+ Định nghĩa chuỗi hàm
Cho dãy hàm thực \( \left( {{f}_{n}}(x) \right),\,\,x\in (a,b) \), gọi \( {{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)+…+{{f}_{n}}(x)+…+=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{f}_{k}}(x)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(***) \) là một chuỗi hàm xác định trên \( (a,b) \).
+ Miền hội tụ của chuỗi hàm
(I) Điểm \( {{x}_{0}}\in (a,b) \) là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}({{x}_{0}})} \) hội tụ.
(II) Tập X các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.
(III) Hàm số \( {{S}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=1}{n}{{{f}_{k}}(x)} \) với \( x\in (a,b) \) gọi là tổng riêng thứ n chuỗi hàm. Chuỗi hàm gọi là hội tụ về S(x) với \( x\in X \) nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}(x)=S(x),\,\,\forall x\in X\). Trong trường hợp này kí hiệu \( \sum\limits_{n=1}{\infty }{{{f}_{n}}(x)}=S(x),\,\,x\in X \).
(IV) Nếu chuỗi hàm \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{f}_{n}}(x) \right|}\) hội tụ tuyệt đối trên tập X.
+ Định nghĩa
(I) Dãy hàm \( \left( {{f}_{n}}(x) \right) \) được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên tập X nếu như \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).
(II) Chuỗi hàm (***) được gọi là hội tụ đều về hàm S(x) trên X nếu dãy tổng riêng của nó hội tụ đều về S(x) trên X.
Nghĩa là \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{S}_{n}}(x)-S(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).
Vậy nếu chuỗi hội tụ đều về S(x) thì phân dư \( {{R}_{n}}(x)=S(x)-{{S}_{n}}(x) \) sẽ hội tụ đều về 0, tức là:
\( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{R}_{n}}(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \)
Trong trường hợp chuỗi hội tụ đều về hàm S(x) trên (a,b) thường kí hiệu \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}(x)}\Rightarrow S(x),\,\,x\in (a,b)\).
+ Các tiêu chuẩn về sự hội tụ đều của chuỗi hàm
(I) Tiêu chuẩn Cauchy
Định lí: Giả sử \( \left( {{S}_{n}}(x) \right) \) là dãy tổng riêng của chuỗi hàm. Để chuỗi hàm hội tụ đều trên tập X điều kiện cần và đủ là:
\( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}},\,\,\forall p\in \mathbb{N}\Rightarrow \left| {{S}_{n+p}}(x)-{{S}_{n}}(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).
(II) Tiêu chuẩn Weierstrass.
Định lí: Giả sử các số hạng của chuỗi hàm thỏa mãn bất đẳng thức \( \left| {{f}_{n}}(x) \right|\le {{a}_{n}},\,\,\forall x\in X \) và chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}{\infty }{{{a}_{n}}}\) hội tụ. Khi đó chuỗi hàm \(\sum\limits_{n=1}{\infty }{{{f}_{n}}(x)}\) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập X.
+ Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều
Định lí 1: Cho chuỗi hàm (***), các hàm số \( {{f}_{i}}(x),\,\,(i=1,2,…) \) liên tục trên tập X và hội tụ đều về S(x) trên X thì S(x) liên tục trên X.
Định lí 2: Cho chuỗi hàm (***) hội tụ đều về S(x) trên [a,b] và các hàm \( {{f}_{i}}(x),\,\,(i=1,2,…) \) liên tục trên [a,b] thì
Students also viewed
- Toan-ky-thuat baitap toankt chuong 6 - [cuuduongthancong
- Dichsachtdd - sách truyền động điện - Auditing and Assurance Services: an Applied Approach
- Dạy học khám phá theo mô hình 5E
- Baigiang Toan1 20 - Mai Thanh Long
- Hồ Tấn Phi 2011 1771 - 22s
- câu hỏi tình huống cho sinh viên
Related documents
- BỘ LUẬT LAO ĐỘNG 2021 - bài giảng công ngệ chế biến đô uống cho sinh viên
- bảo hộ lao động cho công nhân
- Microsoft Power Point - QUY Trinh SX DO UONG
- an toàn lao động giao-trinh-mon-hoc-an-toan-lao-dong-nghe-che-bien-tom-xuat-khau aaaaaaaaaaaaaaa
- Bai giang Toan CC 1 BVL
- chương 11 toán cao cấp 1
Preview text
Mục lục
- 1 CHUỖI SỐ Lời mở đầu ii
- 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ
- 1.1 Định nghĩa
- 1.1 Phần dư của chuỗi hội tụ
- 1.1 Điều kiện để chuỗi hội tụ
- 1.1 Các phép toán trên các chuỗi hội tụ
- 1.1 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ
- 1 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG
- 1.2 Định nghĩa
- 1.2 Dấu hiệu so sánh
- 1.2 Dấu hiệu tích phân
- 1.2 Dấu hiệu Cauchy
- 1.2 Dấu hiệu D’Alembert
- 1.2 Dấu hiệu Raabe
- 1.2 Dấu hiệu Gauss
- DẤU BẤT KỲ 1 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓ
- 1.3 Các định lý Dirichlet và Abel
- 1.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
- 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ
Lời mở đầu
....
ii
Đặt un = 1 n!
, un+1 =
1
(n + 1)!
Xét lim n→∞
un+
un
\= lim n→∞
n!
(n + 1)! = lim n→∞
1
n + 1 = 0
< 1.
Vậy theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi
∑∞
n=
1
n!
là chuỗi hội tụ
4.
∑∞
n=
sin
π
3 n
Giải
Đặt un = sin
π
3 n
Xét
lim n→∞
un = lim n→∞
sin
π
3 n
\= lim n→∞
sin
π
3 n π
3 n
·
π
3 n
\= lim n→∞
π
3 n
⇔ lim n→∞
1
3 n
vì
1
3
< 1
Vậy chuỗi
∑∞
n=
sin
π
3 n
là chuỗi hội tụ.
5.
∑∞
n=
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
, x > 0
Giải
Đặt un =
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n);
un+1 =
(n + 1)!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)
+) lim n→∞
un+
un
\= lim n→∞
(n + 1)!
n!
·
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)
\= lim n→∞
n + 1
x + n + 1 = 1
+) lim n→∞
n·
(
un
un+
− 1
)
\= lim n→∞
n·
(
x + n + 1
n + 1
− 1
)
\= lim n→∞
n·
(
x
n + 1
)
\=
lim n→∞
nx
n + 1 =
x.
Nếu 0 < x < 1 thì chuỗi
∑∞
n=
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
là chuỗi phân kỳ
Nếu x > 1 thì chuỗi
∑∞
n=
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
hội tụ
6.
+∑∞
n=
1
√
n + 2n
và
+∑∞
n=
1
2 n
.
Giải
Do
1
√
n + 2n
\>
1
2 n
, ∀n > 1 nên
+∑∞
n=
1
√
n + 2n
là chuỗi phân kỳ.
Vì chuỗi
+∑∞
n=
1
2 n
phân kỳ.
7.
+∑∞
n=
1
n 2
Giải
Từ bất đẳng thức
1
n 2
<
1
(n − 1)n
∀n ≥ 2.
Suy ra:
+∑∞
n=
1
n 2
là chuỗi hội tụ.
8.
+∑∞
n=
sin 1 n
Giải
Do lim n→∞
sin 1 n 1
n
\= 1 nên
+∑∞
n=
sin 1 n
phân kỳ.
9.
+∑∞
n=
sin
2 1
n
.
Giải
Từ lim n→∞
sin
2 1
n 1
n 2
\= 1 ta suy ra
+∑∞
n=
sin 2
1
n
là chuỗi hội tụ.
10.)
+∑∞
n=
1
n
Giải
Xét hàm số:
f (x) =
1
x, x
∈ [2, +∞)
Hàm f là hàm liên tục, xác định dương [2, +∞) và an = fn, ∀n ≥ 2
13.
∑∞
n=
(
1 −
1
n
)n 2
.
Giải
Ta có: an =
(
1 −
1
n
)n 2
Do đó:
lim n→∞
n
√
an = lim n→∞
n
√
(
1 −
1
n
)n 2
\= lim n→∞
(
1 −
1
n
)n
\= e
ln. lim n→∞
(
1 − n 1
)n
\= e
lim n→∞
[
ln
(
1 − n 1
)n]
\= e
n lim→∞
[
n
(
1 − n 1
)]
\= e
lim n→∞
−
[ ln( 1 − 1 n ) − n 1
]
\= e
− 1 = 1 e <
1
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
14.
∑∞
n=
(2n)!!
nn
Giải
Ta có: an = (
n)!!
nn
an+1 =
2(n + 1)
(n + 1)n+
an + 1
an
\=
2(n + 1!!
(n + 1)n+
. n
n
2 n!! =
2 nn
(n + 1)n
\= 2.
(
n
n + 1
)n
Do đó lim n→∞
an+
an
\= lim n→∞
2.
(
n
n + 1
)n
\= 2 e <
1
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
15.
+∑∞
n=
n!
(
x
n
)n
với x>
Giải
Ta có: an = n!
(
x
n
)n
, an+1 = (n + 1)!
(
x
n + 1
)n+
an+
an
\=
x
(n + 1)
n
Do đó: lim n→∞
an+
an
\= lim n→∞
x
(n + 1)
n = lim n→∞
x (
1 + 1 n
)n =
x
e
.
Nếu
x
e <
1 hay 0 ≤ x < e thì chuỗi đã cho hội tụ.
Nếu
x
e >
1 hay x> e thì chuỗi đã cho phân kỳ.
- lim n→+∞
√
n!
(2 +
√
1)(2 +
√
2)...(2 +
√
n)
Giải
Ta có:
an =
√
n!
(2 +
√
1)(2 +
√
2)...(2 +
√
n)
, an+1 =
√
(n + 1)!
(2 +
√
1)(2 +
√
2)...(2 +
√
n + 1)
⇒ n·
(
un
un+
− 1
)
\= n
( √
n!
(2 +
√
1)...(2 +
√
n)
·
(2 +
√
1)...(2 +
√
n + 1 √ (n + 1)!
)
\=
2 n √ n + 1
điệu tăng.
+) lim n→∞
n
√
n = lim n→∞
n
1 n = e
ln lim n→∞
n n 1 = e
lim n→∞
1 n ln n = e 0 = 1
⇒ lim n→∞
1
n
√
n
\= 1 ⇒ dãy {
1
n
√
n
} là dãy bị chặn.
Theo dấu hiệu Abel thì
∑∞
n=
|un| =
∑∞
n=
1 np+ 1 n
hội tụ (p ≥ 1 ).
Vậy
∑∞
n=
(−1)n− 1
np+
1 n
là chuỗi hội tụ tuyệt đối
Bài 3: Tính tổng của các chuỗi số sau
1.
∑∞
n=
x 2 n− 1
2 n − 1
Giải
Đặt un(x) =
x 2 n− 1
2 n − 1
+) lim n→∞
|
un+1(x)
un(x)
| = lim n→∞
|
(2n − 1)x 2 n+
(2n + 1)x 2 n− 1
| = |x 2 | < 1.
⇒ khoảng hội tụ là (− 1 , 1)
+) Với mọi x ∈ (− 1 , 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
S′(x) =
(
∑∞
n=
x 2 n− 1
2 n − 1
)′
\=
∑ ∞
n=
x 2 n− 2 1 + x 2 + x 4 + ... + x 2 n− 2 =
1
1 − x 2
⇒ S(x) =
∫ x
0
1
1 − t 2
dt = 1 2
∫ x
0
(
1
1 − t
+
1
1 + t
)
dt = 1 2 ln
(
1 + t
1 − t
)
|
x 0
\= 1
2 ln 1 +
x
1 − x
Vậy tổng của chuỗi
∑∞
n=
x 2 n− 1
2 n − 1
là
S(x) = 1 2 ln 1 +
x
1 − x
2.
∑∞
n=
(n + 1)x
n
Giải
Đặt un(x) = (n + 1)xn
+) lim n→∞
|
un+1(x)
un(x)
| = lim n→∞
|
(n + 2)x
n+
(n + 1)xn
|= lim n→∞
n + 2
n + 1
|x| = |x| < 1.
⇒ khoảng hôi tụ là (− 1 , 1)
+) Với mọi x ∈ (− 1 , 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x]
Ta có
∫ x
0
S(t)dt =
∑ ∞
0
∫ x
0
(n + 1)t
n dt =
∑ ∞
0
[
(n + 1)
∫ x
o
t
n dt
]
\=
∑ ∞
0
[
(n + 1)
tn+
n + 1
|
x 0
]
\=
∑ ∞
0
x
n+
\= x + x
2 + x
3 + x
4 + ... + x
n+ = x(1 + x + x
2 + ... + x
n )
\=
x
1 − x
⇒ S(x) =
(
∫x
0
S(t)dt
)′
\=
(
x
1 − x
)
\=
1
(1 − x) 2
Vậy tổng của chuỗi
∑∞
n=
(n + 1)xn là S(x) =
1
(1 − x) 2
3.
∑∞
n=
xn
n
Giải
Đặt un(x) =
xn
n
; un+1(x) =
xn+
n + 1
+) lim n→∞
|
un+1(x)
un(x)
| = lim n→∞
|
xn+1 · n
(n + 1) · xn
| = lim n→∞
n
n + 1
|x| = |x| < 1
⇒ khoảng hội tụ là (− 1 , 1).
+) Với mọi x ∈ (− 1 , 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
S
′ (x) =
(
∑∞
n=
x
n
n
)′
\=
∑ ∞
n=
(
x
n
n
)′
\=
∑ ∞
n=
x
n− 1
\= 1 + x + x 2 + ... + xn− 1 =
1
1 − x
⇒ S(x)
∫ x
0
1
1 − t
\= − ln | 1 − t||
x 0 = − ln | 1 − x|
Vậy tổng của chuỗi
∑∞
n=
xn
n
là S(x) = − ln | 1 − x|.
+) lim n→∞
|
un+1(x)
un(x)
| = lim n→∞
|
(−1)n+
xn+
n + 1
(−1)n+
x
n
n
| = lim n→∞
n
n + 1
|x| = |x| < 1
⇒ khoảng hội tụ là (− 1 , 1).
Với mọi x ∈ (− 1 , 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
S
′ (x) =
(
∑∞
n=
(−1)
n+1 x
n
n
)′
\=
∑ ∞
n=
(
(−1)
n+1 x
n
n
)′
\=
∑ ∞
n=
(−1)
n+ x
n− 1
\= 1 − x + x
2 − x
3 + ... + x
2 n − x
2 n+ + ...
\= (1 + x
2 + x
4 + ... + x
2 n − x(1 + x
2 + ... + x
2 n )
\= 1
− x
1 − x 2
⇒ S(x) =
∫ x
0
1 − t
1 − t 2
dt =
∫ x
0
1
1 − t 2
dt
∫ x
0
t
1 − t 2
dt = 1 2 ln 1 +
x
1 − x
+ 1
2
| 1 − x
2 |
\= ln
(
1 + x
1 − x
· (1 − x
2 )
)
\= 1
2 ln(1 +
x)
2 = ln(1 + x)
Vậy tổng của chuỗi
∑∞
n=
(−1)n+
xn
n
là S(x) = ln(1 + x).
6.
∑∞
n=
x 4 n− 3
4 n − 3
Giải
Đặt un(x) =
x 4 n− 3
4 n − 3
; un+1(x) =
x 4 n+
4 n + 1
+) lim n→∞
|
un+1(x)
un(x)
| = lim n→∞
|
x
4 n+ · (4n − 3)
x 4 n− 3 · (4n + 1)
| = x 4 < 1
⇒ khoảng hội tụ là (− 1 , 1).
+) Với mọi x ∈ (− 1 , 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
S
′ (x) =
(
∑∞
n=
x 4 n− 3
4 n − 3
)′
\=
∑ ∞
n=
(
x 4 n− 3
4 n − 3
)′
\=
∑ ∞
n=
x
4 n− 2
\= x
2 + x
6 + x
1 0 + ... + x
4 n− 2 + ...
\= x
2 (1 + x
4 + x
8 + ... + x
4 n + ...)
\=
x
2
1 − x 4
.
⇒ S(x) =
∫ x
0
t
2
1 − t 4
dt =
∫ x
0
1
1 − t 2
dt
∫ x
0
t
1 − t 2
dt = 1 2 ln 1 +
x
1 − x
+ 1
2
| 1 − x
2 |
\= ln
(
1 + x
1 − x
· (1 − x
2 )
)
\= 1
2 ln(1 +
x)
2 = ln(1 + x)
Vậy tổng của chuỗi
∑∞
n=
(−1)
n+1 x
n
n
là S(x) = ln(1 + x).