Cách bấm máy tính tổng chuỗi số

Với n là số tự nhiên, kí hiệu an là số tự nhiên gần nhất của n. Tính

Giải trên máy tính Casio fx 570MS ( các máy khác tương tự)

Ta có: a1 =1;a2 =1

          a3 =2;a4 =2;a5 =2;a6 =2

          a7 =3;a8 =3;a9 =3;a10 =3;a11 =3;a12 =3

          a14 =4

dãy an : số 1 xuất hiện 2 lần, số 2 xuất hiện 4 lần, số 3 xuất hiện 6 lần

Quy luật: Mỗi số tự nhiên k xuất hiện trong dãy an: 2k lần

Ta có: 442 =1936;452 =2025

          a1980 =44;a1981 =45 

nên a1981 =a1982 =a1983 =.....=a2004 =a2005 =45

suy ra S2005 =a1 +a2 +...+a2005 =2(12 +22 +32 +...+442)+25×45

Áp dụng công thức 12 +22 +32 +...+n2 =16n(n+1)(2n+1), ta có:

S2005 =2×16×44×(44+1)(2×44+1)+25×45

Dùng máy tính ta tính được:

S2005 =59865

Vậy S2005 =59865

“Theo sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570MS”

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-2E

1. Các khái niệm

1.1 Định nghĩa 1:

Cho dãy số thực vô hạn

Các số được gọi là số hạng của chuỗi, được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi.

Một dãy là được cho nếu biết quy luật tính số hạng tổng quát thứ n của nó.

1.2 Định nghĩa 2:

Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi (sequence of partial sum): .

Nếu hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ (convergent).

Nếu hoặc không tồn tại ta nói chuỗi phân kỳ (divergent)

Thí dụ 1.2.1:

Xét chuỗi cấp số nhân: (geometric series)

Ta có:

Nếu q =1 ta có:

Vậy chuỗi phân kỳ.

Nếu q ≠ 1 ta có:

Ta tìm:

Nếu |q| < 1 thì , do đó chuỗi hội tụ và có tổng bằng

Nếu q> 1 thì không có giới hạn hữu hạn, do đó chuỗi phân kỳ.

Nếu q = -1 thì do đó

Vậy không có giới hạn và chuỗi đã cho phân kỳ.

Như vậy, cấp số nhân với số hạng đầu khác không hội tụ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Image via Wikipedia

Thí dụ 1.2.2:

Cho q = 1/3 ta được:

(do )

Cho q = -1/4 ta được:

(do )

Thí dụ 1.2.3:

Tìm tổng của chuỗi:

Lập tổng ta có:

Phân tích số hạng thứ n ta có:

Do đó:

Hay:

Dễ dàng thấy tổng Sn hội tụ về 1 nên chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 1

Thí dụ 1.2.4:

Tìm tổng của chuỗi:

Dự đoán: Sử dụng Maple vẽ tổng của với n = 10.000 ta có:

>>plot(Sn, 1 .. 10000);

Dựa vào đồ thị của Sn ta thấy đường cong luôn tiệm cận với 0.25. Suy ra, ta có thể dự đoán chuỗi số này hội tụ đến 1/4.

Dựa vào dự đoán trên ta sẽ chứng minh chuỗi trên hội tụ và có tổng bằng

Phân tích số hạng thứ n thành thừa số. Ta có:

Khi đó, tổng Sn sẽ là: .

Rõ ràng, qua giới hạn, Sn hội tụ về 1/4. Vậy chuỗi đã cho hội tụ tổng của chuỗi bằng 1/4

Nhận xét:

Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng phần thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các thừa số có tính chất truy hồi.