thay thế bằng m n. Lũy thừa của a với số mũ phân số bất khả quy m / n - có thể được biểu thị dưới dạng m n trong những trường hợp sau: - với bất kỳ số nguyên, a thực nào giá trị tích cực m và số nguyên dương lẻ n. Ví dụ: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19. Đối với bất kỳ số thực nào khác không a, các giá trị nguyên âm của m và các giá trị lẻ của n, ví dụ: 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7 Với mọi giá trị nguyên dương không âm của m và n chẵn, chẳng hạn, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18. Ví dụ, với bất kỳ a dương, số nguyên âm m và n chẵn, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3 ,. Trong trường hợp các giá trị khác, mức độ với số mũ phân số không được xác định. Ví dụ về các lũy thừa như vậy: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5. Bây giờ chúng ta hãy giải thích tầm quan trọng của điều kiện được đề cập ở trên: tại sao lại thay thế một phân số bằng một số mũ có thể rút gọn cho một phân số bằng một số bất khả quy. Nếu chúng ta không làm điều này, thì những tình huống như vậy đã xảy ra, chẳng hạn, 6/10 = 3/5. Khi đó (- 1) 6 10 = - 1 3 5 đúng, nhưng - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, và (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1. Định nghĩa về bậc với số mũ phân số mà chúng tôi đưa ra đầu tiên, thuận tiện hơn để áp dụng vào thực tế so với định nghĩa thứ hai, vì vậy chúng tôi sẽ tiếp tục sử dụng nó. Định nghĩa 6 Do đó, lũy thừa của một số dương a với số mũ phân số m / n được xác định là 0 m n = 0 m n = 0. Trong trường hợp tiêu cực một ký hiệu a m n không có ý nghĩa. Mức độ bằng 0 cho số mũ phân số dương m / nđược định nghĩa là 0 m n = 0 m n = 0, đối với số mũ phân số âm chúng ta không xác định mức độ bằng không. Trong phần kết luận, chúng tôi lưu ý rằng bất kỳ chỉ số phân số nào cũng có thể được viết dưới dạng hỗn số và ở dạng phân số thập phân: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7. Khi tính toán, tốt hơn là thay thế số mũ phần chung và sau đó sử dụng định nghĩa của mức độ với một số mũ phân số. Đối với các ví dụ trên, chúng tôi nhận được: 5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7 Mức độ với số mũ thực và phi lý là gìSố thực là gì? Chúng bao gồm cả lý trí và số vô tỉ. Vì vậy, để hiểu những gì một mức độ với chỉ số thực, chúng ta cần xác định độ với số mũ hữu tỉ và vô tỉ. Về lý trí chúng ta đã nói ở trên rồi. Hãy từng bước giải quyết các chỉ số bất hợp lý. Ví dụ 5 Giả sử chúng ta có một số vô tỉ a và một dãy các số gần đúng thập phân của nó a 0, a 1, a 2 ,. . . . Ví dụ, hãy lấy giá trị a = 1, 67175331. . . , sau đó a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671 ,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753 ,. . . Chúng ta có thể liên kết chuỗi các phép gần đúng với chuỗi các lũy thừa a a 0, a 1, a 2 ,. . . . Nếu chúng ta nhớ lại những gì chúng ta đã nói trước đó về việc tăng số lượng lên mức độ hợp lý, sau đó chúng ta có thể tự mình tính toán giá trị của các quyền hạn này. Lấy ví dụ a = 3, thì a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753 ,. . . vân vân. Dãy số có thể rút gọn thành một số, sẽ là giá trị của bậc với cơ số a và số mũ vô tỉ a. Kết quả là: một bậc có số mũ vô tỉ có dạng 3 1, 67175331. . có thể rút gọn thành số 6, 27. Định nghĩa 7 Lũy thừa của một số dương a với số mũ vô tỉ a được viết dưới dạng a. Giá trị của nó là giới hạn của dãy a a 0, a a 1, a 2 ,. . . , trong đó a 0, a 1, a 2 ,. . . là các xấp xỉ thập phân liên tiếp của số vô tỉ a. Bậc với cơ số 0 cũng có thể được xác định cho số mũ vô tỉ dương, trong khi 0 a \ u003d 0 Vì vậy, 0 6 \ u003d 0, 0 21 3 3 \ u003d 0. Và đối với các giá trị âm, điều này không thể được thực hiện, vì, ví dụ, giá trị 0 - 5, 0 - 2 π không được xác định. Đơn vị được nâng lên bất kỳ mức độ phi lý, vẫn là một, chẳng hạn, và 1 2, 1 5 thành 2 và 1 - 5 sẽ bằng 1. Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter Công thức lũy thừađược sử dụng trong quá trình cắt giảm và đơn giản hóa biểu thức phức tạp, trong việc giải phương trình và bất phương trình. Con số c là một N-lũy thừa thứ của một số một khi nào: Các phép toán có độ. 1. Nhân các độ với cùng một cơ sở, các chỉ số của chúng cộng lại: làa n = a m + n. 2. Trong phép chia độ có cùng cơ số, các chỉ số của chúng bị trừ đi: 3. Mức độ của sản phẩm của 2 hoặc hơn các yếu tố bằng tích lũy thừa của các yếu tố này: (abc…) n = a n b n c n… 4. Bậc của một phân số bằng tỉ số của số bị chia và số bị chia: (a / b) n = a n / b n. 5. Nâng một lũy thừa thành lũy thừa, số mũ được nhân lên: (am) n = a m n. Mỗi công thức trên đều đúng theo hướng từ trái sang phải và ngược lại. Ví dụ. (2 3 5/15) ² = 2² 3² 5² / 15² = 900/225 = 4. Các phép toán với rễ. 1. Tích số của một số yếu tố bằng tích của các nguyên tố sau: 2. Căn của tỉ số bằng tỉ số của số bị chia và số chia của các căn: 3. Khi nâng số gốc thành lũy thừa, chỉ cần nâng số gốc lên lũy thừa: 4. Nếu chúng ta tăng mức độ của gốc trong N một lần và đồng thời nâng lên N lũy thừa thứ là một số gốc, khi đó giá trị của gốc sẽ không thay đổi: 5. Nếu chúng ta giảm mức độ của gốc trong N root cùng một lúc N bậc từ số căn, khi đó giá trị của căn sẽ không thay đổi: Bằng với một số mũ âm. Bậc của một số có số mũ không dương (nguyên) được định nghĩa là một số chia cho bậc của cùng một số với số mũ bằng giá trị tuyệt đối chỉ báo không tích cực: Công thức là: a n = a m - n có thể được sử dụng không chỉ cho m> N, mà còn ở m< N. Ví dụ. một4: a 7 = a 4 - 7 = a -3. Để công thức là: a n = a m - n trở nên công bằng tại m = n, bạn cần sự hiện diện của độ không. Bậc có số mũ bằng không. Lũy thừa của bất kỳ số nào khác 0 với số mũ bằng 0 đều bằng một. Ví dụ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1. Một mức độ với một số mũ phân số.Để nâng một số thực mộtđến một mức độ m / n, bạn cần giải nén gốc N mức độ thứ của m sức mạnh thứ của con số này một. Như bạn đã biết, trong toán học không chỉ có số dương mà còn có số âm. Nếu việc làm quen với các độ dương bắt đầu bằng việc xác định diện tích của một hình vuông, thì với các độ âm, mọi thứ có phần phức tạp hơn. Điều này nên được biết:
Nâng một số lên môđun công suất âm từ 0 đến mộtĐầu tiên, chúng ta phải nhớ một mô-đun là gì. Đây là khoảng cách trên đường tọa độ từ giá trị chúng ta đã chọn đến điểm gốc (số không của đường tọa độ). Theo định nghĩa, nó không bao giờ có thể là tiêu cực. Giá trị lớn hơn 0Với giá trị của một chữ số trong phạm vi từ 0 đến 1, một chỉ báo âm cho biết sự gia tăng của chính chữ số đó. Điều này xảy ra bởi vì mẫu số giảm, trong khi vẫn còn dương. Hãy xem các ví dụ:
Hơn nữa, mô-đun của chỉ báo càng lớn, thì con số càng tăng trưởng tích cực. Khi mẫu số có xu hướng bằng 0, bản thân phân số có xu hướng cộng với vô hạn. Giá trị nhỏ hơn 0Bây giờ chúng ta hãy xem cách xây dựng trong quyền lực tiêu cực nếu số nhỏ hơn 0. Nguyên tắc giống như trong phần trước, nhưng dấu của số mũ quan trọng ở đây. Hãy xem lại các ví dụ:
TẠI trường hợp này, chúng ta thấy rằng mô-đun tiếp tục phát triển, nhưng dấu hiệu phụ thuộc vào số mũ là chẵn hay lẻ. Cần lưu ý rằng nếu chúng ta xây dựng một đơn vị, nó sẽ luôn là chính nó. Nếu bạn cần tăng một số trừ đi một, thì khi số mũ chẵnđộ, nó sẽ biến thành một, với một độ lẻ, nó sẽ vẫn là trừ một. Nâng lên thành lũy thừa số nguyên âm nếu môđun lớn hơn mộtĐối với các chữ số có môđun lớn hơn một, có đặc điểm riêng của hành động. Trước hết, bạn cần chuyển toàn bộ phần của phân số thành tử số, tức là chuyển thành phân số không đúng. Nếu chúng ta có số thập phân, sau đó nó phải được chuyển đổi thành bình thường. Điều này được thực hiện như sau:
Bây giờ, hãy xem xét cách nâng một số thành lũy thừa âm trong các điều kiện này. Từ những điều trên, chúng ta có thể giả định những gì chúng ta nên mong đợi từ kết quả của các phép tính. Vì phân số kép được đảo ngược trong quá trình đơn giản hóa, nên môđun của chữ số sẽ giảm càng nhanh, môđun của chỉ số càng lớn. Trước tiên, hãy xem xét tình huống nơi số đã cho là số dương. Trước hết, rõ ràng là kết quả cuối cùng sẽ là Hơn không, bởi vì chia hai dương luôn cho một dương. Một lần nữa, chúng ta hãy xem xét các ví dụ về cách điều này được thực hiện:
Như bạn có thể thấy, các hành động không gây ra bất kỳ khó khăn cụ thể nào và tất cả các giả định ban đầu của chúng tôi hóa ra là đúng. Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp của một chữ số âm. Để bắt đầu, chúng ta có thể giả định rằng nếu chỉ báo chẵn thì kết quả sẽ là dương, nếu chỉ báo lẻ thì kết quả sẽ là âm. Tất cả các tính toán trước đây của chúng tôi trong phần này sẽ được coi là hợp lệ ngay bây giờ. Hãy cùng xem lại các ví dụ:
Vì vậy, tất cả lý luận của chúng tôi hóa ra là đúng. Nâng cao trong trường hợp số mũ phân số âmỞ đây bạn cần nhớ rằng sự cương cứng như vậy tồn tại trích căn bậc của mẫu số từ số ở bậc của tử số. Tất cả lý luận trước đây của chúng tôi cũng vẫn đúng trong lần này. Hãy giải thích các hành động của chúng tôi bằng một ví dụ:
Trong trường hợp này, bạn cần lưu ý nhổ rễ cấp độ cao chỉ có thể ở dạng được chọn đặc biệt và rất có thể loại bỏ dấu của căn (căn bậc hai, căn bậc ba, v.v.) khi tính toán chính xác bạn sẽ không thành công. Tuy nhiên, đã nghiên cứu chi tiết các chương trước, chúng ta không nên mong đợi những khó khăn trong việc tính toán ở trường. Cần lưu ý rằng mô tả của chương này cũng bao gồm cương cứng với một số mũ cố ý không hợp lý, ví dụ, nếu chỉ số trừ PI. Bạn cần phải hành động theo các nguyên tắc được mô tả ở trên. Tuy nhiên, việc tính toán trong những trường hợp như vậy trở nên phức tạp đến mức chỉ những máy tính điện tử mạnh mới có thể làm được. Sự kết luậnHành động chúng tôi đã nghiên cứu là một trong những nhất những nhiệm vụ khó khăn nhất Trong toán học(đặc biệt trong trường hợp giá trị phân số hợp lý hoặc không hợp lý). Tuy nhiên, sau khi nghiên cứu hướng dẫn này chi tiết và từng bước, bạn có thể học cách thực hiện nó hoàn toàn tự động mà không gặp bất kỳ sự cố nào. Cấp độ đầu tiên Mức độ và các thuộc tính của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)Tại sao cần bằng cấp? Bạn cần chúng ở đâu? Tại sao bạn cần dành thời gian nghiên cứu chúng? Để tìm hiểu tất cả về các bằng cấp, chúng dùng để làm gì, cách sử dụng kiến thức của bạn trong Cuộc sống hàng ngàyđọc bài báo này. Và tất nhiên, biết các bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn với thành công vượt qua OGE hoặc Kỳ thi Quốc gia Thống nhất và để vào trường đại học trong mơ của bạn. Đi thôi đi thôi!) Lưu ý quan trọng! Nếu thay vì các công thức bạn thấy vô nghĩa, hãy xóa bộ nhớ cache của bạn. Để thực hiện việc này, hãy nhấn CTRL + F5 (trên Windows) hoặc Cmd + R (trên Mac). CẤP ĐỘ ĐẦU TIÊNLuỹ thừa cũng vậy phép toán như cộng, trừ, nhân hoặc chia. Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ ngôn ngữ của con người hết sức ví dụ đơn giản. Chú ý. Ví dụ là sơ đẳng, nhưng giải thích những điều quan trọng. Hãy bắt đầu với phép cộng. Không có gì để giải thích ở đây. Bạn đã biết tất cả mọi thứ: có tám người chúng tôi. Mỗi người có hai chai cola. Bao nhiêu cola? Đúng vậy - 16 chai. Bây giờ nhân. Ví dụ tương tự với cola có thể được viết theo một cách khác:. Các nhà toán học là những người tinh ranh và lười biếng. Đầu tiên họ chú ý đến một số mẫu, sau đó nghĩ ra cách để “đếm” chúng nhanh hơn. Trong trường hợp của chúng tôi, họ nhận thấy rằng mỗi người trong số tám người có số chai cola như nhau và đưa ra một kỹ thuật gọi là phép nhân. Đồng ý, nó được coi là dễ dàng hơn và nhanh hơn.
Đây là bảng cửu chương. Lặp lại. Và một cái khác, đẹp hơn: Và các nhà toán học lười biếng đã nghĩ ra những thủ thuật đếm phức tạp nào khác? Chính xác - nâng một số thành một quyền lực. Nâng số thành lũy thừaNếu bạn cần nhân một số với chính nó năm lần, thì các nhà toán học nói rằng bạn cần nâng số này lên lũy thừa thứ năm. Ví dụ, . Các nhà toán học nhớ rằng hai đến lũy thừa thứ năm là. Và họ giải quyết những vấn đề như vậy trong tâm trí - nhanh hơn, dễ dàng hơn và không có lỗi. Để làm điều này, bạn chỉ cần nhớ những gì được tô màu trong bảng lũy thừa của các số. Tin tôi đi, nó sẽ giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều. Nhân tiện, tại sao mức độ thứ hai được gọi là vuông số và thứ ba khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Cao câu hỏi hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối. Ví dụ thực tế # 1Hãy bắt đầu với một bình phương hoặc lũy thừa thứ hai của một số. Hãy tưởng tượng một hồ bơi hình vuông có kích thước từng mét. Hồ bơi ở sân sau của bạn. Trời nóng và tôi thực sự muốn bơi. Nhưng ... một cái hồ bơi không có đáy! Cần phải ốp gạch dưới đáy hồ bơi. Bạn cần bao nhiêu gạch? Để xác định được điều này, bạn cần biết diện tích của đáy bể bơi. Bạn có thể đếm đơn giản bằng cách chọc ngón tay của mình rằng đáy của hồ bơi bao gồm các khối vuông từng mét. Nếu gạch của bạn là từng mét, bạn sẽ cần những miếng. Thật dễ dàng ... Nhưng bạn đã thấy một viên gạch như vậy ở đâu? Viên gạch sẽ thay đổi theo từng cm. Và sau đó bạn sẽ bị dày vò khi "đếm bằng ngón tay". Sau đó, bạn phải nhân lên. Vì vậy, ở một bên của đáy hồ bơi, chúng ta sẽ xếp các miếng gạch (miếng) và mặt khác, cũng sẽ xếp gạch. Nhân với, bạn nhận được gạch (). Bạn có nhận thấy rằng chúng ta nhân cùng một số với chính nó để xác định diện tích của đáy hồ bơi không? Nó có nghĩa là gì? Vì cùng một số được nhân, chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật lũy thừa. (Tất nhiên, khi bạn chỉ có hai số, bạn vẫn cần nhân chúng hoặc nâng chúng lên thành lũy thừa. Nhưng nếu bạn có nhiều chúng, thì việc nâng lên thành lũy thừa sẽ dễ dàng hơn nhiều và cũng ít sai sót trong tính toán hơn. Đối với kỳ thi, điều này rất quan trọng). Ví dụ thực tế cuộc sống # 2Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn, hãy đếm xem có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ vua bằng cách sử dụng bình phương của số ... Trên một mặt của các ô và cả mặt khác. Để đếm số của chúng, bạn cần nhân tám với tám, hoặc ... nếu bạn nhận thấy bàn cờ là một hình vuông với một cạnh, thì bạn có thể vuông tám. Nhận ô. () Cho nên? Ví dụ trong cuộc sống thực # 3Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem lượng nước sẽ phải đổ vào hồ bơi này là bao nhiêu. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ phải không?) Vẽ một cái hồ bơi: một cái đáy có kích thước một mét và sâu một mét và thử tính xem tổng cộng có bao nhiêu hình khối từng mét sẽ lọt vào hồ bơi của bạn. Chỉ cần chỉ ngón tay của bạn và đếm! Một, hai, ba, bốn… hai mươi hai, hai mươi ba… Nó thành ra bao nhiêu? Không bị lạc? Đếm bằng ngón tay có khó không? Vậy nên! Lấy ví dụ từ các nhà toán học. Họ lười biếng, vì vậy họ nhận thấy rằng để tính thể tích của hồ bơi, bạn cần phải nhân chiều dài, chiều rộng và chiều cao của nó với nhau. Trong trường hợp của chúng ta, thể tích của hồ bơi sẽ bằng hình khối ... Dễ dàng hơn, phải không? Bây giờ hãy tưởng tượng các nhà toán học lười biếng và gian xảo như thế nào nếu họ làm điều đó quá dễ dàng. Giảm mọi thứ thành một hành động. Họ nhận thấy rằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau và cùng một số được nhân với chính nó ... Và điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là bạn có thể sử dụng mức độ. Vì vậy, những gì bạn đã từng đếm bằng một ngón tay, chúng thực hiện trong một hành động: ba trong một khối lập phương bằng nhau. Nó được viết như thế này: Chỉ còn lại ghi nhớ bảng độ. Tất nhiên, trừ khi bạn lười biếng và tinh ranh như những nhà toán học. Nếu bạn thích làm việc chăm chỉ và phạm sai lầm, bạn có thể tiếp tục đếm bằng đầu ngón tay của mình. Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được phát minh ra bởi những người đi giày lười và những người xảo quyệt để giải quyết vấn đề vấn đề cuộc sống, và không để tạo ra vấn đề cho bạn, đây là một vài ví dụ khác từ cuộc sống. Ví dụ trong cuộc sống thực # 4Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, bạn kiếm được một triệu nữa cho mỗi triệu. Tức là mỗi triệu của bạn vào đầu mỗi năm sẽ tăng gấp đôi. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm? Nếu bây giờ bạn đang ngồi và "đếm bằng đầu ngón tay", thì bạn là một người rất chăm chỉ và ... ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời trong vài giây, bởi vì bạn là người thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai lần hai ... vào năm thứ hai - điều gì đã xảy ra, thêm hai lần nữa, vào năm thứ ba ... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng con số được nhân với chính nó một lần. Vì vậy, hai đến lũy thừa thứ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và ai tính toán nhanh hơn sẽ nhận được hàng triệu này ... Có đáng để nhớ các con số độ không, bạn nghĩ sao? Ví dụ trong cuộc sống thực # 5Bạn có một triệu. Vào đầu mỗi năm, bạn kiếm thêm được hai cho mỗi triệu. Thật tuyệt vời phải không? Cứ một triệu là tăng gấp ba lần. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong một năm? Hãy đếm. Năm đầu tiên - nhân với, sau đó là kết quả khác ... Nó đã nhàm chán rồi, bởi vì bạn đã hiểu mọi thứ rồi: ba nhân với chính nó lần. Vì vậy, lũy thừa thứ tư là một triệu. Bạn chỉ cần nhớ rằng ba đến lũy thừa thứ tư là hoặc. Bây giờ bạn biết rằng bằng cách nâng một số lên thành lũy thừa, bạn sẽ làm cho cuộc sống của mình dễ dàng hơn nhiều. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những gì bạn có thể làm với bằng cấp và những gì bạn cần biết về chúng. Thuật ngữ và khái niệm ... để không bị nhầm lẫnVì vậy, trước tiên, chúng ta hãy xác định các khái niệm. Bạn nghĩ sao, số mũ là gì? Rất đơn giản - đây là con số “đứng đầu” về sức mạnh của con số. Không khoa học, nhưng rõ ràng và dễ nhớ ... Đồng thời, cái gì như một cơ sở của mức độ? Đơn giản hơn nữa là con số ở dưới cùng, ở gốc. Đây là một hình ảnh để bạn chắc chắn. Nói chung, để khái quát và ghi nhớ tốt hơn ... Bằng cấp có căn "" và chỉ số "" được đọc là "trong độ" và được viết như sau: Lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên Có thể bạn đã đoán được: bởi vì số mũ là một số tự nhiên. Có, nhưng là gì số tự nhiên? Sơ cấp! Số tự nhiên là những số được sử dụng để đếm khi liệt kê các mục: một, hai, ba ... Khi chúng ta đếm các mục, chúng ta không nói: "trừ năm", "trừ sáu", "trừ bảy". Chúng tôi cũng không nói "một phần ba" hay "không phẩy năm phần mười". Đây không phải là số tự nhiên. Bạn nghĩ những con số này là gì? Các số như "trừ năm", "trừ sáu", "trừ bảy" đề cập đến số nguyên. Nói chung, số nguyên bao gồm tất cả các số tự nhiên, các số đối lập với số tự nhiên (nghĩa là, được lấy bằng dấu trừ) và một số. Dễ hiểu là số không - đây là khi không có gì cả. Và số âm ("trừ") có nghĩa là gì? Nhưng chúng được phát minh chủ yếu để chỉ các khoản nợ: nếu bạn có số dư trên điện thoại của mình bằng đồng rúp, điều này có nghĩa là bạn nợ đồng rúp của nhà điều hành. Tất cả các phân số đều là số hữu tỉ. Làm thế nào mà họ đến, bạn có nghĩ? Rất đơn giản. Cách đây vài nghìn năm, tổ tiên của chúng ta đã phát hiện ra rằng họ không có đủ số tự nhiên để đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ… Thật thú vị, phải không? Cũng có những số vô tỉ. Những con số này là gì? Nói tóm lại, một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ, nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, thì bạn nhận được một số vô tỉ. Tóm lược: Hãy xác định khái niệm độ, lũy thừa là một số tự nhiên (nghĩa là số nguyên và số dương).
Sự định nghĩa.Để nâng một số lên thành lũy thừa tự nhiên là nhân số đó với chính nó lần: Tính chất bằng cấpNhững tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn ngay bây giờ. Hãy xem những gì là và ? A-priory: Tổng có bao nhiêu cấp số nhân? Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm các yếu tố vào các yếu tố và kết quả là các yếu tố. Nhưng theo định nghĩa, đây là mức độ của một số có số mũ, nghĩa là:, được yêu cầu chứng minh. Ví dụ: Đơn giản hóa biểu thức. Quyết định: Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức. Quyết định:Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết cần phải cùng một cơ sở! chỉ dành cho các sản phẩm của quyền lực! Bạn không nên viết điều đó trong bất kỳ hoàn cảnh nào. 2. đó là -lũy thừa thứ của một số Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa của mức độ: Nó chỉ ra rằng biểu thức được nhân với chính nó một lần, nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của một số: Trong thực tế, điều này có thể được gọi là "tăng cường chỉ báo". Nhưng bạn không bao giờ có thể làm điều này tổng thể: Hãy nhớ lại các công thức của phép nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng đó không phải là sự thật, thực sự. Mức độ có cơ sở âmCho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ phải là gì. Nhưng những gì nên được cơ sở? Theo độ từ chỉ số tự nhiên cơ sở có thể là bất kỳ số nào. Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, cho dù chúng là số dương, số âm hay số chẵn. Hãy thử nghĩ xem các dấu ("" hoặc "") sẽ có bậc là số dương và số âm nào? Ví dụ, con số sẽ là số dương hay số âm? NHƯNG? ? Với cách đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: bất kể chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương, kết quả sẽ là số dương. Nhưng những cái tiêu cực thú vị hơn một chút. Rốt cuộc, chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ năm lớp 6: "một số trừ nhân với một số trừ sẽ cho một cộng". Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với, nó sẽ ra. Hãy tự mình xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu hiệu gì: 1)2)3)4)5)6)Bạn đã quản lý? Đây là câu trả lời: Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng tôi chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ, và áp dụng quy tắc thích hợp. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Trong ví dụ 5), mọi thứ cũng không đáng sợ như có vẻ như: không quan trọng căn bằng - độ chẵn, nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Chà, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không giống nhau, phải không? Rõ ràng là không, kể từ (bởi vì). Ví dụ 6) không còn đơn giản như vậy nữa! 6 ví dụ thực hànhPhân tích giải pháp 6 ví dụNếu chúng ta không chú ý đến độ thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Cùng tham khảo chương trình lớp 7 nhé. Vì vậy, hãy nhớ? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là sự khác biệt của các bình phương! Chúng tôi nhận được: Chúng tôi cẩn thận xem xét mẫu số. Nó trông rất giống một trong những tử số, nhưng có gì sai? Sai thứ tự các điều khoản. Nếu chúng được hoán đổi, quy tắc có thể áp dụng. Nhưng làm thế nào để làm điều đó? Nó chỉ ra rằng nó rất dễ dàng: độ chẵn của mẫu số giúp chúng ta ở đây. Các điều khoản đã thay đổi vị trí một cách kỳ diệu. "Hiện tượng" này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ chẵn: chúng ta có thể tự do thay đổi các dấu hiệu trong ngoặc. Nhưng điều quan trọng cần nhớ: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Hãy quay lại ví dụ: Và một lần nữa công thức: trọn chúng ta đặt tên cho các số tự nhiên, các mặt đối lập của chúng (nghĩa là lấy dấu "") và số. sô nguyên dương, và nó không khác gì so với tự nhiên, sau đó mọi thứ trông giống hệt như trong phần trước. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một: Như mọi khi, chúng tôi tự hỏi: tại sao lại như vậy? Hãy xem xét một số quyền lực với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với: Vì vậy, chúng tôi đã nhân số với và nhận được kết quả giống như nó -. Phải nhân với số nào để không có gì thay đổi? Đúng vậy, trên. Có nghĩa. Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý: Hãy lặp lại quy tắc: Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. Nhưng có những ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và ở đây, nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở). Một mặt, nó phải bằng bất kỳ mức độ nào - cho dù bạn nhân số 0 với chính nó bao nhiêu đi nữa, bạn vẫn nhận được số 0, điều này rõ ràng. Nhưng mặt khác, giống như bất kỳ số nào đến độ 0, nó phải bằng nhau. Vậy sự thật của điều này là gì? Các nhà toán học quyết định không tham gia và từ chối nâng số 0 lên lũy thừa. Có nghĩa là, bây giờ chúng ta không chỉ có thể chia cho số 0, mà còn có thể nâng nó lên lũy thừa. Hãy đi xa hơn nữa. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên bao gồm cả số âm. Để hiểu số mũ âm là gì, hãy làm như trong lần cuối cùng: nhân một số bình thường với cùng một mức độ âm: Từ đây, thật dễ dàng để thể hiện mong muốn: Bây giờ chúng tôi mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý: Vì vậy, hãy xây dựng quy tắc: Một số đối với lũy thừa âm là nghịch đảo của cùng một số với lũy thừa dương. Nhưng tại cùng một thời điểm cơ sở không được rỗng:(vì không thể chia được). Hãy tóm tắt: I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu, sau đó. II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một:. III. Một số không bằng 0 với lũy thừa là nghịch đảo của cùng số đó với lũy thừa:. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:Như thường lệ, các ví dụ cho một giải pháp độc lập: Phân tích các nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:Tôi biết, tôi biết, những con số thật đáng sợ, nhưng ở kỳ thi bạn phải sẵn sàng cho bất cứ điều gì! Giải các ví dụ này hoặc phân tích giải pháp của chúng nếu bạn không giải được và bạn sẽ học cách dễ dàng đối phó với chúng trong kỳ thi! Hãy tiếp tục mở rộng vòng tròn các số "phù hợp" như một số mũ. Bây giờ hãy xem xét số hữu tỉ. Những số nào được gọi là hữu tỉ? Trả lời: tất cả những gì có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, hơn thế nữa. Để hiểu những gì là "độ phân số" Hãy xem xét một phân số: Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên thành lũy thừa: Bây giờ hãy nhớ quy tắc "mức độ": Số nào phải được nâng lên thành lũy thừa để có được? Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ. Để tôi nhắc bạn: căn bậc hai của một số () là một số mà khi được nâng lên thành lũy thừa thì bằng nhau. Nghĩa là, căn bậc ba là phép toán nghịch đảo của lũy thừa:. Hóa ra là như vậy. Rõ ràng là điều này trương hợp đặc biệt có thể được mở rộng:. Bây giờ thêm tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ nhận ra với quy tắc quyền lực: Nhưng cơ số có thể là bất kỳ số nào không? Rốt cuộc, không thể trích xuất gốc từ tất cả các số. Không có! Hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên thành lũy thừa đều là một số dương. Có nghĩa là, không thể rút gốc của một mức độ chẵn từ các số âm! Và điều này có nghĩa là những con số như vậy không thể được nâng lên thành mức độ phân số với một mẫu số chẵn, nghĩa là, biểu thức không có ý nghĩa. Còn biểu hiện thì sao? Nhưng ở đây một vấn đề nảy sinh. Số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số khác, được rút gọn, chẳng hạn, hoặc. Và nó chỉ ra rằng nó tồn tại, nhưng không tồn tại, và đây chỉ là hai bản ghi khác nhau của cùng một con số. Hoặc một ví dụ khác: một lần, sau đó bạn có thể viết nó ra. Nhưng ngay sau khi chúng tôi viết chỉ báo theo một cách khác, chúng tôi lại gặp rắc rối: (nghĩa là chúng tôi nhận được một kết quả hoàn toàn khác!). Để tránh những nghịch lý như vậy, hãy xem xét chỉ số mũ cơ số dương với số mũ phân số. Vì vậy nếu:
Ví dụ: Các quyền với số mũ hữu tỉ rất hữu ích để biến đổi các biểu thức có gốc, ví dụ: 5 ví dụ thực hànhPhân tích 5 ví dụ để đào tạoVâng, bây giờ - khó khăn nhất. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích mức độ với một số mũ không hợp lý. Tất cả các quy tắc và thuộc tính của độ ở đây hoàn toàn giống như đối với độ với số mũ hữu tỉ, ngoại trừ Thật vậy, theo định nghĩa, số vô tỷ là số không thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là, số vô tỷ là tất cả các số thực ngoại trừ các số hữu tỉ). Khi nghiên cứu bằng cấp với một chỉ số tự nhiên, số nguyên và hợp lý, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “phép loại suy” hoặc mô tả nhất định bằng các thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, một số mũ tự nhiên là một số nhân với chính nó nhiều lần; ...không điện- đây là một số được nhân với chính nó một lần, tức là nó vẫn chưa bắt đầu được nhân, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó, kết quả chỉ là một sự “chuẩn bị nhất định của a number ”, cụ thể là một số; ...số mũ nguyên âm- giống như thể một "quá trình ngược" nào đó đã diễn ra, tức là số không được nhân với chính nó mà là số bị chia. Nhân tiện, khoa học thường sử dụng một mức độ với một số mũ phức tạp, tức là, một số mũ thậm chí không phải là một số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu những khái niệm mới này tại viện. CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI ĐÂU! (nếu bạn học được cách giải các ví dụ như vậy :)) Ví dụ: Quyết định cho chính mình:Phân tích các giải pháp:1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng cao trình độ lên một mức độ: Bây giờ hãy nhìn vào điểm số. Anh ấy có nhắc nhở bạn điều gì không? Chúng ta nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu số bình phương: Trong trường hợp này, Nó chỉ ra rằng: Trả lời: . 2. Chúng tôi cho phân số theo số mũ của k Cùng loại: Cả hai số thập phân hoặc cả hai bình thường. Ví dụ, chúng tôi nhận được: Trả lời: 16 3. Không có gì đặc biệt, chúng tôi áp dụng các thuộc tính thông thường của độ: TRÌNH ĐỘ CAOĐịnh nghĩa mức độMức độ là một biểu thức của dạng:, trong đó:
Bậc với số mũ tự nhiên (n = 1, 2, 3, ...)Nâng một số lên lũy thừa n có nghĩa là nhân số đó với chính nó lần: Lũy thừa với số mũ nguyên (0, ± 1, ± 2, ...)Nếu số mũ là sô nguyên dương con số: cương cứng về không điện: Biểu thức là không xác định, bởi vì, một mặt, ở bất kỳ mức độ nào là điều này, và mặt khác, bất kỳ số nào ở mức độ thứ đều là mức này. Nếu số mũ là số nguyên âm con số: (vì không thể chia được). Một lần nữa về null: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu, sau đó. Ví dụ: Mức độ với số mũ hữu tỉ
Ví dụ: Tính chất bằng cấpĐể giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy thử tìm hiểu xem: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng. Hãy xem: là gì và? A-priory: Vì vậy, ở vế phải của biểu thức này, ta thu được sản phẩm sau: Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số với số mũ, nghĩa là: Q.E.D. Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức. Quyết định : . Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức. Quyết định : Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết phải có cùng một cơ sở. Do đó, chúng tôi kết hợp độ với cơ sở, nhưng vẫn là một yếu tố riêng biệt: Một lần nữa lưu ý quan trọng: quy tắc này là - chỉ dành cho các sản phẩm của quyền lực! Tôi không nên viết điều đó trong hoàn cảnh nào. Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa của mức độ: Hãy sắp xếp lại nó như thế này: Nó chỉ ra rằng biểu thức được nhân với chính nó một lần, nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ-của một số: Trên thực tế, điều này có thể được gọi là "chuẩn bị chỉ báo". Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này :! Hãy nhớ lại các công thức của phép nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng đó không phải là sự thật, thực sự. Quyền lực với một cơ sở âm.Cho đến thời điểm này, chúng tôi chỉ thảo luận về những gì nên chỉ báo bằng. Nhưng những gì nên được cơ sở? Theo độ từ Thiên nhiên chỉ báo cơ sở có thể là bất kỳ số nào . Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, cho dù chúng là số dương, số âm hay số chẵn. Hãy thử nghĩ xem các dấu ("" hoặc "") sẽ có bậc là số dương và số âm nào? Ví dụ, con số sẽ là số dương hay số âm? NHƯNG? ? Với cách đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: bất kể chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương, kết quả sẽ là số dương. Nhưng những cái tiêu cực thú vị hơn một chút. Rốt cuộc, chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ năm lớp 6: "một số trừ nhân với một số trừ sẽ cho một cộng". Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với (), chúng ta nhận được -. Và tiếp tục như vậy ad infinitum: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu hiệu sẽ thay đổi. Có thể xây dựng công thức như vậy quy tắc đơn giản:
Hãy tự mình xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu hiệu gì: 1.2.3.4.5.6.Bạn đã quản lý? Đây là những câu trả lời: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng tôi chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ, và áp dụng quy tắc thích hợp. Trong ví dụ 5), mọi thứ cũng không đáng sợ như có vẻ như: không quan trọng căn bằng - độ chẵn, nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Chà, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không giống nhau, phải không? Rõ ràng là không, kể từ (bởi vì). Ví dụ 6) không còn đơn giản như vậy nữa. Ở đây bạn cần phải tìm ra cái nào ít hơn: hoặc? Nếu bạn nhớ điều đó, điều đó trở nên rõ ràng, có nghĩa là cơ số nhỏ hơn 0. Tức là chúng ta áp dụng quy tắc 2: kết quả sẽ là số âm. Và một lần nữa chúng tôi sử dụng định nghĩa của độ: Mọi thứ vẫn như bình thường - chúng tôi viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được: Trước khi tháo rời quy tắc cuối cùng Hãy xem một vài ví dụ. Tính giá trị của các biểu thức: Các giải pháp : Nếu chúng ta không chú ý đến độ thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Cùng tham khảo chương trình lớp 7 nhé. Vì vậy, hãy nhớ? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là sự khác biệt của các bình phương! Chúng tôi nhận được: Chúng tôi cẩn thận xem xét mẫu số. Nó trông rất giống một trong những tử số, nhưng có gì sai? Sai thứ tự các điều khoản. Nếu chúng bị đảo ngược, có thể áp dụng quy tắc 3. Nhưng làm thế nào để thực hiện điều này? Nó chỉ ra rằng nó rất dễ dàng: độ chẵn của mẫu số giúp chúng ta ở đây. Nếu bạn nhân nó với, không có gì thay đổi, phải không? Nhưng bây giờ nó trông như thế này: Các điều khoản đã thay đổi vị trí một cách kỳ diệu. "Hiện tượng" này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ chẵn: chúng ta có thể tự do thay đổi các dấu hiệu trong ngoặc. Nhưng điều quan trọng cần nhớ: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Không thể thay thế nó bằng cách chỉ thay đổi một dấu trừ khó chịu đối với chúng tôi! Hãy quay lại ví dụ: Và một lần nữa công thức: Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng: Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm mức độ và đơn giản hóa: Vâng, bây giờ chúng ta hãy mở ngoặc. Sẽ có bao nhiêu chữ cái? nhân với số nhân - nó trông như thế nào? Đây không là gì ngoài định nghĩa của một hoạt động phép nhân: tổng số hóa ra là số nhân. Theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số với số mũ: Ví dụ: Mức độ với số mũ vô tỉNgoài thông tin về các mức độ cho mức độ trung bình, chúng tôi sẽ phân tích mức độ bằng một chỉ số bất hợp lý. Tất cả các quy tắc và tính chất của bậc ở đây hoàn toàn giống như đối với bậc có số mũ hữu tỉ, ngoại trừ - xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỉ là những số không thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là , số vô tỉ đều là số thực trừ số hữu tỉ). Khi nghiên cứu bằng cấp với một chỉ số tự nhiên, số nguyên và hợp lý, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “phép loại suy” hoặc mô tả nhất định bằng các thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, một số mũ tự nhiên là một số nhân với chính nó nhiều lần; một số ở độ 0, như nó đã là, một số được nhân với chính nó một lần, tức là nó chưa bắt đầu được nhân, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó, kết quả chỉ là một một số "chuẩn bị của một số", cụ thể là một số; một mức độ với một số nguyên âm - nó như thể một “quá trình ngược lại” nào đó đã xảy ra, tức là, số đó không được nhân với chính nó, mà là số bị chia. Rất khó để hình dung một mức độ với số mũ vô tỉ (cũng như khó hình dung một không gian 4 chiều). Đúng hơn, nó là một đối tượng toán học thuần túy mà các nhà toán học đã tạo ra để mở rộng khái niệm mức độ cho toàn bộ không gian của các con số. Nhân tiện, khoa học thường sử dụng một mức độ với một số mũ phức tạp, tức là, một số mũ thậm chí không phải là một số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu những khái niệm mới này tại viện. Vì vậy, chúng ta phải làm gì nếu chúng ta thấy chỉ báo phi lýđộ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để loại bỏ nó! :) Ví dụ: Quyết định cho chính mình: 1)2)3)Câu trả lời:
TÓM TẮT PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢNBằngđược gọi là một biểu thức có dạng:, trong đó: Mức độ với số mũ nguyên độ, số mũ của nó là một số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương). Mức độ với số mũ hữu tỉ độ, chỉ số đó là số âm và số thập phân. Mức độ với số mũ vô tỉ số mũ có số mũ là phân số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc căn. Tính chất bằng cấp Đặc điểm của độ.
BÂY GIỜ BẠN CÓ MỘT CÔNG VIỆC ...Bạn thích bài viết như thế nào? Hãy cho tôi biết trong phần bình luận bên dưới nếu bạn thích nó hay không. |
