Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
1. Công thức nghiệm
- Biệt thức ∆
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:
Δ = b2 - 4ac
Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.
- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là
x1=-b+∆2a; x2=-b-∆2a
+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là
x1=x2=-b2a
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức Δ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
- 7x2−2x+3=0
- 5x2+210x+2=0
- 12x2+7x+23=0
- 1,7x2−1,2x−2,1=0
Lời giải
- 7x2−2x+3=0
Ta có: a = 7; b = -2; c = 3
Δ=b2−4ac=−22−4.7.3=−80
Vì Δ<0 nên phương trình đã cho vô nghiệm
- 5x2+210x+2=0
Ta có: a = 5; b = 210; c = 2
Δ=b2−4ac=2102−4.5.2=40−40=0
Vì Δ=0 nên phương trình đã cho có một nghiệm.
- 12x2+7x+23=0
Ta có: a = 12; b = 7; c = 23.
Δ=b2−4ac=72−4.12.23=1433
Vì Δ>0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
- 1,7x2−1,2x−2,1=0
Ta có: a = 1,7; b = -1,2; c = -2,1
Δ=b2−4ac=−1,22−4.1,7.−2,1
Δ=1,44+14,28=15,72
Vì Δ>0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
- 2x2 – 7x + 3 = 0;
- 6x2 + x + 5 = 0;
- 6x2 + x – 5 = 0;
- 3x2 + 5x + 2 = 0;
- y2 – 8y + 16 = 0;
- 16z2 + 24z + 9 = 0.
Lời giải
- Phương trình bậc hai 2x2 – 7x + 3 = 0
Có: a = 2; b = -7; c = 3; Δ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 25 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là 3 và
- Phương trình bậc hai 6x2 + x + 5 = 0
Có a = 6; b = 1; c = 5; Δ = b2 – 4ac = 12 – 4.5.6 = -119 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
- Phương trình bậc hai 6x2 + x – 5 = 0
Có a = 6; b = 1; c = -5; Δ = b2 – 4ac = 12 – 4.6.(-5) = 121 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và
- Phương trình bậc hai 3x2 + 5x + 2 = 0
Có a = 3; b = 5; c = 2; Δ = b2 – 4ac = 52 – 4.3.2 = 1 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và
- Phương trình bậc hai y2 – 8y + 16 = 0
Có a = 1; b = -8; c = 16; Δ = b2 – 4ac = (-8)2 – 4.1.16 = 0.
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép :
Vậy phương trình có nghiệm kép y = 4.
- Phương trình bậc hai 16z2 + 24z + 9 = 0
Có a = 16; b = 24; c = 9; Δ = b2 – 4ac = 242 – 4.16.9 = 0
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép:
Vậy phương trình có nghiệm kép
Bài 3: Xác định các hệ số a, b, c ; tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình :
- 2x2 – 5x + 1 = 0 b. 4x2 + 4x + 1 = 0
- 5x2 – x + 2 = 0 d. -3x2 + 2x + 8 = 0
Lời giải:
- Phương trình 2x2 – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0
√Δ = √17
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
- Phương trình 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 42 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0
Phương trình có nghiệm kép :
- Phương trình 5x2 – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 2
Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
- Phương trình -3x2 + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100 > 0
√Δ = √100 = 10
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Bài 4: Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình :
Lời giải:
- Phương trình 2x2 - 2√2 x + 1 = 0 có a = 2, b = -2√2 , c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-2√2 )2 – 4.2.1 = 8 – 8 = 0
Phương trình có nghiệm kép :
- Phương trình 2x2 – (1 - 2√2 )x - √2 = 0 có a = 2, b = -(1 - 2√2 ), c = -√2
Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-(1 - 2√2 )]2 – 4.2.(-√2 )
\= 1 - 4√2 + 8 + 8√2 = 1 + 4√2 + 8
\= 1 + 2.2√2 + (2√2 )2 = (1 + 2√2 )2 > 0
\= 1 + 2√2
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
- Phương trình 3x2 + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 7,92 – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0
√Δ = √22,09 = 4,7
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Bài 5: Giải phương trình bằng đồ thị:
Cho phương trình 2x2 + x – 3 = 0.
- Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x2, y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.