Tiết 8. Hệ phương trình Cramer12 Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình CramerMục tiêuHiểu được định nghĩa hệ phương trình Cramer, phương pháp giải hệ Cramer Biết nhận dạng hệ Cramer, biết giải hệ phương trinh Cramer 12Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTÀI LIỆU THAM KHẢO4Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009 1235Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004 Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007 Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005 Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998. 67Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000 Tiết 8: Hệ phương trình CramerChương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2 Hệ phương trình Cramer Nhận xét : Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer nếu thỏa mãn hai điều kiện:- Ma trận hệ số A là ma trận vuông (số phương trình trong hệ bằng số ẩn ở trong hệ )det( ) 0A ≠-Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer Ví dụ: Chỉ ra hệ Cramer trong các hệ phương trình sau:1 21 22 22 3x xx x+ =− =1)1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 2 44 2 5 72 8 3x x x xx x x xx x x x− + − =− + + =− + + =2)1 2 31 2 31 2 32 22 32 3 4 4x x xx x xx x x+ − =− + =− − + =3)1 2 31 2 31 2 33 4 22 2 3 33 4x x xx x xx x x+ + =− − =+ + =4)hệ Cramer không là hệ Cramer hệ Cramer không là hệ Cramer Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer Phương pháp giải hệ Cramer Định lí: (Cramer) Hệ Cramer AX = B có nghiệm: =n21xxxXdet( ) , i 1.ndet( )iiAxA= =với các thành phần ẩn được xác định bởi công thức: ix Với là ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ i của A bởi cột ma trận vế phải B.iAChương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 21 22 22 3x xx x+ =− =1)=+−−=+−=−+4x4x3x23xxx22xx2x3213213212)Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 3 41 2 42 3 42 43 22 02 5 2 53 4x x xx x xx x xx x− + =− − =− + =− =−=++−=−+=+−10242321321321xxxxxxxxx1)1 3 41 2 42 3 42 43 22 02 5 2 53 4x x xx x xx x xx x− + =− − =− + =− =2)Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 3 41 2 42 3 42 43 22 02 5 2 53 4x x xx x xx x xx x− + =− − =− + =− =1 2 31 2 31 2 32 3 73 43 4 3x x xx x xx x x+ + =− + = −− + + =1)1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 2 02 3 62 4 2 43 2 3x x x xx x x xx x x xx x x x− + + =− − + = −− − + + =+ + + =2)nghiệm (1, 2, 1)nghiệm (0, 1, 2, -1)Chương II: Hệ phương trình tuyến tínhTiết 8: Hệ phương trình Cramer2.2: Hệ phương trình Cramer 1 3 41 2 42 3 42 43 22 02 5 2 53 4x x xx x xx x xx x− + =− − =− + =− =12Cần hiểu rõ về hệ Cramer và phương pháp giải hệ Cramer.Giải được hệ phương trình CramerLàm các bài tập 3.32, 3.33( trang 87 ,88 -học liệu [6] tập1). 3Chuẩn bị các kiến thức về phần phương pháp khử ẩn liên tiếp GaussCủng cố và dặn dò Show
Phương pháp của Cramer dựa trên việc sử dụng các định thức trong việc giải hệ thống Các phương trình tuyến tính. Điều này tăng tốc đáng kể quá trình giải pháp. Phương pháp của Cramer có thể được sử dụng để giải một hệ thống gồm nhiều phương trình tuyến tính mà trong mỗi phương trình có ẩn số. Nếu định thức của hệ không bằng 0, thì phương pháp của Cramer có thể được sử dụng trong giải pháp; nếu nó bằng 0 thì không thể. Ngoài ra, phương pháp của Cramer có thể được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất. Sự định nghĩa. Định thức, bao gồm các hệ số của ẩn số, được gọi là định thức của hệ và được ký hiệu là (delta). Các yếu tố quyết định thu được bằng cách thay thế các hệ số tại các ẩn số tương ứng bằng các số hạng tự do:  Định lý Cramer. Nếu định thức của hệ khác không thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất và ẩn số bằng tỉ số của định thức. Mẫu số là định thức của hệ, và tử số là định thức thu được từ định thức của hệ bằng cách thay thế các hệ số với ẩn số bằng các số hạng tự do. Định lý này phù hợp với một hệ phương trình tuyến tính có bậc bất kỳ. ví dụ 1 Giải hệ phương trình tuyến tính: Dựa theo Định lý Cramer chúng ta có: Vì vậy, giải pháp của hệ thống (2): máy tính trực tuyến, phương pháp quyết định Kramer. Ba trường hợp giải hệ phương trình tuyến tínhNhư xuất hiện từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính, ba trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất (hệ thống nhất quán và xác định) Trường hợp thứ hai: hệ phương trình tuyến tính có vô số quyết định (hệ thống nhất quán và không xác định) ** những thứ kia. hệ số của ẩn số và số hạng tự do là tỷ lệ thuận. Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm (hệ thống không nhất quán) Vì vậy, hệ thống m phương trình tuyến tính với N các biến được gọi là không tương thích nếu nó không có giải pháp, và chung nếu nó có ít nhất một giải pháp. hệ thống chung phương trình chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn và nhiều hơn một không chắc chắn. Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp CramerHãy để hệ thống Dựa trên định lý Cramer …………. ở đâu định danh hệ thống. Các định thức còn lại thu được bằng cách thay thế cột có hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các phần tử tự do: Ví dụ 2 Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm giải pháp của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy: Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ. Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer. Nếu không có biến nào trong hệ phương trình tuyến tính trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức các phần tử tương ứng với chúng bằng không! Đây là ví dụ tiếp theo. Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer: Quyết định. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống: Xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng không. Vì vậy, định thức không bằng không, do đó, hệ thống là xác định. Để tìm lời giải của nó, chúng tôi tính toán các định thức cho các ẩn số Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy: Vậy, nghiệm của hệ là (2; -1; 1). Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer. Đầu trangChúng ta cùng nhau tiếp tục giải quyết các hệ thống bằng phương pháp CramerNhư đã đề cập, nếu định thức của hệ bằng 0 và định thức của ẩn số không bằng 0 thì hệ không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Hãy minh họa bằng ví dụ sau. Ví dụ 6 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer: Quyết định. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống: Định thức của hệ bằng không, do đó, hệ phương trình tuyến tính không nhất quán và xác định, hoặc không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Để làm rõ, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho các ẩn số Các định thức cho ẩn số không bằng 0, do đó, hệ thống không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer. Trong các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, cũng có những bài toán mà ngoài các chữ cái biểu thị biến số còn có các chữ cái khác. Những chữ cái này là viết tắt của một số, thường là một số thực. Trong thực tế, các phương trình và hệ phương trình như vậy dẫn đến các bài toán tìm kiếm tài sản chung bất kỳ hiện tượng hoặc đối tượng. Đó là, bạn đã phát minh ra bất kỳ vật liệu mới hoặc một thiết bị, và để mô tả các thuộc tính của nó, phổ biến bất kể kích thước hay số lượng bản sao, cần phải giải một hệ phương trình tuyến tính, trong đó thay vì một số hệ số cho các biến có các chữ cái. Bạn không cần phải tìm kiếm các ví dụ xa. Ví dụ tiếp theo là cho một bài toán tương tự, chỉ có số phương trình, biến số và chữ cái biểu thị một số thực tăng lên. Ví dụ 8 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer: Quyết định. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống: Tìm định thức cho ẩn số Phương pháp Cramer hay còn gọi là quy tắc Cramer là một cách để tìm kiếm các đại lượng chưa biết từ các hệ phương trình. Nó chỉ có thể được sử dụng nếu số lượng giá trị cần thiết tương đương với số phương trình đại số trong hệ thống, tức là ma trận chính được hình thành từ hệ thống phải là hình vuông và không chứa hàng 0, và cũng như nếu định thức của nó phải không phải là số không. Định lý 1 Định lý Cramer Nếu định thức chính $ D $ của ma trận chính, được biên soạn trên cơ sở các hệ số của phương trình, không bằng 0, thì hệ phương trình là nhất quán và có nghiệm duy nhất. Nghiệm của một hệ như vậy được tính bằng cách sử dụng cái gọi là công thức Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $ Phương pháp Cramer là gìBản chất của phương pháp Cramer như sau:
Kỹ thuật tính định thức của ma trậnĐể tính định thức của ma trận có số chiều lớn hơn 2 x 2, có thể sử dụng một số phương pháp:
Hình 1. Quy tắc tam giác để tính định thức cho phương pháp Cramer
Giải hệ phương trình bằng phương pháp CramerChúng tôi áp dụng phương pháp Cramer cho hệ 2 phương trình và hai đại lượng yêu cầu: $ \ begin (trường hợp) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end (trường hợp) $ Hãy hiển thị nó ở dạng mở rộng để thuận tiện: $ A = \ begin (array) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \ end (array) $ Tìm định thức của ma trận chính hay còn gọi là định thức chính của hệ: $ D = \ begin (array) (| cc |) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot a_4 - a_3 \ cdot a_2 $ Nếu định thức chính không bằng 0, thì để giải bài toán bằng phương pháp Cramer, cần tính thêm một vài định thức từ hai ma trận với các cột của ma trận chính được thay thế bằng một hàng các phần tử tự do: $ D_1 = \ begin (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end (array) = b_1 \ cdot a_4 - b_2 \ cdot a_4 $ $ D_2 = \ begin (array) (| cc |) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot b_2 - a_3 \ cdot b_1 $ Bây giờ chúng ta hãy tìm ẩn số $ x_1 $ và $ x_2 $: $ x_1 = \ frac (D_1) (D) $ $ x_2 = \ frac (D_2) (D) $ ví dụ 1 Phương pháp của Cramer để giải SLAE với ma trận chính bậc 3 (3 x 3) và ba ma trận mong muốn. Giải hệ phương trình: $ \ begin (trường hợp) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \ end (trường hợp) $ Chúng tôi tính định thức chính của ma trận bằng cách sử dụng quy tắc trên theo đoạn số 1: $ D = \ begin (array) (| ccc |) 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 4 \ cdot ( -1) + 2 \ cdot (-2) \ cdot 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 4 \ cdot 4 \ cdot 2 - 3 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (- 1) \ cdot 2 \ cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $ 64 Và bây giờ là ba yếu tố quyết định khác: $ D_1 = \ begin (array) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end (array) = 21 \ cdot 4 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot 2 \ cdot 10 + 9 \ cdot (-1) \ cdot 4 - 4 \ cdot 4 \ cdot 10 - 9 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 đô la $ D_2 = \ begin (array) (| ccc |) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 9 \ cdot (- 1) + 3 \ cdot 10 \ cdot 4 + 21 \ cdot 2 \ cdot 2 - 4 \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 2 \ cdot 10 \ cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 đô la $ D_3 = \ begin (array) (| ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 4 \ cdot 10 + 3 \ cdot (-1) \ cdot 21 + (-2) \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 4 \ cdot 2 - (-2) \ cdot 3 \ cdot 10 - (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 \ u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \ u003d - $ 60 Hãy tìm các giá trị cần thiết: $ x_1 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (- 296) (- 64) = 4 \ frac (5) (8) $ $ x_2 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (108) (-64) = - 1 \ frac (11) (16) $ $ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $ Để hệ phương trình tuyến tính chứa bao nhiêu phương trình bằng số biến độc lập, tức là có hình thức Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là hệ phương trình bậc hai. Định thức bao gồm các hệ số độc lập biến hệ thống(1.5) được gọi là yếu tố quyết định chính của hệ thống. Chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng chữ cái Hy Lạp D. Vì vậy, Nếu trong định thức chính một tùy ý ( j th), thay thế nó bằng cột các thành viên tự do của hệ thống (1.5), sau đó chúng ta có thể nhận được nhiều hơn N các yếu tố phụ trợ: Quy tắc của Cramer giải hệ phương trình tuyến tính bậc hai như sau. Nếu định thức chính D của hệ (1.5) khác không, thì hệ có một nghiệm duy nhất, có thể tìm được bằng công thức: Ví dụ 1.5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer Hãy để chúng tôi tính toán yếu tố quyết định chính của hệ thống: Kể từ D¹0, hệ thống có một nghiệm duy nhất có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức (1.8): Vì vậy, Hành động ma trận1. Phép nhân ma trận với một số. Phép toán nhân một ma trận với một số được định nghĩa như sau. 2. Để nhân một ma trận với một số, bạn cần nhân tất cả các phần tử của nó với số này. I E Ví dụ 1.6. Phép cộng ma trận.Phép toán này chỉ được giới thiệu cho các ma trận có cùng thứ tự. Để cộng hai ma trận, cần thêm các phần tử tương ứng của ma trận kia với các phần tử của một ma trận: Phép toán cộng ma trận có các tính chất của tính kết hợp và tính giao hoán. Ví dụ 1.7. Phép nhân ma trận.Nếu số cột ma trận NHƯNG khớp với số hàng ma trận TẠI, sau đó đối với các ma trận như vậy, phép toán nhân được giới thiệu: 2 Do đó, khi nhân ma trận NHƯNG kích thước m´ N thành ma trận TẠI kích thước N´ k chúng tôi nhận được một ma trận Với kích thước m´ k. Trong trường hợp này, các phần tử của ma trận Vớiđược tính theo các công thức sau: Bài toán 1.8. Tìm, nếu có thể, tích của ma trận AB và ba: Quyết định. 1) Để tìm một tác phẩm AB, bạn cần các hàng ma trận Một nhân với cột ma trận B: 2) Ảnh minh họa ba không tồn tại, vì số cột của ma trận B không khớp với số hàng ma trận Một. Ma trận nghịch đảo. Giải hệ phương trình tuyến tính theo cách ma trậnMa trận MỘT- 1 được gọi là nghịch đảo của ma trận vuông NHƯNG nếu sự bình đẳng giữ: qua đâu Tôi biểu thị ma trận đơn vị cùng thứ tự với ma trận NHƯNG: Để ma trận vuông có nghịch đảo, cần và đủ rằng định thức của nó là khác không. Ma trận nghịch đảo được tìm thấy bằng công thức: ở đâu A ij- phép cộng đại số cho các phần tử aij ma trận NHƯNG(lưu ý rằng phép cộng đại số vào các hàng của ma trận NHƯNGđược sắp xếp trong ma trận nghịch đảo dưới dạng các cột tương ứng). Ví dụ 1.9. Tìm ma trận nghịch đảo MỘT- 1 đến ma trận Chúng tôi tìm thấy ma trận nghịch đảo bằng công thức (1.13), trong trường hợp N= 3 trông giống như: Cùng tìm det Một = | Một| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Vì định thức của ma trận ban đầu khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo. 1) Tìm phép cộng đại số A ij: Để thuận tiện cho việc tìm kiếm ma trận nghịch đảo, chúng tôi đặt các phép cộng đại số vào các hàng của ma trận ban đầu trong các cột tương ứng. Từ nhận được phép cộng đại số soạn một ma trận mới và chia nó cho định thức det Một. Do đó, chúng ta sẽ nhận được ma trận nghịch đảo: Hệ phương trình tuyến tính bậc hai với định thức chính khác 0 có thể được giải bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo. Đối với điều này, hệ thống (1.5) được viết bằng dạng ma trận: ở đâu Nhân cả hai vế của đẳng thức (1.14) ở bên trái với MỘT- 1, chúng tôi nhận được giải pháp của hệ thống: Vì vậy, để tìm nghiệm của một hệ vuông, bạn cần phải tìm ma trận nghịch đảo của ma trận chính của hệ thống và nhân nó bên phải với ma trận cột của các số hạng tự do. Bài toán 1.10. Giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng ma trận nghịch đảo. Quyết định. Ta viết hệ thống dưới dạng ma trận:, ở đâu Từ các số thu được, chúng tôi tạo ra một ma trận (hơn nữa, các phép cộng đại số vào các hàng của ma trận NHƯNG viết vào các cột thích hợp) và chia nó cho định thức D. Như vậy, ta đã tìm được ma trận nghịch đảo: Nghiệm của hệ được tìm theo công thức (1.15): Vì vậy, Giải hệ phương trình tuyến tính bằng ngoại lệ Jordan thông thườngCho một hệ phương trình tuyến tính tùy ý (không nhất thiết là bình phương) được cho: Nó được yêu cầu để tìm một giải pháp cho hệ thống, tức là như một tập hợp các biến thỏa mãn tất cả các đẳng thức của hệ (1.16). TẠI trường hợp chung Hệ thống (1.16) không chỉ có thể có một nghiệm mà còn có vô số nghiệm. Nó cũng có thể không có giải pháp nào cả. Trong việc giải quyết những vấn đề như vậy, khóa học ở trường phương pháp loại bỏ ẩn số, còn được gọi là phương pháp khử Jordan thông thường. Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ trong một trong các phương trình của hệ (1.16) một trong các biến được biểu diễn dưới dạng các biến khác. Sau đó, biến này được thay thế vào các phương trình khác của hệ thống. Kết quả là một hệ có một phương trình và một ít biến hơn hệ ban đầu. Phương trình mà từ đó biến được biểu diễn được ghi nhớ. Quá trình này được lặp lại cho đến khi một phương trình cuối cùng vẫn còn trong hệ thống. Trong quá trình loại bỏ ẩn số, một số phương trình có thể chuyển thành danh tính thực, chẳng hạn. Các phương trình như vậy bị loại khỏi hệ thống, vì chúng hợp lệ với bất kỳ giá trị nào của các biến và do đó, không ảnh hưởng đến nghiệm của hệ thống. Nếu trong quá trình loại bỏ ẩn số, có ít nhất một phương trình trở thành đẳng thức không thể thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của các biến (chẳng hạn), thì ta kết luận rằng hệ không có nghiệm. Nếu trong quá trình giải phương trình mâu thuẫn không phát sinh, thì một trong các biến còn lại trong đó sẽ được tìm thấy từ phương trình cuối cùng. Nếu chỉ còn lại một biến trong phương trình cuối cùng, thì nó được biểu thị dưới dạng một số. Nếu các biến khác vẫn ở trong phương trình cuối cùng, thì chúng được coi là tham số và biến được thể hiện qua chúng sẽ là một hàm của các tham số này. Sau đó, cái gọi là hành trình ngược". Biến tìm thấy được thay thế vào phương trình ghi nhớ cuối cùng và biến thứ hai được tìm thấy. Sau đó, hai biến tìm thấy được thay thế vào phương trình ghi nhớ áp chót và biến thứ ba được tìm thấy, và cứ tiếp tục như vậy cho đến phương trình ghi nhớ đầu tiên. Kết quả là, chúng tôi nhận được giải pháp của hệ thống. Quyết định này sẽ là duy nhất nếu các biến tìm được là số. Nếu biến được tìm thấy đầu tiên và tất cả các biến khác phụ thuộc vào các tham số, thì hệ thống sẽ có vô số nghiệm (mỗi tập tham số tương ứng với một nghiệm mới). Các công thức cho phép tìm ra lời giải cho hệ thống phụ thuộc vào một bộ tham số cụ thể được gọi là lời giải chung của hệ thống. Ví dụ 1.11. x Sau khi ghi nhớ phương trình đầu tiên Thể hiện y từ phương trình thứ hai và thay nó vào phương trình thứ nhất: Hãy nhớ phương trình thứ hai và từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy z: Thực hiện ngược lại, chúng tôi liên tiếp tìm thấy y và z. Để làm điều này, trước tiên chúng ta thay thế vào phương trình đã ghi nhớ cuối cùng, từ đó chúng ta tìm thấy y: Sau đó, chúng tôi thay thế và vào phương trình ghi nhớ đầu tiên Bài toán 1.12. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách loại bỏ ẩn số: Quyết định. Hãy để chúng tôi biểu diễn biến từ phương trình đầu tiên x và thay thế nó vào phương trình thứ hai và thứ ba: Hãy nhớ phương trình đầu tiên Trong hệ này, phương trình thứ nhất và thứ hai mâu thuẫn với nhau. Thật vậy, bày tỏ y Người đọc được mời xác minh một cách độc lập rằng định thức chính của hệ thống ban đầu (1.17) bằng không. Hãy xem xét một hệ thống khác với hệ thống (1.17) chỉ bởi một thuật ngữ miễn phí. Bài toán 1.13. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách loại bỏ ẩn số: Quyết định. Như trước đây, chúng tôi biểu diễn biến từ phương trình đầu tiên x và thay thế nó vào phương trình thứ hai và thứ ba: Hãy nhớ phương trình đầu tiên bày tỏ y từ phương trình đầu tiên và thay nó vào phương trình thứ hai Trong đẳng thức đã ghi nhớ cuối cùng, biến z sẽ được coi là một tham số. Chúng tôi tin tưởng. sau đó Thay thế y và z vào bình đẳng được ghi nhớ đầu tiên và tìm x: Do đó, hệ (1.18) có vô số nghiệm và có thể tìm được bất kỳ nghiệm nào từ công thức (1.19) bằng cách chọn một giá trị tùy ý của tham số t: Do đó, các nghiệm của hệ, chẳng hạn, là các tập hợp các biến sau (1; 2; 0), (2; 26; 14), v.v. Công thức (1.19) biểu thị nghiệm tổng quát (bất kỳ) của hệ (1.18 ). Trong trường hợp khi hệ thống ban đầu (1.16) có đủ một số lượng lớn phương trình và ẩn số, phương pháp loại trừ thông thường của Jordan có vẻ rườm rà. Tuy nhiên, không phải vậy. Nó là đủ để tạo ra một thuật toán để tính toán lại các hệ số của hệ thống ở một bước trong nhìn chung và chính thức hóa lời giải của bài toán dưới dạng các bảng Jordan đặc biệt. Cho một hệ có dạng tuyến tính (phương trình) đã cho: ở đâu x j- các biến độc lập (mong muốn), aij- hệ số không đổi (tôi = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, N). Các bộ phận bên phải của hệ thống y tôi (tôi = 1, 2,…, m) có thể là cả biến (phụ thuộc) và hằng số. Cần phải tìm ra giải pháp cho hệ thống này bằng cách loại bỏ các ẩn số. Chúng ta hãy xem xét hoạt động sau đây, sau đây được gọi là "một bước của các trường hợp ngoại lệ thông thường của Jordan". Từ một tùy ý ( r th) đẳng thức, chúng tôi biểu thị một biến tùy ý ( x s) và thay thế thành tất cả các giá trị bằng nhau khác. Tất nhiên, điều này chỉ có thể thực hiện được nếu một rs¹ 0. Hệ số một rsđược gọi là phần tử giải quyết (đôi khi là hướng dẫn hoặc chính). Chúng tôi sẽ nhận được hệ thống tiếp theo: Từ Sđẳng thức của hệ thống (1.21), sau đó chúng ta sẽ tìm ra biến x s(sau khi các biến khác được tìm thấy). S Dòng thứ được ghi nhớ và sau đó bị loại khỏi hệ thống. Hệ thống còn lại sẽ chứa một phương trình và một biến ít độc lập hơn hệ thống ban đầu. Chúng ta hãy tính các hệ số của hệ kết quả (1.21) theo các hệ số của hệ ban đầu (1.20). Hãy bắt đầu với r phương trình thứ, sau khi biểu thị biến x s thông qua phần còn lại của các biến sẽ trông như thế này: Do đó, các hệ số mới r phương trình thứ được tính bằng các công thức sau: Bây giờ chúng ta hãy tính toán các hệ số mới b ij(tôi¹ r) phương trình tùy ý. Để làm điều này, chúng tôi thay thế biến được biểu thị trong (1.22) x s trong tôi phương trình thứ của hệ (1.20): Sau khi đưa ra các điều khoản tương tự, chúng tôi nhận được: (1.24) Phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Cô-xtanh thường được trình bày dưới dạng bảng (ma trận). Những bảng này được gọi là "bảng Jordan". Do đó, vấn đề (1.20) được liên kết với bảng Jordan sau: Bảng 1.1
Bảng Jordan 1.1 chứa cột đầu bên trái, trong đó các phần bên phải của hệ thống (1.20) được viết và dòng tiêu đề trên cùng, trong đó các biến độc lập được viết. Các phần tử còn lại của bảng tạo thành ma trận hệ số chính của hệ thống (1.20). Nếu chúng ta nhân ma trận NHƯNGđến ma trận bao gồm các phần tử của hàng tiêu đề trên, khi đó ta nhận được ma trận bao gồm các phần tử của cột tiêu đề bên trái. Về bản chất, bảng Jordan là một dạng ma trận để viết một hệ phương trình tuyến tính:. Trong trường hợp này, bảng Jordan sau đây tương ứng với hệ thống (1.21): Bảng 1.2
Yếu tố cho phép một rs chúng tôi sẽ làm nổi bật in đậm. Nhớ lại rằng để thực hiện một bước của ngoại lệ Jordan, phần tử phân giải phải khác không. Một hàng trong bảng có chứa một phần tử cho phép được gọi là một hàng cho phép. Cột chứa phần tử kích hoạt được gọi là cột cho phép. Khi chuyển từ một bảng đã cho sang bảng tiếp theo, một biến ( x s) từ hàng tiêu đề trên cùng của bảng được chuyển sang cột tiêu đề bên trái và ngược lại, một trong những thành viên miễn phí của hệ thống ( y r) được chuyển từ cột tiêu đề bên trái của bảng lên hàng tiêu đề trên cùng. Hãy để chúng tôi mô tả thuật toán để tính toán lại các hệ số khi chuyển từ bảng Jordan (1.1) sang bảng (1.2), theo sau từ công thức (1.23) và (1.25). 1. Phần tử cho phép được thay thế bằng số nghịch đảo: 2. Các phần tử còn lại của dòng cho phép được chia cho phần tử cho phép và đổi dấu thành ngược lại: 3. Các phần tử còn lại của cột cho phép được chia thành phần tử cho phép: 4. Các phần tử không có trong hàng phân giải và cột phân giải được tính toán lại theo công thức: Công thức cuối cùng rất dễ nhớ nếu bạn nhận thấy rằng các yếu tố tạo nên phân số Thực hiện bước đầu tiên của các ngoại lệ Jordan, bất kỳ phần tử nào của Bảng 1.3 nằm trong các cột x 1 ,…, x 5 (tất cả các phần tử được chỉ định không bằng 0). Bạn không nên chỉ chọn phần tử kích hoạt trong cột cuối cùng, bởi vì cần tìm các biến độc lập x 1 ,…, x 5. Ví dụ, chúng tôi chọn hệ số 1 với một biến x 3 trong hàng thứ ba của bảng 1.3 (phần tử cho phép được in đậm). Khi chuyển sang bảng 1.4, biến x Số 3 từ hàng tiêu đề trên cùng được hoán đổi với hằng số 0 của cột tiêu đề bên trái (hàng thứ ba). Đồng thời, biến x 3 được thể hiện theo các biến còn lại. sợi dây x 3 (Bảng 1.4), đã được ghi nhớ trước đó, có thể được loại trừ khỏi Bảng 1.4. Bảng 1.4 cũng loại trừ cột thứ ba có số 0 ở dòng tiêu đề phía trên. Vấn đề là bất kể hệ số của cột này là bao nhiêu b tôi 3 tất cả các số hạng tương ứng với nó của mỗi phương trình 0 b tôi 3 hệ thống sẽ bằng không. Do đó, các hệ số này không thể được tính toán. Loại bỏ một biến x 3 và ghi nhớ một trong các phương trình, chúng ta đi đến một hệ thống tương ứng với Bảng 1.4 (với dòng gạch bỏ x 3). Chọn trong bảng 1.4 làm phần tử phân giải b 14 = -5, chuyển sang bảng 1.5. Trong bảng 1.5, chúng tôi ghi nhớ hàng đầu tiên và loại trừ nó khỏi bảng cùng với cột thứ tư (với số 0 ở trên cùng). Bảng 1.5 Bảng 1.6 Từ bàn cuối cùng 1.7 chúng tôi tìm thấy: x 1 = - 3 + 2x 5 . Thay thế tuần tự các biến đã tìm được vào các dòng đã ghi nhớ, ta tìm được các biến còn lại: Như vậy, hệ có vô số nghiệm. Biến đổi x 5, bạn có thể gán các giá trị tùy ý. Biến này hoạt động như một tham số x 5 = t. Chúng tôi đã chứng minh tính tương thích của hệ thống và nhận thấy nó quyết định chung: x 1 = - 3 + 2t x 2 = - 1 - 3t x 3 = - 2 + 4t . (1.27) x 5 = t Đưa ra tham số t ý nghĩa khác nhau, chúng tôi nhận được vô số giải pháp cho hệ thống ban đầu. Vì vậy, ví dụ, nghiệm của hệ thống là tập các biến sau (- 3; - 1; - 2; 4; 0). Trong phần đầu tiên, chúng ta đã xem xét một số tài liệu lý thuyết, phương pháp thay thế và phương pháp cộng từng số hạng của hệ phương trình. Đối với tất cả những người đã đến trang web thông qua trang này, tôi khuyên bạn nên đọc phần đầu tiên. Có lẽ một số du khách sẽ thấy tài liệu quá đơn giản, nhưng trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, tôi đã thực hiện một loạt các ghi chú quan trọng và kết luận liên quan đến quyết định Bài toán nói chung là. Và bây giờ chúng ta sẽ phân tích quy tắc Cramer, cũng như lời giải của một hệ phương trình tuyến tính sử dụng ma trận nghịch đảo (phương pháp ma trận). Tất cả các tài liệu được trình bày đơn giản, chi tiết và rõ ràng, hầu như tất cả bạn đọc sẽ có thể tìm hiểu cách giải hệ thống bằng các phương pháp trên. Đầu tiên chúng ta xem xét quy tắc Cramer một cách chi tiết cho một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Để làm gì? - Rốt cuộc hệ thống đơn giản nhất có thể được giải bằng phương pháp trường học, bằng phép cộng hạn! Thực tế là ngay cả khi đôi khi, nhưng vẫn có một nhiệm vụ như vậy - giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số bằng công thức Cramer. Thứ hai, một ví dụ đơn giản hơn sẽ giúp bạn hiểu cách sử dụng quy tắc của Cramer để ca khó- Hệ ba phương trình với ba ẩn số. Ngoài ra, có những hệ phương trình tuyến tính hai biến, nên giải chính xác theo quy tắc Cramer! Xét hệ phương trình Ở bước đầu tiên, chúng tôi tính toán định thức, nó được gọi là yếu tố quyết định chính của hệ thống. Phương pháp Gauss. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, và để tìm nghiệm nguyên, chúng ta phải tính thêm hai định thức: Trong thực tế, các định thức trên cũng có thể được ký hiệu là Chữ cái la tinh. Các nghiệm nguyên của phương trình được tìm bằng công thức: Ví dụ 7 Giải hệ phương trình tuyến tính Quyết định: Ta thấy hệ số của phương trình khá lớn, ở vế phải có số thập phân bằng dấu phẩy. Dấu phẩy là một vị khách khá hiếm trong nhiệm vụ thực tế trong toán học, tôi lấy hệ thống này từ một bài toán kinh tế lượng. Làm thế nào để giải quyết một hệ thống như vậy? Bạn có thể cố gắng diễn đạt một biến này theo nghĩa khác, nhưng trong trường hợp này, bạn chắc chắn sẽ nhận được các phân số lạ lùng khủng khiếp, điều này cực kỳ bất tiện khi làm việc và thiết kế của giải pháp sẽ trông thật khủng khiếp. Bạn có thể nhân phương trình thứ hai với 6 và trừ số hạng theo số hạng, nhưng các phân số tương tự sẽ xuất hiện ở đây. Để làm gì? Trong những trường hợp như vậy, các công thức của Cramer sẽ giải cứu. ; ; Trả lời: , Cả hai gốc đều có đuôi vô hạn và được tìm thấy gần đúng, điều này khá chấp nhận được (và thậm chí là phổ biến) đối với các bài toán kinh tế lượng. Không cần nhận xét ở đây, vì nhiệm vụ được giải quyết theo các công thức có sẵn, tuy nhiên, có một điều cần lưu ý. Khi sử dụng phương pháp này, bắt buộc Phân đoạn của nhiệm vụ là phân đoạn sau: "vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất". Nếu không, người đánh giá có thể trừng phạt bạn vì không tôn trọng định lý Cramer. Sẽ không thừa để kiểm tra, điều này rất tiện lợi khi thực hiện trên máy tính: chúng tôi thay thế các giá trị gần đúng \ u200b \ u200bin vào bên trái của mỗi phương trình của hệ thống. Kết quả là, với một sai số nhỏ, các số ở phía bên phải sẽ được thu được. Ví dụ 8 Diễn đạt câu trả lời của bạn một cách bình thường các phân số không thích hợp. Kiểm tra. Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập(ví dụ về hoàn thiện và trả lời cuối bài). Chúng ta chuyển sang việc xem xét quy tắc Cramer cho một hệ ba phương trình với ba ẩn số: Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định chính của hệ thống: Nếu, thì hệ thống có vô số giải pháp hoặc không nhất quán (không có giải pháp nào). Trong trường hợp này, quy tắc Cramer sẽ không giúp ích được gì, bạn cần sử dụng phương pháp Gauss. Nếu hệ có nghiệm duy nhất và để tìm nghiệm nguyên, chúng ta phải tính thêm ba định thức: Và cuối cùng, câu trả lời được tính bằng công thức: Như bạn có thể thấy, trường hợp “ba x ba” về cơ bản không khác trường hợp “hai x hai”, cột các điều khoản tự do tuần tự “đi” từ trái sang phải dọc theo các cột của định thức chính. Ví dụ 9 Giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. Quyết định: Hãy giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. , vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất. Trả lời: Thực ra, không có gì đặc biệt để bình luận ở đây một lần nữa, vì thực tế là quyết định được đưa ra theo công thức có sẵn. Nhưng có một số lưu ý. Điều xảy ra là do kết quả của các phép tính, thu được các phân số bất khả quy "xấu", ví dụ:. 1) Có thể có một sai lầm trong các tính toán. Ngay khi bạn gặp phải một cảnh quay “xấu”, bạn phải ngay lập tức kiểm tra xem điều kiện có được viết lại đúng không. Nếu điều kiện được viết lại mà không có lỗi, thì bạn cần phải tính toán lại các yếu tố quyết định bằng cách sử dụng phần mở rộng trong một hàng (cột) khác. 2) Nếu không tìm thấy lỗi nào do kết quả của việc kiểm tra, thì rất có thể lỗi đánh máy đã được thực hiện trong điều kiện của bài tập. Trong trường hợp này, hãy bình tĩnh và CẨN THẬN giải quyết công việc đến cùng, rồi đảm bảo kiểm tra và vẽ nó lên một bản sao sạch sẽ sau khi quyết định. Tất nhiên, kiểm tra một câu trả lời phân số là một nhiệm vụ khó chịu, nhưng nó sẽ là một cuộc tranh cãi đáng tiếc cho giáo viên, người thực sự thích đặt điểm trừ cho bất kỳ điều tồi tệ nào như vậy. Cách xử lý phân số được hướng dẫn chi tiết trong đáp án của Ví dụ 8. Nếu bạn có máy tính trong tay, hãy sử dụng một chương trình tự động để kiểm tra nó, chương trình này có thể được tải xuống miễn phí ngay từ đầu bài học. Nhân tiện, thuận lợi nhất là sử dụng chương trình ngay lập tức (thậm chí trước khi bắt đầu giải pháp), bạn sẽ thấy ngay bước trung gian mà bạn đã làm sai! Máy tính tương tự sẽ tự động tính toán giải pháp của hệ thống phương pháp ma trận. Nhận xét thứ hai. Đôi khi, có những hệ phương trình bị thiếu một số biến, ví dụ: Nhân tiện, sẽ hợp lý khi mở các định thức bằng số không trong hàng (cột) có số 0, vì có ít phép tính hơn đáng kể. Ví dụ 10 Giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. Đây là một ví dụ để tự giải (làm mẫu xong và trả lời ở cuối bài). Đối với trường hợp của một hệ 4 phương trình với 4 ẩn số, các công thức của Cramer được viết theo các nguyên tắc tương tự. Bạn có thể xem một ví dụ trực tiếp trong bài học Thuộc tính xác định. Giảm bậc của định thức - năm định thức bậc 4 là khá khả thi. Mặc dù nhiệm vụ đã rất gợi nhớ đến chiếc giày của giáo sư trên ngực của một sinh viên may mắn. Giải pháp của hệ thống sử dụng ma trận nghịch đảoPhương pháp ma trận nghịch đảo về cơ bản là trương hợp đặc biệt phương trình ma trận(Xem Ví dụ số 3 của bài đã chỉ định). Để học phần này, bạn cần có khả năng mở rộng các định thức, tìm ma trận nghịch đảo và thực hiện phép nhân ma trận. Các liên kết có liên quan sẽ được đưa ra khi quá trình giải thích diễn ra. Ví dụ 11 Giải hệ thống bằng phương pháp ma trận Quyết định: Ta viết hệ thống dưới dạng ma trận: Hãy nhìn vào hệ phương trình và ma trận. Việc chúng ta viết các phần tử thành ma trận theo nguyên tắc nào thì tôi nghĩ mọi người đều hiểu. Nhận xét duy nhất: nếu một số biến bị thiếu trong phương trình, thì các số không sẽ phải được đặt vào vị trí tương ứng trong ma trận. Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức: Đầu tiên, hãy đối phó với yếu tố quyết định: Ở đây định thức được mở rộng bởi dòng đầu tiên. Chú ý! Nếu thì ma trận nghịch đảo không tồn tại và không thể giải hệ bằng phương pháp ma trận. Trong trường hợp này, hệ thống được giải bằng cách loại bỏ ẩn số (phương pháp Gauss). Bây giờ bạn cần tính toán 9 trẻ vị thành niên và viết chúng vào ma trận các trẻ vị thành niên Thẩm quyền giải quyết: Sẽ rất hữu ích nếu biết ý nghĩa của các chỉ số con kép trong đại số tuyến tính. Chữ số đầu tiên là số dòng mà phần tử nằm trong đó. Chữ số thứ hai là số cột mà phần tử nằm trong đó: Nghĩa là, một chỉ số con kép cho biết rằng phần tử nằm ở hàng đầu tiên, cột thứ ba, trong khi, ví dụ, phần tử nằm ở hàng thứ 3, cột thứ 2 Xét một hệ 3 phương trình với 3 ẩn số Sử dụng định thức bậc ba, nghiệm của một hệ như vậy có thể được viết ở dạng tương tự như đối với hệ hai phương trình, tức là. nếu 0. Đây Nó là Quy tắc của Cramer giải hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số. Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng quy tắc Cramer: Quyết định . Tìm định thức của ma trận chính của hệ thống Vì 0 nên để tìm nghiệm của hệ, bạn có thể áp dụng quy tắc Cramer, nhưng trước tiên hãy tính thêm ba định thức: Kiểm tra: Do đó, giải pháp được tìm thấy chính xác. Các quy tắc của Cramer bắt nguồn cho hệ thống tuyến tính Bậc 2 và bậc 3, gợi ý rằng các quy tắc tương tự có thể được xây dựng cho các hệ thống tuyến tính có bậc bất kỳ. Thực sự diễn ra Định lý Cramer. Hệ phương trình tuyến tính bậc hai với định thức khác 0 của ma trận chính của hệ (0) có một và chỉ một giải pháp, và giải pháp này được tính bằng các công thức ở đâu – yếu tố quyết định ma trận chính, tôi – yếu tố quyết định ma trận, bắt nguồn từ chính, thay thếtôicột thành viên miễn phí thứ. Lưu ý rằng nếu = 0 thì không áp dụng được quy tắc Cramer. Điều này có nghĩa là hệ thống không có giải pháp nào cả hoặc có vô số giải pháp. Sau khi xây dựng định lý Cramer, câu hỏi tự nhiên nảy sinh về việc tính toán các định thức bậc cao hơn. 2.4. yếu tố quyết định thứ tựBổ sung trẻ vị thành niên M ij thành phần một ijđược gọi là định thức thu được từ cái đã cho bằng cách xóa tôi-dòng thứ và j-cột thứ. Phép cộng đại số Một ij thành phần một ijđược gọi là phần tử phụ của phần tử này, lấy với dấu (–1) tôi + j, I E. Một ij = (–1) tôi + j M ij . Ví dụ: chúng ta hãy tìm phần tử phụ và phần bổ sung đại số của các phần tử một 23 và một 31 yếu tố quyết định Chúng tôi nhận được Sử dụng khái niệm phần bù đại số, chúng ta có thể xây dựng định lý mở rộng định thứcN-thứ tự theo hàng hoặc cột. Định lý 2.1. Định thức ma trậnMộtbằng tổng các tích của tất cả các phần tử của một số hàng (hoặc cột) và phần bổ sung đại số của chúng: Định lý này làm nền tảng cho một trong những phương pháp chính để tính toán các định thức, được gọi là. phương pháp giảm đơn hàng. Do sự mở rộng của yếu tố quyết định N thứ tự trong bất kỳ hàng hoặc cột nào, chúng ta nhận được n định thức ( N–1) -thứ. Để có ít yếu tố quyết định như vậy, nên chọn hàng hoặc cột có nhiều số 0 nhất. Trong thực tế, công thức khai triển cho định thức thường được viết là: những thứ kia. các phép cộng đại số được viết rõ ràng theo các điều kiện của trẻ vị thành niên. Các ví dụ 2.4. Tính toán các yếu tố quyết định bằng cách mở rộng chúng trước tiên trong bất kỳ hàng hoặc cột nào. Thông thường trong những trường hợp như vậy, hãy chọn cột hoặc hàng có nhiều số 0 nhất. Hàng hoặc cột đã chọn sẽ được đánh dấu bằng mũi tên. 2.5. Tính chất cơ bản của định thứcMở rộng định thức trong bất kỳ hàng hoặc cột nào, chúng ta nhận được n định thức ( N–1) -thứ. Sau đó, mỗi yếu tố quyết định ( N–1) bậc -th cũng có thể được phân tách thành tổng các định thức ( N–2) thứ tự. Tiếp tục quá trình này, người ta có thể đạt được các yếu tố quyết định của bậc 1, tức là đến các phần tử của ma trận mà định thức của nó đang được tính toán. Vì vậy, để tính định thức bậc 2, bạn sẽ phải tính tổng của hai số hạng, đối với định thức bậc 3 - tổng của 6 số hạng, đối với định thức bậc 4 - 24 số hạng. Số lượng các số hạng sẽ tăng mạnh khi thứ tự của định thức tăng lên. Điều này có nghĩa là việc tính toán các yếu tố quyết định các đơn hàng rất cao sẽ trở thành một công việc khá tốn công sức, vượt quá khả năng của một chiếc máy tính. Tuy nhiên, các định thức có thể được tính theo một cách khác, sử dụng các thuộc tính của định thức. Thuộc tính 1 . Định thức sẽ không thay đổi nếu các hàng và cột được hoán đổi trong đó, tức là khi chuyển một ma trận: Thuộc tính này chỉ ra sự bằng nhau của các hàng và cột của định thức. Nói cách khác, bất kỳ câu lệnh nào về các cột của một định thức đều đúng với các hàng của nó và ngược lại. Thuộc tính 2 . Dấu hiệu thay đổi định thức khi hai hàng (cột) được hoán đổi cho nhau. Hậu quả . Nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau, thì nó bằng không. Thuộc tính 3 . Nhân tử chung của tất cả các phần tử trong bất kỳ hàng (cột) nào có thể được lấy ra khỏi dấu của định thức. Ví dụ, Hậu quả . Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nào đó của định thức đều bằng 0, thì bản thân định thức cũng bằng 0. Thuộc tính 4 . Định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử của một hàng (cột) được thêm vào các phần tử của một hàng (cột) khác nhân với một số. Ví dụ, Thuộc tính 5 . Định thức của tích ma trận bằng tích của các yếu tố quyết định ma trận: |
