Cho hai biến x, y thỏa mãn phương trình F(x, y) = 0 () Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x) vào () ta được đồng nhất thức y = y(x) là hàm số ẩn xác định bởi (*). VD: Xác định hàm số ẩn y(x) trong phương trình 2 2 2 2
1/ 1
x y
a b
2 /
y x
x y
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Từ F(x, y) = 0, lấy đạo hàm hai vế theo x, ta được
&
039; &
039; &
039; , ,. 0 x y x F x y F x y y
&
039; &
039; &
039; , , x x y F x y y F x y &
039; 0 y Với điều kiện F ta có: VD: Cho 0 x y xy e e . Tính y’
- Lập hàm: ௫ ௬
- ௫ ᇱ ௫
- ௬ ᇱ ௬ 𝒙 ᇲ 𝒚 ᇲ 𝒙 𝒚
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Cho hàm số ẩn 2 biến z = f(x, y) xác định bởi F(x, y, z) = 0 với F z ’(x, y, z) 0, ta có:
&
039; &
039; &
039; &
039; &
039; &
039; , , , ,. , 0 , , , , , x z x x x z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z
&
039; &
039; &
039; &
039; &
039; &
039; , , , ,. , 0 , , , , , y z y y y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z
CỰC TRỊ VÀ CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
CỰC TRỊ
--------
Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực đại tại điểm M
0
(x
0
, y
0
) nếu
với mọi điểm M(x, y) thuộc lân cận của điểm M
0
(x
0
, y
0
), ta
có:
0 0
f x , y f x y,
Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực tiểu tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)
nếu với mọi điểm M(x, y) thuộc lân cận của điểm M
0
(x
0
, y
0
),
ta có:
0 0
f x , y f x y,
ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM CÓ CỰC TRỊ
Giả sử điểm M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm dừng của hàm số. Giá trị các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ), ký hiệu là:
#######
2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 , ; , ; , ; z z z A x y B x y C x y x x y y Xét = AC – B 2 .
- Nếu > 0 và A > 0 HS đạt cực tiểu tại M 0 và cực tiểu là f(M 0 );
- Nếu > 0 và A < 0 HS đạt cực đại tại M 0 và cực đại là f(M 0 );
- Nếu < 0 thì hàm số không đạt cực trị.
- Nếu = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này)
QUY TRÌNH TÌM CỰC TRỊ
Bước 1. Tìm điểm dừng M 0 (x 0 ; y 0 ) bằng cách giải hệ &
039; 0 0 &
039; 0 0 , 0 , 0 x y f x y f x y Bước 2. Tính 2 2 &
039;&
039; &
039;&
039; 0 0 0 0 &
039;&
039; 2 0 0 , ; , , x xy y A f x y B f x y C f x y AC B Bước 3.
- Nếu > 0 và A > 0 HS đạt cực tiểu tại M 0 và giá trị cực tiểu là f(M 0 );
- Nếu > 0 và A < 0 HS đạt cực đại tại M 0 và giá trị cực đại là f(M 0 );
- Nếu < 0 thì hàm số không đạt cực trị.
- Nếu = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này)
thế vào (2) (2) Có 2 điểm dừng M 3 (0; 1) và 𝟒
- Vậy bài toán có 4 điểm dừng : 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟒
VD: Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8.
- Tìm điểm dừng: 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ Có 1 điểm dừng M (-2; 1)
- Tính các đạo hàm cấp 2: 𝒙 𝟐 ᇱᇱ 𝒙𝒚 ᇱᇱ 𝒚 𝟐 ᇱᇱ 𝟐 Tại điểm M(-2; 1) có Hàm số đạt cực tiểu và 𝑪𝑻 3
Tại điểm M 1 (0; 0) có Hàm số không đạt cực trị.
- Tính các đạo hàm cấp 2: 𝒙 𝟐 ᇱᇱ 𝒙𝒚 ᇱᇱ 𝒚 𝟐 ᇱᇱ 𝟐 Tại điểm M 2 (1; 1) có Hàm số đạt cực tiểu và fCT = -
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Ta gọi cực trị của hàm số z = f(x, y), trong đó các biến số x và y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện. Phương pháp khử Từ phương trình g(x, y) = 0, ta rút x hoặc y theo x rồi thế vào f(x, y) và tìm cực trị hàm 1 biến. VD. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x 2
- y 2
- xy + x + y Với điều kiện x + y + 3 = 0.
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1. Lập hàm Lagrange: L(x, y, ) = f (x, y) +[ g (x, y)] , là nhân tử Lagrange. Bước 2. Giải hệ Điểm dừng M 0 (x 0 ; y 0 ) ứng với 0 .
&
039; &
039; &
039; &
039; &
039; &
039; &
039; , 0 0 0 x x x y y y L g x y L f g L f g
Bước 3. Lập ma trận 2 2 1 12 2 1 21 2 2 11 1 22 2 2 1 21 2 2 11 1 22 2 H g L g g L g g L g L g L g g L g L 1 2 1 11 12 2 21 22 0 g g H g L L g L L 1 2 2 2 2 2 11 2 12 21 ; ; ; g g g g x y L L L L L L L L x x y y x y trong đó Tính: Được tính khi x = x 0 ; y = y 0 ; = 0 .
####### f x y, xy 2 x
8 x 4 y 120 VD. Tìm cực trị của hàm số với điều kiện
- Lập hàm lagrange:
- Tìm điểm dừng: ᇱ 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ ᇱ 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ Từ (2) - 8 Từ (3) Thế vào pt (1) ta có: (1) ) + 4( - 8) -120 = 0 Hàm số có 1 điểm dừng M(8, 14, -2)
Lập ma trận Hesse: 𝟏 𝒙 ᇱ 𝟐 𝒚 ᇱ 4 𝟐𝟐 𝒚𝟐 ᇱᇱ 𝟏𝟏 𝒙𝟐 ᇱᇱ 𝟏𝟐 𝟐𝟏 𝒙𝒚 ᇱᇱ f x y, xy 2 x 8 x 4 y 120 Tại điểm dừng M(8, 14, -2) có > 0: Hàm số đạt cực đại và f CĐ = 128 ᇱ 𝒙 ᇱ 𝒚 ᇱ