Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC và \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm củaBC, CA, AB. VìAB, AClà hai tiếp tuyến với mặt cầu tại \({B_2},{C_2}\) nên \(A{B_2} = A{C_2}\), suy raAB = AC.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hình chópS.ABC. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giácABCtại trung điểm của mỗi cạnh, đồng thời mặt cầu đó đi qua trung điểm của các cạnhSA, SB, SC. LG 1 Chứng minh rằngS.ABClà hình chóp đều. Lời giải chi tiết:  Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC và \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm củaBC, CA, AB. VìAB, AClà hai tiếp tuyến với mặt cầu tại \({B_2},{C_2}\) nên \(A{B_2} = A{C_2}\), suy raAB = AC. Tương tự ta cóBA = BC. VậyAB = AC = BC, nghĩa làABClà tam giác đều. GọiOlà tâm của tam giác đềuABCthìOcũng là tâm của tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\). Kí hiệuO1là giao điểm của SO và \(mp({A_1}{B_1}{C_1})\) thìO1cũng là tâm của tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) (vì phép vị tự tâmS, tỉ số \({1 \over 2}\) biến tam giácABCthành tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\)). Do mp(\({A_1}{B_1}{C_1}\)) song song vớimp(ABC) nên \({O_1}O\) đi qua tâmIcủa mặt cầu, đồng thời \({O_1}O\) vuông góc với cả hai mặt phẳng đó, từ đóSA=SB=SC. VậyS.ABClà hình chóp đều. LG 2 Tính diện tích mặt cầu, biết cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt làavàh. Lời giải chi tiết: Dễ thấy tâmIcủa mặt cầu là trung điểm của \({O_1}O\) và bán kính r của mặt cầu bằng \(I{C_2}\). Ta có \(IC_2^2 = I{O^2} + OC_2^2 = {{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}.\) Vậy diện tích mặt cầu đó bằng \(4\left( {{{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}} \right)\pi = \pi \left( {{{{h^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 3}} \right).\)
|
