43 1 MB 1 18
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 1 §2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1:
Chú ý: p i 1 xi pi , i 1, 2,3,...k x1 x2 ... xk x p2 ... p1 pk (…) vô hạn ...
... i • Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến
k ...
1 2 3 ...
khi dừng lại x p
Khoa Khoa Học và Máy Tính qp q 2 p ... q k 1 p... Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 2 Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
x 1
p 2
pq 3. . . 19
pq 2 .. . pq18 20
q19 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu
FX ( x) F x X x
nhiên X là:
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm
các t/c đặc trưng
2. F 0, F 1
3. a X b FX b FX a
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì FX
liên tục trên toàn trục số
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 x
3 • Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì
X x0 0, x0
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
không có ý nghĩa
Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy FX x pi
xi x • Ví dụ 2.3:
0
0,1
FX x
0,6
1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
nếu
nếu
nếu
nếu 2 x 5 7
0,1 0,5 0, 4 x 2
2 x 5
5 x 7
7x
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 4 Chú ý: Hàm phân phối FX x 0 bên trái miền giá trị của X
và FX x 1 bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:
f X x f x FX x x
x
• Định lý 2.1:
FX x f X t dt
• Tính chất: 1 f ( x) 0
t/c đặc trưng
2
f
(
x
)
dx
1
b
(3) P ( a X b) f X ( x ).dx
a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 5 Chú ý: Hàm mật độ f X x 0 bên ngoài miền giá trị
của X.
• Ví dụ 2.4:
a cos 2 x, x 0, / 2 X f ( x )
0, • 1.Xác định a
•
/2 x 0, / 2 a
1 f (x)dx a cos xdx
2
0
2 a
sin2x
x
2
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính /2
0 /2 1 cos2x dx
0 a
4
. a
2 2
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 6 2. Hãy tìm hàm phân phối FX x
0 , neáu x 0
x
x
2
sin 2x
4 2
FX x f t dt cos tdt x
, neáu 0 x
2
2
0
1 , neáu x / 2
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: / 4, / 4
/ 4 X / 4 F / 4 F / 4
/4 / 4 X / 4 2
f
x
dx
(4
/
)
cos
xdx
/4
Khoa Khoa Học và Máy Tính /4 0 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 7 • Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số
bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ
nhất, thứ hai là p1, p2 .
• Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 8 1 X 2 . . . k . . . p1 q1 p2 q1q2 ( p1 q1 p2 ) ..... q1k 1q2k 1 p1 q1 p2 . . . Y 0 1 Y p1 Z 2k 1 X Z q1 p2 q2 p1 q1k 1q2k 1 p1 Khoa Khoa Học và Máy Tính 2 . . . q1q2 q1 p2 q2 p1 k . . . . . . q1k 1q2k 1 .... . . . 2k
q1k q2k 1 p2 , k 1, 2,... Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 9 §3: Véc tơ ngẫu nhiên I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời: xi , Y y j pij , i 1, k ; j 1, h
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 10 y
Y x y1 y2 … yh Px X
x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 … Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 11 2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
h pi xi pij , i 1, k
j 1
k q j Y y j pij , j 1, h
i 1 3. Điều kiện độc lập của X và Y
i, j : pij pi .q j
Định lý 3.1: X,Y độc lập
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
( X xi / Y y j )
(Y y j / X xi )
Khoa Khoa Học và Máy Tính pij
qj
pij
pi , i 1, k
, j 1, h Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 12 5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) F x, y X x, Y y
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) F x, y là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F ( , ) 0, F (, ) 1
(3) (a X b, c Y d ) F (a, c) F (b, d ) F (a, d ) F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ
mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên, khi ấy ta có: F ( x, y ) pij
xi x
yj y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 13 Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau: y
Y x 3 5 0 0,1 0,2 0,3 2 0,3 0,4 0,7 Y 0,4 0.6 1 X X Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 14 .
X 0 2 (1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
P X 0,3 0, 7
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 0,3.0, 4 X , Y
là phụ thuộc
X
0
2
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
0.2 0.4
(4)Tìm hàm phân phối:
P X /Y 5
0,
0.1,
F x, y 0.1 0.2,
0.1 0.3,
1, Khoa Khoa Học và Máy Tính x 0 y 3 0.6 0.6 0 x 2,3 y 5
0 x 2,5 y
2 x,3 y 5
2 x,5 y
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 15 III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:
2 Định lý 3.2: f F x, y
x, y
xy
x y F x, y f u , v dudv
Dxy
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 16 HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 17 Tính chất:
(1) f x, y 0
TCDT
(2)
f
(
x
,
y
)
dxdy
1
R2
(3) x, y D
f x, y dxdy
D 3. Các hàm mật độ xác suất lề. fX
fY x
y Khoa Khoa Học và Máy Tính
f x, y dy f x, y dx Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 18 .Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: FX
FY x
y F x,
F , y 4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập f x, y f X x . fY y F x, y FX x .FY y
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện: f X / Y y0 ( x )
fY / X x0
Khoa Khoa Học và Máy Tính f
fY x, y0 y0 f x0 , y
( y)
f X x0
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 19 Ví dụ 3.2: Cho
a.e x y , neá
u 0x y <+> 0
B2: . FY ( y ) P (Y y ) P ( ln X y ) P ( X e y )
1 P X e y 1 FX x , x e y Vì X có phân phối đều trên đoạn [0,1] nên FX Khoa Khoa Học và Máy Tính 0, x 0
x x, 0 x 1
1, x 1
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 37 y 0 x e y 1 FX x 1
y 0 0 x e y 1 FX x x e y • B3: fY 0, y 0
FY ( y )
y
1
e
, y 0
0, y 0
y y
e , y 0 • Miền giá trị của Z là đoạn [-1,2] .Theo chú ý ở trên thì Z
có phân phối đều trên đoạn [-1,2] nên 0, z 1 2 z
f Z ( z )
1/ 3, 1 z 2
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 38 $4. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên Z ( X , Y ) 1. Trường hợp rời rạc.
Giả sử:
( X xi , Y y j ) pij Z zk
pij
Ví dụ 4.1: Cho X,Y có bảng
xi , y j zk Y 3 5 X Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y 0
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính 0,1
0,3 0,2
0,4
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 39 .
Giải:
X+Y
3
5
0,1 0,2+0,3 7
0,4 XY
0
6
10
P
0,1+0,2 0,3 0,4
2.Trường hợp liên tục:
Bước 1: Tìm miền giá trị của Z X , Y
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 40 . FZ z Z z X , Y z Bước 2
Dz : Bước 3. fZ f x, y dxdy x, y z dFZ ( z )
( z)
dz Ví dụ 4.2:
1 ,nếu 0 x, y 1
f ( x, y )
0 ,nếu trái lại. Tìm hàm phân phối của Z=X+Y
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 41 Giải:
Bước 1: 0 Z X Y 2
Bước 2: FZ z Z z X Y z
Dz: : x y z f x, y dxdy 1dxdy
Dz 0, z 0
2
z / 2, 0 z 1( hình 4.1)
D
2 z2
= diện tích z
,1 z 2( hình 4.2)
1
2
1, 2 z
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 42 • HÌNH 4.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính • HÌNH 4.2 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 43 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan