Ở nội dung lượng giác lớp 10, các em sẽ có thêm nhiều công thức giữa cung và góc lượng giác. Mặt khác, các bài tập lượng giác luôn đòi hỏi khả năng biến đổi linh hoạt giữa các công thức để tìm lời giải.
Bạn đang xem: Bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 10 có đáp án
Bạn đang xem: Bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 10 có đáp án
Vì vậy để giải các dạng bài tập toán lượng giác các em phải thuộc nằm lòng các công thức lượng giác cơ bản, công thức giữa cung và góc lượng giác. Nếu chưa nhớ các công thức này, các em hãy xem lại bài viết các công thức lượng giác 10 cần nhớ.
Bài viết này sẽ tổng hợp một số dạng bài tập về lượng giác cùng cách giải và đáp án để các em thuận tiện ghi nhớ và vận dụng với các bài tương tự.
° Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước 1 giác trị tính các giá trị lượng giác còn lại
¤ Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản
* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10): Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu
- Vận dụng công thức:
- Vì 00, nên:
+
+
b)
- Vận dụng công thức:
- Vì π* Ví dụ 2 (Bài 1 trang 153 SGK Đại Số 10): Tính giá trị lượng giác của góc
a)
b)
° Lời giải:
a) Ta có: 2250 = 1800 + 450
- Nên
+ Có: 2400 = 1800 + 600
- Nên
+ Có:
+ Có:
b) Có:
+ Có:
° Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
¤ Phương pháp giải:
- Để chứng minh đẳng thức lượng giác A = B ta vận dụng các công thức lượng giác và biến đổi vế để đưa A thành A1, A2,... đơn giản hơn và cuối cùng thành B.
- Có bài toán cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh phản chứng.
* Ví dụ 1: Chứng minh:
° Lời giải:
- Ta có:
- Vậy ta có điều phải chứng minh.
* Ví dụ 2 (Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10): Chứng minh các đẳng thức:
a)
b)
c)
° Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
ta có:
•
•
° Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác
¤ Phương pháp giải:
- Để rút gọn biểu thức lượng giác chứa góc α ta thực hiện các phép toán tương tự dạng 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước.
- Nếu kết quả bài toán sau rút gọn là hằng số thì biểu thức đã cho độc lập với α.
* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 154 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:
a)
b)
c)
° Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
* Ví dụ 2 (Bài 8 trang 155 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
- Tương tự có:
- Vậy:
° Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với α
¤ Phương pháp giải:
- Vận dụng các công thức và hiện các phép biến đổi tương tự dạng 3.
* Ví dụ (Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10): Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:
a)
b)
c)
d)
° Lời giải:
a) Ta có:
⇒ Vậy biểu thức A=0 không phụ thuộc vào giá trị của x
b) Ta có:
(vì
)
⇒ Vậy biểu thức B=0 không phụ thuộc vào giá trị của x
c) Ta có:
⇒ Vậy biểu thức C=1/4 không phụ thuộc vào giá trị của x
d) Ta có:
⇒ Vậy biểu thức D=1 không phụ thuộc vào giá trị của x.
Xem thêm: Viết Bài Văn Nghị Luận Về Trang Phục Và Văn Hóa Mới Nhất, Nghị Luận Về Trang Phục Và Văn Hóa
° Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác
¤ Phương pháp giải:
* Ví dụ 1 (Bài 12 trang 157 SGK Đại số 10): Tính giá trị của biểu thức:
° Lời giải:
- Vận dụng công thức nhân đôi: cos2α = 2cos2α - 1 và sin2α = 2sinα.cosα
- Ta có:
* Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
Qua một số ví dụ trên cho thấy, để giải bài tập lượng các em phải biến đổi linh hoạt, ghi nhớ các công thức chính xác. Mặt khác, có rất nhiều đề bài có thể hơi khác, nhưng qua một vài phép biến đổi là các em có thể đưa về dạng tương tự các dạng toán trên để giải.
Follow Us
Có gì mới
Trending
//thabet.co/soi-cau/xsmn soi cầu mn 2888 soi cầu xsmb win2888
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$
c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}$ $ = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$ c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^2}x + 1 + \tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).$
$ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos (A + C)}}{{\sin B}}.\tan B = 2.$
Vì $A + B + C = {180^0}$ nên: $VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos \left( {{{180}^0} – B} \right)}}{{\sin B}}.\tan B.$ $ = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}$ $ – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B$ $ = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = \sin \left( {{{90}^0} – x} \right)$ $ + \cos \left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ + {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)$ $ – {\tan ^2}x.$
b) $B = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 – \cos x}}} – \sqrt 2 .$
a) $A = \cos x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}x = 0.$ b) $B = \frac{1}{{\sin x}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – \cos x + 1 + \cos x}}{{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}} – \sqrt 2 .$ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{1 – {{\cos }^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} – \sqrt 2 .$
$ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 {\cot ^2}x.$
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$
$P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$
$P = \sqrt {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$ $ = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} $ $ + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .$ $ = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.$ $ = 3.$
Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) ${\tan ^2}x – {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x.$
b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
c) $\frac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x\cos x}} + \frac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x.$
d) ${\sin ^2}x – {\tan ^2}x$ $ = {\tan ^6}x\left( {{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x} \right).$
e) $\frac{{{{\tan }^2}a – {{\tan }^2}b}}{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}b}}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}a – {{\sin }^2}b}}{{{{\sin }^2}a.{{\sin }^2}b}}.$
a) $VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} – {\sin ^2}x$ $ = {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x$ $ = VP.$ b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$ c) $VT = {\tan ^3}x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ – \tan x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ + {\cot ^3}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)$ $ = \tan x + {\tan ^3}x – \cot x$ $ – \tan x + \cot x + {\cot ^3}x = VP.$ d) $VP = {\tan ^6}x{\cos ^2}x – {\tan ^6}x{\cot ^2}x$ $ = {\tan ^4}x{\sin ^2}x – {\tan ^4}x$ $ = {\tan ^4}x.{\cos ^2}x$ $ = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$ $ = {\tan ^2}x – {\sin ^2}x = VT$ (do câu a).
e) $VT = \frac{1}{{{{\tan }^2}b}} – \frac{1}{{{{\tan }^2}a}}$ $ = {\cot ^2}b – {\cot ^2}a$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}b}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = VP.$
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ – {\cos ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).$ b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}} – {\cos ^2}x.$ c) $C = \frac{{{{\sin }^3}a + {{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^2}a + \sin a(\sin a – \cos a)}}.$
d) $D = \sqrt {\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}}} + \sqrt {\frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}}} .$
a) $A = {\tan ^2}x + 1$ $ – {\tan ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = {\sin ^2}x.$ b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {\cos ^2}x$ $ = {\cos ^2}x{\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = – {\cos ^4}x.$ c) $C = $ $\frac{{(\sin a + \cos a)\left( {{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a} \right)}}{{{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a}}$ $ = \sin a + \cos a.$ d) ${D^2} = $ $\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}} + \frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}} + 2$ $ = \frac{{{{(1 + \sin a)}^2} + {{(1 – \sin a)}^2}}}{{1 – {{\sin }^2}a}} + 2$ $ = \frac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} + 2$ $ = \frac{4}{{{{\cos }^2}a}}.$
Suy ra $D = \frac{2}{{|\cos a|}}.$
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$ b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$ c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right).$
d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}.$
a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$ $ = 2\left( {1 – 3{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)$ $ – 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right) = – 1.$ b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$ $ = 3\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)$$\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}.$ $ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = 0.$ c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right)$ $ = – 2.$
d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}$ $ = \frac{2}{3}.$