Phương pháp thực hiện
Để giải và biện luận phương trình:ax$^4$ + bx$^2$ + c = 0 (1)
ta thực hiện các bước:
* Chú ý: Thí dụ: Cho phương trình: x$^4$-(m + 2)x$^2$ + m = 0. (1) Tìm m để phương trình: a. Có nghiệm duy nhất. b. Có hai nghiệm phân biệt. c. Có ba nghiệm phân biệt. d. Có bốn nghiệm phân biệt.Đặt t = x$^2$ với điều kiện t ≥ 0. Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: f(t) = t$^2$-(m + 2)t + m = 0. (2) a. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> (2) có nghiệm t1 ≤ 0 = t2 <=> $\left\{ \begin{array}{l}S \le 0\\P = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \le 0\\m = 0\end{array} \right.$, vô nghiệm. Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 <=> a.c < 0 <=> m < 0. Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.c. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m = 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m = 0. Vậy, với m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.d. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 < t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m > 0.Vậy, với m > 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. Page 2
Phương pháp thực hiện
Giả sử cần đi "Giải và biện luận phương trình (a$_1$x + b$_1$)(a$^2$x + b$^2$) = 0", ta thực hiện theo các bước: Thí dụ: Cho phương trình: x$^3-2mx$^2$ + m$^2$x + m-1 = 0. Xác định m để: a. Phương trình có đúng 1 nghiệm. b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. c. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt. d. Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt. e. Phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.Viết lại phương trình dưới dạng: (x - 1)[x$^2$-(2m - 1)x - m + 1] = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\g(x) = {x^2} - (2m - 1)x - m + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$. (I) a. Để phương trình có đúng 1 nghiệm điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l} (2)\,vo\,nghiem\\ {\rm{(2)}}\,{\rm{co}}\,{\rm{nghiem}}\,{\rm{kep}}\,{\rm{bang}}\,{\rm{1}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} = 0\\g(1) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l} (2)\,\,co\,2\,\,nghiem\,phan\,biet\,va\,1\,nghiem\,bang\,1\\ {\rm{(2)}}\,co\,1\,\,nghiem\,kep\,khac\,1 \end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\,\,v\mu \,\,g(1) = 0\\{\Delta _g} = 0\,\,v\mu \,\,g(1) \ne 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.c. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\m \ne 1\end{array} \right..$ Vậy, với $m \in \left( { - \infty ;\,\, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.d. Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm âm phân biệt <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} < 0\\{P_g} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 < 0\\1 - m > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m < 1/2\\m < 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.e. Để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} > 0\\{P_g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 > 0\\1 - m > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m > 1/2\\m < 1\\m \ne 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1.$ Vậy, với $\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1$ thoả mãn điều kiện đầu bài.* Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên đã miêu tả phương pháp cơ bản để "Giải và biện luận một phương trình bậc ba".
Đã gửi 25-01-2016 - 19:48
$x^4+(1-2m)x^2+m^2-1=0$ tìm m để phương trình a)vô nghiệm b)có 1 nghiệm c)có 2nghiệm d)có 3 nghiệm e)có 4 nghiệm giúp mình giải chi tiết và trình bày cho mình luôn nha Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynh2000: 25-01-2016 - 19:51
Đã gửi 25-01-2016 - 20:10
Bài này câu a) , c) e) đúng chứ mình mình nghĩ hai câu còn lại không đúng đâu! Lời giải chi tiết cho 3 câu trên! $x^4+(1-2m)x^2+m^2-1=0(1)$ Để làm gọn phương trình ta đặt $x^2=t$ với t lớn hơn hoặc bằng không. Từ đó phương trình trở thành: $t^2+(1-2m)t+m^2-1=0(2)$ với: $\Delta =(1-2m)^2-4(m^2-1)=5-4m$ a) Phương trình $(1)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $(2)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm âm $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \Delta =5-4m<0\Leftrightarrow m>\dfrac{5}{4} & & \\ \left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & & & \\ p>0 & & & \\ S<0 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>1 & & \\ m<-1 & & \end{bmatrix} & & \end{bmatrix}$ Vậy $m<-1$ hoặc $m>\frac{5}{4}$. c) $(1)$ có hai nghiệm khi và chỉ khi $(2)$ có hai nghiệm trái dấu hoặc 1 nghiệm kép dương! Đến đây làm tương tự như trên thu về được $-1<m<1$ hoặc $m=\frac{5}{4}$ e) $(1)$ có bốn nghiệm khi và chỉ khi $(2)$ có hai nghiệm dương phân biệt! Đến đây cũng tương tự nhé! 
Tiếc gì một
Đã gửi 26-01-2016 - 19:22
vì sao 2 câu còn lại không đúng hả bạn
Đã gửi 26-01-2016 - 22:50
b) Đặt $x^2=t \ (t \geq 0)$ $PT \iff t^2+(1-2m)t+m^2-1=0 \ (2)$ Để PT(1) có 1 nghiệm duy nhất thì PT(2) xảy ra 2 TH: +TH1: PT(2) có nghiệm kép $t_1=t_2=0$. Khi đó: $\begin{cases} & \Delta=5-4m=0 \\ & m^2-1=0 \end{cases} \iff \begin{cases} & m=\dfrac{5}{4} \\ & m^2=1 \end{cases}$ (điều này vô lí) +TH2: PT(2) có 1 nghiệm là $t_1=0$ và một nghiệm âm $t_2 <0$ Với $t=0$ thay vào (2): m^2=1 \iff m= \pm -1$ Rồi lại thay ngược vào PT(2): $m=1 \iff t^2-t=0$ (loại) Với $m=-1 \iff t^2+3t=0 \iff t=0$ v $t=-3$ (t/m) Vậy tìm đc $m=-1$ để pt có 1 nghiệm duy nhất. d) Để PT(1) có 3 nghiệm thì PT (2) phải có 1 nghiệm dương $t_1 >0$ và 1 nghiệm là $t_2=0$ Thay $t=0$ vào (2) $\Longrightarrow m= \pm 1$ Rồi thay ngược vào (2) ta thấy: Với $m=1 \iff t=0$ v $t=1$ (t/m) Với $m=-1 \iff t=0$ v $t=-3$ (ko t/m) Vậy $m=1$ thì PT có 3 nghiệm.
|
