Các dạng bài tập đối xứng hình 10 nâng cao năm 2024

Tài liệu gồm 16 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề đối xứng trục, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 8 chương 1: Tứ giác.

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT + Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. + Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. + Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
2. CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO + Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng. Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng. + Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán. Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng đối xứng vói nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau. + Dạng 3. Tổng hợp.
3. DẠNG BÀI NÂNG CAO-PHÁT TRIỂN TƯ DUY
4. PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐỐI XỨNG TRỤC Dạng 1: Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua 1 đường thẳng. Dạng 2: Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán. Dạng 3: Tìm trực đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng. Dạng 4: Dựng hình có sử dụng đối xứng trục. Dạng 5: Tổng hợp.

• Tài Liệu Toán 8

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Trên đây là các dạng bài tập hàm số lớp 10 mà chúng tôi đã phân loại và sắp xếp theo các đơn vị kiến thức trong sách giáo khoa mà các em đã học. Trong đó, các em cần lưu ý hai dạng toán quan trọng nhất là : tìm tập xác định của hàm số và vẽ đồ thị hàm số bậc hai. Bên cạnh đó, để làm tốt các bài tập của chương II, các em phải học thuộc các định nghĩa về hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai để việc tiếp thu các phương pháp giải nhanh chóng hơn.Tài liệu gồm hệ thống các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận phù hợp để các em khắc sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng. Hy vọng đây sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em tiến bộ trong học tập.

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình hay được sử dụng trong toán lớp 11. Tuy nhiên, nó vẫn gây ra không ít khó khăn cho các bạn học sinh trong việc tưởng tượng và ứng dụng vào giải toán. Vì thế VUIHOC đã thiết kế bài viết này nhằm điểm lại định nghĩa, tính chất và vận dụng vào các bài toán như thế nào. Các em hãy đọc cẩn thận để lĩnh hội nhé.

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm được định nghĩa như sau:

Cho điểm I, phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M′ sao cho M ′ đối xứng với M qua I (hay I chính là trung điểm thì được gọi là phép đối xứng tâm I).

Tâm đối xứng được kí hiệu là I

1.1 Kí hiệu

Đ$_{I}$ là kí hiệu của phép đối xứng tâm I

1.2. Công thức

Từ định nghĩa phép đối xứng tâm ta có thể suy ra được công thức như sau:

M'=Đ$_{I}(M)\Rightarrow \overline{IM'} =-\overline{IM}$

1.3. Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Nếu hình ℋ có hình ℋ ’ là ảnh qua Đ$_{I}$ thì ta còn nói là ℋ ’ đối xứng với ℋ qua tâm I, hay ℋ và ℋ ’ đối xứng với nhau qua I.

2. Tính chất phép đối xứng tâm

2.1.Tính chất 1

• Nếu Đ$_{I}$(M) = M' và Đ$_{I}$(N)=N'

Thì M'N' = MN

$\overline{M'N'} = \overline{-MN}$

Lưu ý:

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm I biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

2.2. Tính chất 2

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
• Chuyển một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
• Chuyển một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đó
• Chuyển một tam giác thành tam giác bằng tam giác ban đầu
• Biến một đường tròn trở thành một đường tròn khác có cùng bán kính

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp toàn bộ phương pháp giải các dạng bài tập xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

3.1. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y), gọi tọa điểm M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, ta có:

Đ$_{O}$(M) = M'

Thì x' = -x

y' = -y

3.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kỳ

Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) trong mặt phẳng Oxy cho I(a; b), M(x; y), qua phép đối xứng tâm I thì ta có:

Đ$_{I}(M) =M'$

Nên điểm I là trung điểm của MM’

Suy ra: tọa độ $I (a; b) = (\frac{x + x'}{2}; \frac{y + y'}{2})$

$\Rightarrow a =\frac{x + x'}{2}$

$b =\frac{y + y'}{2})$

$\Rightarrow 2a =x+x'$

$2b =y+y'$

Suy ra:

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa: điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm O biến ℋ thành chính nó.

Ví dụ trong thực tế

Tâm đối xứng của một số hình phẳng

* Phương pháp tìm tâm đối xứng của một hình

Nếu hình đã cho là một đa giác thì sử dụng tính chất: Một đa giác có tâm đối xứng O thì qua phép đối xứng tâm O mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác song song và bằng cạnh ấy.

Nếu hình đã cho không phải là một đa giác thì ta sẽ sử dụng định nghĩa.

5. Một số dạng bài tập về phép đối xứng tâm từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

5.1. Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng tâm

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa độ O (0; 0)

x’ = − x

y’ = − y

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa độ I(a; b)

x’ = 2a − x

y’ = 2b − y

VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(-2021; 2022) qua phép đối xứng tâm O(0; 0) là:

1. M’(2021; 2022)

1. M’(2021; -2022)

1. M’(-2021; 2022)

1. M’(-2021; -2022)

Giải

Qua phép đối xứng tâm O, có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O

Ta có biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm O là:

x’ = -x = 2021

y’ = -y = -2022

M’(2021; -2022)

Chọn đáp án B

VD2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(1; -6) qua phép đối xứng tâm I(-2; 5) là:

1. M’(-5; 16)

1. M’(5; -16)

1. M’(-4; 3)

1. M’(4; -3)

Giải

Qua phép đối xứng tâm I giả sử điểm M’(x’, y’) là ảnh của M

Ta có biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I là:

x’ = 2a - x

y’ = 2b - y

⇔ x’ = 2 . (-2) - 1

y’ = 2 . 5 - (-6)

⇔ x’ = -5

y’ = 16

$\Rightarrow$ M’(-5; 16)

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

5.2. Dạng 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào tính chất phép đối xứng tâm sẽ biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

- Bước 1: Lấy hai điểm bất kì thuộc đường thẳng đó.

- Bước 2: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm của hai điểm đã lấy từ bước 1.

- Bước 3: Từ hai điểm thuộc đường thẳng ta sẽ viết được phương trình đường thẳng cần tìm.

VD1: Cho đường thẳng d thuộc mặt phẳng Oxy có phương trình:

x + 2y + 4 = 0. Vận dụng phép đối xứng tâm O(0;0), tìm ảnh của đường thẳng d

1. x + y + 4 = 0

1. x + y - 4 = 0

1. x + 2y - 4 = 0

1. 2x + 3y + 4 = 0

Giải

Ta có phương trình d là x + 2y + 4 = 0,

Lấy 2 điểm A(0; -2), B(-4; 0)

Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh qua phép đối xứng tâm O của A, B. Khi đó ta có:

$x_{A'} = -x_{A} = 0$

$y_{A'} = -y_{A} = 2$

$\Rightarrow$ A’(0, 2)

Tương tự:

$x_{B'} = -x_{B} = 4$

$y_{B'} = -y_{B} = 0$

$\Rightarrow$ B’(4, 0)

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O. Khi đó, theo tính chất của phép đối xứng tâm thì d’ sẽ đi qua hai điểm A’ và B’.

Suy ra $\overline{A'B'}$ là vectơ chỉ phương của d’

Ta có: $\overline{A'B'} (4; -2) \Rightarrow \bar{n} (1; 2)$

Phương trình đường thẳng d’ là:

1(x - 0) + 2(y - 2) = 0

$\Rightarrow$ x + 2y - 4 = 0

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C

VD2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình là

3x - 4y + 6 = 0, điểm I(2; -4). Viết phương trình đường thẳng d' biết d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

1. 3x + 2y + 34 = 0

1. -3x + 2y + 34 = 0

1. 2x + 3y - 34 = 0

1. -2x + 3y - 34 = 0

Giải

Ta có phương trình d là 3x - 2y + 6 = 0,

Lấy 2 điểm A(0; 3), B(-2; 0)

Sử dụng phép đối xứng tâm I, ta gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B. Khi đó biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I là:

$x_{A'}=2a - x_{A}$

$y_{A'} =2b - y_{A}$

⇔ $x_{A'}=2 . 2 - 0$

$y_{A'}=2 . (-4) - 3$

⇔ $x_{A'}=4$

$y_{A'}= -11$

$\Rightarrow$ A’(4, -11)

Tương tự:

$x_{B'}=2a - x_{B}$

$y_{B'}=2b - y_{B}$

⇔ $x_{B'}=2 . 2 + 2$

$y_{A'}=2 . (-4) - 0$

⇔ $x_{A'}=6$

$y_{A'}= -8$

$\Rightarrow$ B’(6, -8)

Sử dụng phép đối xứng tâm I ta có d’ là ảnh của d. Khi đó, d’ sẽ đi qua hai điểm A’ và B’.

Ta có: $\overline{A'B'} (2; 3) \Rightarrow \bar{n} (-3; 2)$

Phương trình đường thẳng d’ là:

-3(x - 4) + 2(y + 11) = 0

$\Rightarrow -3x + 2y + 34 = 0$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án B

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Toán THPT Quốc gia sớm đạt 9+

5.3. Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào việc biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính của phép đối xứng tâm.

- Bước 1: Tìm bán kính và tâm của đường tròn.

- Bước 2: Dùng phép đối xứng tâm tìm ảnh của tâm đường tròn.

- Bước 3: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đề bài và có tâm vừa tìm được ở trên.

VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): $(x - 1){2} + (y+3){2}=16$ qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

1. $(x + 1){2} + (y - 3){2}=16$

1. $(x - 1){2} + (y + 3){2}=16$

1. $(x - 1){2} + (y + 3){2}=9$

1. $(x + 1){2} + (y - 3){2}=9$

Giải

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C) lần lượt là I và R

Ta có phương trình (C): $(x - 1){2} + (y + 3){2}=16$

Suy ra: tọa độ I(1; -3), R = 4

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C’) lần lượt là I’ và R’

Theo tính chất của phép đối xứng tâm O, ta có

R’ = R = 4

Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm O là:

x’ = - x = -1

y’ = - y = 3

$\Rightarrow$ I’(-1; 3)

Suy ra phương trình đường tròn (C’) là:

$(x + 1){2} + (y - 3){2}=16$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

VD2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$ điểm A(1; 2). Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A.

1. $(x + 3){2} + (y + 2){2}=4$

1. $(x - 3){2} + (y + 2){2}=4$

1. $(x + 3){2} + (y - 2){2}=4$

1. $(x - 3){2} + (y - 2){2}=4$

Giải

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C) lần lượt là I và R

Ta có phương trình (C):

$x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$

⇔ $(x^{2} + 2x +1) + (y^{2} - 4y + 4) + 1 - 1 - 4=0$

⇔ $(x + 1){2} + (y - 2){2}=4$

Suy ra: I(-1; 2) và R = 2

Gọi tâm đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A có tâm và bán kính lần lượt là I’ và R’

Ta có:

R’ = R = 2

Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm A là:

x’ = 2a - x

y’ = 2b - y

⇔ x’ = 2 . 1 + 1

y’ = 2 . 2 - 2

⇔ x’ = 3

y’ = 2

$\Rightarrow$ I’(3; 2)

Suy ra phương trình đường tròn (C’) là:

$(x - 3){2} + (y - 2){2}=4$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án D

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là đầy đủ nội dung và bài tập có lời giải chi tiết về phép đối xứng tâm thuộc chương trình Toán 11. Hy vọng các em có thể tham khảo và vận dụng tốt bài giảng này để đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới. Các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để chuẩn bị được kiến thức tốt nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia nhé!