Bài 33 trang 61 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Tính bán kính mặt cầu đi qua đường tròn (C ) và điểmA.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC thì \(AI \bot BC.\)

Do (P) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mp(ABC) nên \(AI \bot (P).\)

Mặt cầu chứa đường tròn (C ) và di qua điểmAcó tâm trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, có bán kính bằng bán kính của đường tròn này.

Vậy bán kính mặt cầu là \(R = {{a\sqrt 3 } \over 3}.\)

LG 2

Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói trên sao cho các tiếp điểm giữa hình nón và mặt cầu là đường tròn (C ). Tính thể tích của khối nón.

Lời giải chi tiết:

Hình nón thỏa mãn các giả thiết đã nêu tiếp xúc với mặt cầu tại điểmAvà đỉnhScủa hình nón thuộc đường thẳngAI.

Dễ thấymp(ABC)cắt mặt cầu theo đường tròn lớn và cắt hình nón theo tam giác cân có cạnh đáy đi quaAvà tam giác cân này ngoại tiếp đường tròn lớn đó.

Vì tam giácABCđều nên dễ thấy tam giác cân nói trên cũng đều, từ đó cạnh của tam giác này bằng2a, vậy đường cao của hình nón là \(SA = a\sqrt 3 \).

Khi ấy thể tích khối nón phải tìm là

\(V = {1 \over 3}\pi {a^2}.a\sqrt 3 = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over 3}.\)