TOÁN thường dùng trong VẬT LÝ 1. Đơn vị đo lượng giác các cung: * Chú ý: Chế độ máy tính Radian ( chữ R trên màn hình ) 10 = 60’ (phút) 1’= 60” (giây) 10 = (rad) 1rad = (độ) Gọi ( là số đo bằng độ của 1 góc, a là số đo tính bằng radian tương ứng với ( độ khi đó: a = (rad); ( = (độ) 2. Bảng giá trị lượng giác (cung hay góc đặc biệt) Cung đối nhau (( và -() Cung bù nhau ( và (( - () Cung hơn kém ( (( và ( + () Cung phụ nhau (( và (/2 -() Cung hơn kém (/2 (( và (/2 +() cos(-() = cos( sin(-() = -sin( tan(-() = -tan( cot(-() = -cot( cos(( - () = -cos( sin(( - () = sin( tan(( - () = -tan( cot(( - () = -cotg( cos(( + () = -cos( sin(( + () = -sin( tan(( + () = tan( cot(( + () = cotg( cos((/2 -()= sin( sin((/2 -() = cos( tan((/2 -() = cot( cot((/2 -() = tan( cos((/2 +() = -sin( sin((/2 +() = cos( tan((/2+() = -cot( cot((/2 +() = -tan( Mẹo đổi: a) Đổi từ sin về cos: - π/2 Ví dụ: sinα = cos(α – π/2 ) b) Đổi từ ( - sin) về cos: + π/2 Ví dụ: - sinα = cos(α + π/2 ) c) Đổi dấu: + π Ví dụ: - cosα = cos(α + π ) 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Sin = đối / huyền. Cos = kề /huyền. Tan = đối / kề Cotan = kề / đối sin2( + cos2( = 1; = 1 4. Một số hệ thức lượng trong: * Tam giác vuông ΔVABC * Tam giác thường a) Định lý hàm sin:
b) Định lý hàm cos:
5. Giải phương trình bậc 2: / / 6. Công thức biến đổi: a) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa tan(a - b) = tan(a + b) = b) Công thức nhân đôi, nhân ba: cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a; sin3a = 3sina – 4sin3a sin2a = 2sina.cosa; cos3a = 4cos3a – 3cosa; tan2a = c) Công thức hạ bậc: cos2a = ; sin2a = ; tan2a = ; cotan2a = d) Công thức tính sin, cos, tan theo t = tan : (( ≠ + k(, k ( Z) e) Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cosb = [cos(a-b) + cos(a+b)] sina.sinb =[cos(a-b) - cos(a+b)] sina.cosb = [sin(a-b) + sin(a+b)] f) Công thức biến đổi tổng thành tích: cosa + cosb = 2cos cos sina + sinb = 2sincos cosa - cosb = -2sinsin sina - sinb = 2cossin tana + tanb = tana - tanb =(a,b ≠ +k( ) 7. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a) Các công thức nghiệm – pt cơ bản: sinx = a = sin ( cosx = a = cos ( x = ( + k2( tanx = a = tan ( x = ( +k( cotx = a = cot( x = ( +k( b) Phương trình bậc nhất với sin và cos: Dạng phương trình: a.sinx + b.cosx = c (1) với điều kiện (a2 + b2 ≠ 0 và c2 (a2 + b2) Cách giải: chia cả 2 vế của (1) cho ta được:sinx + cosx = Ta đặt: ta được pt: Giải (2) ta được nghiệm. c) Phương trình đối xứng: Dạng phương trình: a.(sinx + cosx) + b.sinx. cosx = c (1) (a,b,c ( R) Cách giải: đặt t = sinx + cosx = .cos(x - ), điều kiện - ( t ( ( t2 = 1+ 2sinx.cosx ( sinx.cosx = thế vào (1) ta được phương trình: a.t + b. = c ( b.t2 + 2.a.t - (b + 2c) = 0 Giải và so sánh với điều kiện t ta tìm được nghiệm x. Chú ý: Với dạng phương trình: a.(sinx - cosx) + b.sinx. cosx = c Ta cũng làm tương tự, với cách đặt t = sinx - cosx = .cos(x +(/4). d) Phương trình đẳng cấp: Dạng phương trình: a.sin2x + b.cosx.sinx + c.cos2x = 0 (1) Cách giải: - b1 Xét trường hợp cosx = 0 - b2 Với cosx ≠ 0( (x = + k() ta chia cả 2 vế của (1) cho cos2x ta được pt: a.tan2x + b.tanx + c = 0 đặt t = tanx ta giải phương trình bậc 2: a.t2 + b.t +c = 0. Chú ý: Ta có thể xét trường hợp sinx = 0 rồi chia 2 vế cho sin2x. CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ Các đơn vị của hệ SI Độ dài M Thời gian S Vận tốc m/s Gia tốc m/s2 Vận tốc góc rad/s Gia tốc góc rad/s2 Khối lượng Kg Khối lượng riêng Kg/m3 Lực N Áp suất hoặc ứng suất Pa Xung lượng Kg.m/s Momen của lực N.m Năng lượng, công J Công suất W Momen xung lượng Kg.m2/s Momen quán tính Kg.m2 Độ nhớt Pa.s Nhiệt độ K Điện lượng C Cường độ điện trường V/m Điện dung F Cường độ dòng điện A Điện trở Ω Điện trở suất Ω.m Cảm ứng từ T Từ thông Wb Cường độ từ trường A.m Momen từ A.m2 Vecto từ hóa A/m Độ tự cảm H Cường độ sáng Cd Cách đọc tên một số đại lượng vật lí Α Anpha Β Beta Γ γ Gamma ∆ δ Đenta ε Epxilon ς Zeta τ Tô Φ φ Fi η Êta Θθϑ Têta ν Nuy μ Muy Λλ Lamda Ξζ Kxi Χ Khi Ωω Omega ϒυ Ipxilon Σσ Xicma ρ Rô Ππ Pi o Omikron κ Kappa ι Iôta Các hằng số vật lí cơ bản Vận tốc ánh sáng trong chân không c = 3.108 m/s Hằng số hấp dẫn G = 6,67.10-11 m3/(kg.s2) Gia tốc rơi tự do G = 9,8 m/s2 Số Avogadro 6,02.1023 mol-1 Thể tích khí tiêu chuẩn V0 = 2,24 m3/kmol Hằng số khí R = 8,314 J/kmol Hằng số Bolzman k = 1,38,10-23 J/kmol Số Faraday 0,965.108 C/kg Đổi đơn vị Chiều dài 1A0 = 10-10 m 1 đơn vị thiên văn (a.e) = 1,49.1011 m 1 năm ánh sáng = 9,46.1015 m 1 inches = 2,54.10-2 m 1 fecmi = 10-15 m 1 dặm = 1,61.103 m 1 hải lí = 1,85.103 m Diện tích 1 ha = 104 m2 1 bac = 10-28 m2 Khối lượng 1 tấn = 10 tạ = 1000 kg 1 phun = 0,454 kg 1 a.e.m = 1,67.10-27 kg (Khối lượng nguyên tử) 1 cara = 2.10-4 kg Công và công suất 1 erg/s = 10-7 W 1 mã lực (HP) = 636 W 1 kcal/h = 1,16 W 1 calo (cal) = 4,19 J 1 W.h = 3,6.103 J Áp suất 1 dyn/cm2 = 0,1 Pa 1 atm = 1,01.105 Pa 1 kG/m2 = 9,81 m2 1 mmHg = 133 Pa 1 at = 1 kG/cm2 = 9,18.104 Pa Chương I. DAO ĐỘNG CƠ HỌC ĐẠI CƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1. Dao động cơ, dao động tuần hoàn + Dao động cơ là chuyển động có giới hạn, qua lại của vật quanh vị trí cân bằng. + Dao động tuần hoàn là dao động mà những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kỳ T) vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ 2. Dao động điều hòa + Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) theo thời gian. * Chú ý: Dao động điều hòa là dao động THẲNG, nhưng trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) theo thời gian, nên đồ thi li độ theo thời gian là đường hình cos (hay sin) * Phương trình li độ trong dao động điều hòa: x = Acos((t + () Trong đó: + A: Biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của li độ x; đơn vị (m, cm). A > 0 (luôn dương) + ((t + (): là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị (rad) + ( là pha ban đầu của dao động, đơn vị (rad) + (: Tần số góc của dao động điều hòa; đơn vị (rad/s). ( > 0 (luôn dương) + Các đại lượng: biên độ A phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động; pha ban đầu φ phụ thuộc vào việc chọn mốc (tọa độ và thời gian) xét dao động, còn tần số góc ω (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc cấu tạo của hệ dao động. + Phương trình dao động điều hòa x = Acos((t + () là nghiệm của phương trình x’’ + ω2x = 0 Đó là phương trình động lực học của dao động điều hòa * Chú ý: Hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên 1 trục cố định qua tâm là một dao động điều hòa. Một dao động điều hòa có thể biểu diễn tương ứng 1 chuyển động tròn đều có bán kính R = A, tốc độ góc ω, tốc độ dài v = vmax = A.ω 3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa + Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây (s). + Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị Héc (H). + Liên hệ giữa ω, T và f: * Nhận xét: + Mỗi chu kì vật qua vị trí biên 1 lần, các vị trí khác 2 lần (1 lần theo chiều dương và 1 lần theo chiều âm). + Mỗi chu kì vật đi được quãng đường 4A, ½ chu kì vật đi được 2A, ¼ chu kì đi được quãng đường A (nếu xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên). 4. Vận tốc trong dao động điều hòa: + Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x’ = -ωAsin(ωt+φ) = ωAcos(ωt + φ + ) + Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha so với li độ. + Vị trí biên: x = ± A → v = 0 + Vị trí cân băng: x = 0 → |v| = vmax = Aω 5. Gia tốc trong dao động điều hòa + Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian: a = v’ = x’’ = -ω2Acos(ωt+φ) = - ω2x. + Gia tốc trong dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ và sớm pha so với vận tốc. + Vectơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ. + Ở vị trí biên: x = ±A → gia tốc có độ lớn cực đại: amax = ω2A + Ở vị trí cân bằng: x = 0 → gia tốc bằng 0. * Nhận xét: Dao động điều hòa là chuyển động biến đổi nhưng không đều. 6. Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa: F = ma = - k.x luôn hướng về vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về. 7. Công thức độc lập: A2 = x2 + và A2 = + 8. Phương trình đặc biệt: x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const → x = a ± Acos2(ωt + φ) với a = const → Biên độ: ; ω’ = 2ω; φ’ = 2φ 9. Đồ thị dao động: + Đồ thị dao động điều hòa (li độ, vận tốc, gia tốc) là đường hình sin, vì thế người ta còn gọi dao động điều hòa là dao động hình sin. + Đồ thị gia tốc – li độ: dạng đoạn thẳng nằm ở góc phần tư thứ 2 và thứ 4 + Đồ thị li độ - vận tốc; vận tốc – gia tốc: dạng elip. 10. Viết phương trình dao động: * Xác định biên độ: - Nếu biết chiều dài quỹ đạo của vật L thì A = . - Nếu vật được kéo khỏi VTCB 1 đoạn x0 và được thả không vận tốc đầy thì A = x0. - Nếu biết vmax và ω thì A = . - Nếu biết ℓmax và ℓmin là chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo khi nó dao động thì A = - Biết gia tốc cực đại amax thì A = * Xác định tần số góc: ω = 2π.ƒ = (rad/s) * Xác định pha ban đầu: lúc t = 0 thì x = x0 và dấu của v (theo chiều (+): v >0, theo chiều (-): v < 0, ở biên: v = 0. Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0. + Gốc thời gian t = 0 tại vị trí biên dương: φ = 0. + Gốc thời gian t = 0 tại vị trí biên âm: φ = π. + Gốc thời gian t = 0 tại vị trí cân bằng theo chiều âm: φ = + Gốc thời gian t = 0 tại vị trí cân bằng theo chiều dương: φ = 11. Đọc, tính các số liệu của dao động điều hoà trên đồ thị: - Biên độ A: đó là giá trị cực đại của x theo trục Ox. - Chu kì T: khoảng thời gian giữa hai thời điểm gần nhau nhất mà x = 0 hoặc |x| = A là . - Tần số góc, tần số: ( = ; f = . - Pha ban đầu ( : x0 = 0 và x tăng khi t tăng thì ( = - ; x0 = 0 và x giảm khi t tăng thì ( = ; x0 = A thì ( = 0; x0 = - A thì ( = (; x0 = và x tăng khi t tăng thì ( = -; x0 = và x giảm khi t tăng thì ( = ; x0 = - và x tăng khi t tăng thì ( = -; x0 = - và x giảm khi t tăng thì ( = ; x0 = và x tăng khi t tăng thì ( = -; x0 = và x giảm khi t tăng thì ( = ; x0 = và x tăng khi t tăng thì ( = -; x0 = và x giảm khi t tăng thì ( = . * Ví dụ: Cho đồ thị như hình vẽ / Ta có: A1 = 3 cm; A2 = 2 cm; A3 = 4 cm; T1 = T2 = T3 = T = 2.= 2.0,5 = 1 (s); ( = = 2( rad/s; (1 = - ; (2 = - ; (3 = 0. * Đường tròn lượng giác dùng để giải nhanh trắc nghiệm / 12. Thời gian vật đi từ li độ x1 đến li độ x2 (hoặc tốc độ v1 đến v2 hoặc gia tốc a1 đến a2) ∆t = với và 0 ≤ φ1, φ2 ≤ π - Tốc độ trung bình của vật dao động: v = Ngoài ra: - Một số trường hợp đặc biệt về thời gian ngắn nhất: Thời gian vật đi từ VTCB ra đến biên: T/4; thời gian đi từ biên này đến biên kia là T/2; thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua VTCB: T/2. - Thời gian trong một chu kì để li độ không vượt quá giá trị x0 (tương tự cho a, v): ∆t = 4 - Thời gian trong một chu kì để li độ không nhỏ hơn giá trị x0 (tương tự cho a, v): ∆t = 4 13. Xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm t và thời điểm t’ = t + ∆t - Giả sử phương trình dao động của vật: x = Acos(ωt + φ) - Xác định li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian ∆t. Biết vật tại thời điểm t vật có li độ x* Trường hợp đặc biệt: + Góc quay được: ∆φ = ω.∆t + Nếu ∆φ = k.2π → x’ = x (Hai dao động cùng pha) + Nếu ∆φ = (2k+1)π → x’ = -x (Hai dao động ngược pha) + Nếu ∆φ = (2k+1)→ (Hai dao động vuông pha) Trường hợp tổng quát: + Tìm pha dao động tại thời điểm t: x = x* ↔ Acos(ωt + φ) = x* ↔ cos(ωt + φ) = ↔ + Nếu x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) → Nghiệm đúng: ωt + φ = α với 0 ≤ α ≤ π + Nếu x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương vì v > 0) → Nghiệm đúng: ωt + φ = -α + Li độ và vận tốc dao động sau (dấu) hoặc trước (dấu -) thời điểm ∆t giây là: 14. Xác định thời gian vật đi qua li độ x* (hoặc v*, a*) lần thứ N - Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = Acos(ωt + φ) cm; (t đo bằng s) - Xác định li độ và vận tốc (chỉ cần dấu) tại thời điểm ban đầu t = 0: - Vẽ vòng tròn lượng giác, bán kính R A - Đánh dấu vị trí xuất phát và vị trí li độ x* vật đi qua - Vẽ góc quét, xác định thời điểm đi qua li độ x* lần thứ n (vật quay 1 vòng quay thì thời gian = 1 chu kì) Quy ước: + Chiều dương từ trái sang phải. + Chiều quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ + Khi vật chuyển động ở trên trục Ox: theo chiều âm + Khi vật chuyển động ở dưới trục Ox: theo chiều dương 15. Xác định số lần vật qua vị trí có li độ x* (hoặc v*, a*) trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 - Xác định vị trí li độ x1 và vận tốc v1 tại thời điểm t1 - Xác định vị trí li độ x2 và vận tốc v2 tại thời điểm t2 - Lập tỉ số: + phần lẻ. Trong đó k là số vòng quay - Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác → Xác định sô lần qua vị trí x = x* 16. Quãng đường lớn nhất, quãng đường bé nhất TH1: Khoảng thời gian ∆t ≤ - Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. + Góc quét (( = ((t. + Quãng đường lớn nhất: Smax = 2A.sin + Quãng đường nhỏ nhất: Smin = 2A(1-cos) + Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhẩt của vật trong khoảng thời gian ∆t: vtbmax = và vtbmin = với Smax và Smin tính như trên. TH2: Khoảng thời gian ∆t > + ... → ∆t = N.+ ∆t’ → s = N.2A + s’ Trong đó N ϵ N*; 0 < ∆t < + Smax = N.2A + 2A.sin + Smin = N.2A+ 2A(1-cos) 17. Xác định quãng đường vật đi từ thời điểm t1 đến t2 a. Các trường hợp đặc biệt: - Nếu vật xuất phát từ VCTB, VT biên (hoặc pha ban đầu: φ = 0, ± , ± π) → Quãng đường: S = N.A - Nếu vật xuất phát bất kì mà thời gian thỏa mãn: → Quãng đường: S = N.2A b. Trường hợp tổng quát - Xác định li độ và chiều chuyển động tại hai thời điểm t1 và t2: và (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) - Phân tích thời gian: + phần_lẻ → ∆t = N.T + ∆t’ - Quãng đường: s = 4A.N + s’ - Vẽ vòng tròn lượng giác, xác định s’ → Tổng quãng đường s CON LẮC LÒ XO 1. Cấu tạo: Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu kia gắn vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng. 2. Điều kiện dao động điều hòa: Bỏ qua mọi ma sát 3. Phương trình dao động: x = Acos(ωt +φ) Nhận xét: - Dao động điều hòa của con lắc lò xo là một chuyển động thẳng biến đổi nhưng không đều. - Biên độ dao động của con lắc lò xo: + A = xmax: Vật ở VT biên (kéo vật khỏi VTCB 1 đoạn rồi buông nhẹ: x = A) + A = đường đi trong 1 chu kì chia 4 + A = (W: cơ năng; k độ cứng), A = ; A = ; A = ; A = + A = ℓmax – ℓcb; A = với ℓcb = 4. Chu kì, tần số của con lắc lò xo - Theo định nghĩa: ω = → T = và ω = 2πƒ = 2π. - Theo độ biến dạng: + Treo vật vào lo xo thẳng đứng: k.∆ℓ = m.g → k → ω, T, ƒ + Treo vật vào lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc α: k.∆ℓ = mg.sinα → k → ω, T, ƒ. - Theo sự thay đổi khối lượng: |
