Tài liệu gồm 77 trang, hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số 9 chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Show
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANBài viết Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: ax+by=c (1)a'x+b'y=c' (2) Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước a2+b2≠0 và a'2+b'2≠0. - Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung x0;y0 thì x0;y0 được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm. - Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó. - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ Trường hợp 1: d∩d'=Ax0;y0⇔Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x0;y0; Trường hợp 2: d // d’ ⇔Hệ phương trình vô nghiệm Trường hợp 3: d≡d'⇔Hệ phương trình có vô số nghiệm. Chú ý: Với trường hợp a';b';c'≠0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔aa'≠bb'; Hệ phương trình vô nghiệm ⇔aa'=bb'≠cc'; Hệ phương trình vô số nghiệm ⇔aa'=bb'=cc'. II. Dạng bài tập Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp giải: Để giải một hệ phương trình, ta sẽ biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn. Để giải phương trình bằng phương pháp thế ta sử dụng quy tắc thế sau: Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn). Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
Lời giải:
⇔y=2x−3x+2x−3=6 ⇔y=2x−3x+2x−3=6 ⇔y=2x−33x−3=6 ⇔y=2x−33x=9 ⇔x=9:3y=2x−3 ⇔x=3y=2.3−3 ⇔x=3y=3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)
⇔y=2−1x−2x+2+12−1x−2=1 ⇔y=2−1x−2x+2+12−1x−22+1=1 ⇔y=2−1x−2x+x−2−2=1 ⇔y=2−1x−22x=1+2+2 ⇔y=2−1x−22x=3+2 ⇔x=3+22y=2−1.3+22−2 ⇔x=3+22y=−12 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là 3+22;−12. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách quy về phương pháp thế:
Lời giải: 3y−5+2x−3=07x−4+3x+y−1−14=0 ⇔3y−15+2x−6=07x−28+3x+3y−3−14=0 ⇔2x+3y=15+610x+3y=28+14+3 ⇔2x+3y=2110x+3y=45 ⇔3y=21−2x10x+21−2x=45 ⇔3y=21−2x10x+21−2x=45 ⇔8x=45−213y=21−2x ⇔8x=243y=21−2x ⇔x=24:83y=21−2x ⇔x=33y=21−2.3 ⇔x=33y=15 ⇔x=3y=5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (3; 5)
⇔xy−x+y−1=xy+x−2y−2−12xy−4y−x=2xy−3 ⇔xy−x+y−xy−x+2y=1−2−12xy−4y−x−2xy=−3 ⇔−2x+3y=−2−x−4y=−3 ⇔x=−4y+3−2−4y+3+3y=−2 ⇔x=−4y+38y−6+3y=−2 ⇔x=−4y+311y=−2+6 ⇔x=−4y+311y=4 ⇔x=−4.411+3y=411 ⇔x=1711y=411 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 1711;411. Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên một phương trình kia ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Bước 3: Giải hệ phương trình mới. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
Lấy (1) – (2) ta được: 2x−3y=52x−3y−2x+4y=5−7 ⇔2x−3y=52x−3y−2x−4y=−2 ⇔2x−3y=5−7y=−2 ⇔2x−3y=5y=27 ⇒2x−3.27=5y=27 ⇔2x=5+67y=27 ⇔2x=417y=27 ⇔x=4114y=27 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 4114;27.
Nhận cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được: 2x+27y=−43 (5)−2x−27y=11 (4) Lây (4) + (5) ta được 2x+27y+−2x−27y=−43+11−2x−27y=11 ⇔2x+27y−2x−27y=−43+11−2x−27y=11 ⇔0=−43+11−2x−27y=11 Vì 0=−43+11(vô lí) nên hệ phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x+y=4x−35x+3y=5−9y14 Lời giải: x+y=4x−35x+3y=5−9y14 ⇔5x+5y=4x−314x+42y=15−9y ⇔5x+5y−4x=−314x+42y+9y=15 ⇔x+5y=−3 (1)14x+51y=15 (2) Nhân hai vế của phương trình (1) với 14 ta được: 14x+70y=−42 (3)14x+51y=15 (2) Lấy (3) – (2) ta được: 14x+70y=−4214x+70y−14x+51y=−42−15 ⇔14x+70y=−4214x+70y−14x−51y=−57 ⇔14x+70y=−4219y=−57 ⇔14x+70y=−42y=−57:17 ⇔14x+70y=−42y=−3 ⇔14x+70.(−3)=−42y=−3 ⇔14x=−42+210y=−3 ⇔14x=168y=−3 ⇔x=168:14y=−3 ⇔x=12y=−3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (12; -3). Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước sau Bước 1: Lấy điều kiện của biến (nếu có) Bước 2: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng cơ bản. Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất vừa tìm được bằng các phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
Đặt: 1x−1=a;1y+2=b khi đó hệ phương trình trở thành 3a+b=4 (1)2a−b=1 (2) Lấy (1) + (2) ta được: 3a+b+2a−b=4+12a−b=1 ⇔3a+b+2a−b=52a−b=1 ⇔5a=52a−b=1 ⇔a=5:52a−b=1 ⇔a=12.1−b=1 ⇔a=12−b=1⇔a=1b=2−1 ⇔a=1b=1 ⇒1x−1=11y+2=1 ⇔x−1=1y+2=1 ⇔x=2y=−1 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (1; -1).
Đặt x−2=a (a≥0)y−1=b (b≥0) Khi đó hệ phương trình trở thành a+b=22 (1)−3a+4b=18 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới: 3a+3b=66 (3)−3a+4b=18 (4) Lấy (3) + (4) ta được: 3a+3b=667b=84 ⇔3a+3b=66b=84:7 ⇔3a+3b=66b=12 ⇔3a+3.12=66b=12 ⇔3a=66−36b=12 ⇔3a=30b=12 ⇔a=30:3b=12⇔a=10b=12 + Với a = 10⇒x−2=10 ⇔x−2=10x−2=−10⇔x=10+2x=−10+2⇔x=12x=−8 + Với b = 12⇒y−1=12 ⇔y−1=12y−1=−12⇔y=12+1y=−12+1⇔y=13x=−11 Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11),
Điều kiện: x≥1;y≥0 Đặt x−1=a a≥0y=b (b≥0) Khi đó hệ phương trình trở thành 3a+2b=13 (1) 2a−b=4 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới 3a+2b=13 (1) 4a−2b=8 (3) Lấy (1) + (3) ta được hệ 3a+2b+4a−2b=13+83a+2b=13 ⇔7a=213a+2b=13 ⇔a=21:73a+2b=13 ⇔a=33.3+2b=13 ⇔a=32b=13−9 ⇔a=32b=4 ⇔a=3b=2 ⇒x−1=3y=2 ⇔x−1=9y=4⇔x=10y=4. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4). Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp. Phương pháp giải: Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng f(x;y)=a1 (1)g(x;y)=a2 (2) Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực hiện theo ba bước sau: Bước 1: Nhân phương trình (1) với a2 và phương trình (2) với a1 rồi trừ phương trình để làm mất hệ số tự do. Bước 2: Phương trình chỉ còn hai ẩn x và y ta xét hai trường hợp. Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0. Ta thay vào phương trình ban đầu của hệ để giải ẩn còn lại. Trường hợp 2: Nếu x≠0 hoặc y≠0 ta chia cả hai vế phương trình cho bậc cao nhất của x hoặc y. Bước 3: Giải phương trình với ẩn xy hoặc yx sau đó tìm nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2x2+xy−3y2=8 x2−2xy+2y2=4 Lời giải: 2x2+xy−3y2=8 (1) x2−2xy+2y2=4 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới: 2x2+xy−3y2=8 (1) 2x2−4xy+4y2=8 (3) Trừ phương trình (1) cho phương trình (3) ta được: 2x2+xy−3y2−2x2−4xy+4y2=8−8 ⇔2x2+xy−3y2−2x2+4xy−4y2=0 ⇔5xy−7y2=0 ⇔y5x−7y=0 ⇔y=05x−7y=0 ⇔y=05x=7y + Với y = 0 ⇒2x2+x.0−3.02=8 ⇔2x2=8 ⇔x2=4 ⇔x=2x=−2 + Với 5x = 7y ⇒x=7y5 thay vào phương trình (1) ta có: 27y52+y.7y5−3y2=8 ⇔2.4925y2+75y2−3y2=8 ⇔y29825+75−3=8 ⇔y2.5825=8 ⇔y2=8:5825 ⇔y2=10029 ⇒y=±10029=±1029=±102929 Với x=7y5⇒x=±142929 Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là 2;0;−2;0;142929;102929;−142929;−102929. Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng Phương pháp giải: Hệ phương trình đối xứng là khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ phương trình đã cho không đổi. Để giải hệ phương trình này ta làm theo ba bước. Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S và P là S2≥4P Bước 3: Thay x; y bởi S và P vào hệ phương trình. Tìm S, P rồi tìm x; y. Ví dụ: Giải hệ phương trình x+y+xy=11x2y+y2x=30 Lời giải: x+y+xy=11x2y+y2x=30 ⇔x+y+xy=11xy(x+y)=30 Đặt S=x+yP=xyS2≥4P Khi đó hệ phương trình trở thành S+P=11S.P=30 ⇔S=11−P(11−P)P=30 ⇔S=11−P11P−P2=30 ⇔S=11−PP2−11P+30=0 ⇔S=11−PP−11P−5=0 ⇔S=11−PP=11P=5 ⇔S=5P=6(tm)S=6P=5(tm) Với S=5P=6⇒x+y=6xy=5⇔x=6−y(6−y)y=5 ⇔x=6−y−y2+6y−5=0⇔x=1y=5x=5y=1 Với S=5P=6⇒x+y=5xy=6⇔x=5−y(5−y)y=6 ⇔x=5−y−y2+5y−6=0⇔x=2y=3x=3y=2 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm. III. Bài tập vận dụng: Bài 1: Bằng phương pháp thế hãy giải các hệ phương trình sau:
Bài 2: Bằng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau.
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 4: Giải các hệ phương trình đẳng cấp, hệ phương trình đối xứng sau:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Săn SALE shopee tháng 12:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
