Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

Với cách giải các dạng toán Các bài toán về khoảng cách trong không gian và cách giải môn Toán lớp 12 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Các bài toán về khoảng cách trong không gian và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem:

Các bài toán về khoảng cách trong không gian và cách giải - Toán lớp 12

  1. LÝ THUYẾT

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng ∆).

+ Kí hiệu khoảng cách từ M đến (P) là d (M, (P))

Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

+ Kí hiệu khoảng cách từ M đến ∆ là d (M, ∆)

Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

  1. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng α song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì của a tới mặt phẳng α cụ thể da,α=dA,α với A thuộc a.

Ta có: d(a, (α)) = d(A, (α)) = AH

với A thuộc a và H là hình chiếu của A lên mặt phẳng α

Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

  1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia, cụ thể dα,β=dM,β với M thuộc mặt phẳng α.

Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đường thẳng MN cắt và vuông góc với cả a và b gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Bài tập khoảng cách trong không gian oxyz

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó. Cụ thể: d (a, b) = MN.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ M(x0;y;0z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

d(M,(P))=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 5 = 0 và điểm M (0; 2; 4). Tính d (M; (P)).

  1. 13
  1. 19
  1. 49
  1. 43

Hướng dẫn giải:

Ta có :

dM,P=0+2.2−2.4+512+22+−22=13

Chọn A.

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) ta thực hiện các bước như sau:

+) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P).

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): 4x – 3y + z – 2 = 0 và (Q): 12x – 9y + 3z + 1 = 0 là

  1. 8326
  1. 1.
  1. 6326
  1. 7326

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M0 ; 0 ; 2∈P

dP;Q=dM ; Q=12.0−9.0+3.2+1122+92+32=7326

Chọn D.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương u→ được xác định bởi công thức:

d(M, d) = AM→; u→u→.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz khoảng cách từ điểm M (2; 0; 1) đến đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là

  1. 12
  1. 3
  1. 2
  1. 126

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua A (1; 0; 2) có một vectơ chỉ phương là ud→=1;2;1.

Ta có: MA→=−1;0;1

Suy ra :

MA→;ud→=−2;2;−2

Khoảng cách từ điểm M (2; 0; 1) đến đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:

d(M, d) = MA→; ud→ud→=−22+22+−2212+22+12=126=2.

Chọn C.

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d’ ta thực hiện như sau:

+) Lấy M thuộc đường thẳng d.

+) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d’ (bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng).

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

d1:x=1+2t1y=2+2t1z=3−3t1 và d2:x=3+4t2y=2+4t2z=5−6t2 t1, t2∈ℝ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Ta lấy M (1; 2; 3) thuộc đường thẳng d1

Ta có d2 đi qua A (3; 2; 5) và có một vectơ chỉ phương là u2→=4;4;−6.

AM→=−2;0;−2

Khi đó:

AM→;u→2=8;−20;−8

Vì d1, d2 song song nên ta có:

dd1; d2=dM; d2=AM→; u2→u2→=82+−202+−8242+42+−62=256117

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Phương pháp giải:

d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ud→ và d’ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương ud'→ là:

d( d, d') = ud→; ud'→.AB→ud→; ud'→.

Ví dụ 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1:x−72=y+13=z−5 và d2:x=−2−ty=2z=3+t

  1. 53
  1. 43
  1. 33
  1. 3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u1→=2;3;−5 và đi qua điểm M17;−1;0.

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là u2→=−1;0;1 và đi qua điểm M2−2;2;3.

Ta có:

u1→;u2→=3;3;3,

M1M2→=−9;3;3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là

dd1;d2=u1→;u2→.M1M2→u1→;u2→=3.−9+3.3+3.332+32+32=933=3

Chọn D.

6. Khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng d đến mặt phẳng (P), cụ thể: