- Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)
- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)
của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị của f(x) với x ∈ miền giá trị D. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x)= y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số). Ta đưa biểu thức cần xét về dạng : m ≤ y ≤ M. Từ đó, Min f(x) = m với x ∈ D, Max f(x) = M với x ∈ D.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của f(x) = x2+4x+5
Gọi y là một giá trị của f(x).
Ta có: y= x2+4x+5
⇔ x2+4x+5-y=0 (có nghiệm)
⇔ Δ’ = 4-5+y ≥0
⇔ y ≥1
Vậy f(x) min = 1 khi và chỉ khi x= -2
Sử dụng phương pháp hình học
Phương pháp này áp dụng với các bài tập mà biểu thức của hàm số ở dạng tổng hoặc hiệu của căn bậc hai của các tam thức. Ta có thể đưa yêu cầu của bài toán đã cho về xét độ dài của các đoạn thẳng. Thông qua việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó.
Nếu A(x1,y1); B(x2,y2) suy ra:
Với ba điểm M, A, B bất kỳ ta có:
|MA – MB| ≤ AB ≤ MA + MB
Ví dụ 2: Cho
Tìm giá trị lớn nhất của f(x).
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ, lấy 3 điểm: A(2,1); B(5,5); M(x,0)
Ta có:
Mặt khác ta có: MA-MB ≤ AB
hay
Vậy GTLN của f(x) = 5 xảy ra khi 3 điểm M, A, B nằm trên một đường thẳng.
Ta lại có phương trình của đường thẳng qua qua A và B là: d = 4/3x – 5/3, d cắt Ox tại M(5/4;0). Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = 5/4.
Ví dụ 3: Cho f(x) =
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)
Lời giải:
Ta có:
Chọn A(4,-2); B(x,2x); C(0,10)
Ta có: AB +BC ≥ AC
Ta lại có:
Chọn D(x,8); E(0,2x); F(x-4,0)
Ta có: DE + EF ≥ DF
Từ (2) và (3) ta có:
Phương trình đường thẳng đi qua AB nhận C(0,10) là nghiệm
Phương trình đường thẳng đi qua DE nhận F(x-4;0) là nghiệm
Giải hệ điều kiện ta có: x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Các dạng bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số
Các dạng bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số phổ biến, thường gặp trong các đề thi là:
Phương trình hàm số có dạng tam thức bậc 2
Cho hàm số/đa thức P(x) = ax2+bx+c (a ≠ 0)
Đưa P(x) về dạng: a(x – h)2+k (a ≠ 0)
Ta xét hệ số a:
Nếu a > 0: thì P(x) đạt GTNN và GTLN của P là: Pmin \= k khi x = -b2a
Nếu a < 0: thì P(x) đạt GTNN và GTLN của P là: Pmax \= k khi x = -b2a
Ví dụ 4: Với x là số nguyên không âm, tìm giá trị nhỏ nhất hàm số P(x) = (x + 2)2 – 5.
Lời giải:
Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên (x + 2)2 – 5 ≥ – 5 ⇔ P(x) ≥ – 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)2 \= 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Kết luận GTNN của P(x) = -5 khi x = -2.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của hàm số P(x) = 2x2– 6x
Lời giải:
Ta có: P(x) = 2x2– 6x \= 2(x2– 3x) \= 2(x2-2.32x+94)-94
\= 2(x-32)2–92
Vì (x-32)2 ≥ 0 nên 2(x-32)2–92 ≥ –92
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-32\= 0
Vậy GTNN của P(x) bằng –92 đạt được khi x = 32
Phương trình hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với dạng bài tập này ta có 2 cách làm như sau:
Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về dạng P(x) ≥ a (với a là số đã biết). Suy ra giá trị nhỏ nhất của P(x) là a. Hoặc biến đổi về dạng P(x) ≤ b (với b là số đã biết). Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của P(x) là b.
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai tham số là biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất: