Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Show Bản để in Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dâyMục lục 1. Định lí 1 [edit] 2. Định lí 2 [edit] Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b)Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Cho đường tròn \((O) \) có hai dây \(AB\) và \(CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Chứng minh: a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\) b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\) Chứng minh: Ta có \(\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\) (Đường kính vuông góc với dây cung) \((1)\) Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \(OHB\) và \(OKD,\) ta có: \(\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\) \((2)\) a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\) Theo giả thiết: \(AB=CD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\) Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\) Theo giả thiết: \(OH=OK.\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2.\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2=KD^2.\) \(\Rightarrow HB=KD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB=CD.\) Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.\(\square\) Ví dụ 1: Cho đường tròn \((O);\) đường kính \(AB,\) hai dây \(AC\) và \(BD\) song song với nhau. Gọi \(d_1;\ d_2\) lần lượt là khoảng cách từ \(O\) đến \(AC,\ BD.\) So sánh \(d_1\) và \(d_2.\) Phân tích: Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh. Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Tìm mối quan hệ giữa hai dây \(AC\) và \(BD\)  Giải: Ta có: \(C \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\) \(\Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C.\) \(\Rightarrow AC \bot BC.\) Ta lại có: \(D \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\) \(\Rightarrow \Delta ADB\) vuông tại \(D.\) \(\Rightarrow BD \bot AD.\) Mà \(AC // BD \Rightarrow AD // BC.\) Khi đó, tứ giác \(ACBD\) là hình bình hành. \(\Rightarrow AC=BD\) (Tính chất hình bình hành) \(\Rightarrow d_1 = d_2.\) (Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)\(\square\) Ví dụ 2: Cho hình vẽ: Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn? GiảiVì hai điểm \(I,\ J\) cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \(OI = OJ.\) Mà trong đường tròn lớn có \(OI,\ OJ\) là khoảng cách từ tâm tới hai dây \(GH;\ MN\) \(\Rightarrow GH=MN.\) (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)\(\square\) Định lí 2 [edit]Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Cho \((O), \) hai dây \(AB,\ CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Khi đó: a) Nếu \(AB<CD\) thì \(OH>OK.\) b)Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\) Chứng minh: a) Nếu\(AB>CD\) thì \(OH<OK.\) Theo giả thiết: \(AB>CD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2<OK^2\Rightarrow OH<OK.\) Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\) Theo giả thiết: \(OH<OK\Rightarrow OH^2<OK^2.\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2>KD^2.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB^2>CD^2\Rightarrow AB>CD.\) Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.\(\square\) Ví dụ 3: Cho \((O),\) hai dây \(AB,\ CD\) không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm đến dây \(AB, CD\)lần lượt là \(4cm,\ 3cm.\) So sánh độ dài hai dây \(AB\) và \(CD.\) Giải Từ \(O\) kẻ \(OI \bot AB\ ( I \in AB);\ OK \bot CD\ (K \in CD).\) \(\Rightarrow OK=3cm;\ OI=4cm.\) Mà \(OK<OI\ (3cm<4cm)\) \(\Rightarrow CD>AB.\) (Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn)\(\square\) Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Gọi \(M,\ N,\ P\) lần lượt là hình chiếu của tâm \(O\) lên \(AC,\ AB,\ BC.\) So sánh ba đoạn thẳng \(OM,\ ON,\ OP\) nếu \(AB = 5cm;\ AC = 7cm\) và \(BC = 11cm.\) Giải Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) \(\Rightarrow AB,\ AC,\ BC\) là ba dây cung của đường tròn. Ta có: \(BC>AC\ (11cm>7cm)\) \(\Rightarrow OP<OM.\)(Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn) \((1)\) Lại có: \(AC>AB\ (7cm>5cm)\) \(\Rightarrow OM<ON.\) (Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn) \((2)\) Từ \((1)\) và \((2)\) \(\Rightarrow OP<OM<ON.\) \(\square\)
◄ Link vào học
Chuyển tới... Chuyển tới... Diễn đàn Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Luyện tập: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Luyện tập: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Thực hành: Nhận biết các tỷ số lượng giác góc nhọn Lý thuyết: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Luyện tập: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Lý thuyết: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Luyện tập: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Lý thuyết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài kiểm tra: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán thực tế Chương 1 Link vào học Lý thuyết: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Luyện tập: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Lý thuyết: Đường kính và dây của đường tròn Luyện tập: Đường kính và dây của đường tròn Link vào học Luyện tập: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Lý thuyết: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Luyện tập: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Lý thuyết: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Luyện tập: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Lý thuyết: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Đường tròn Bài kiểm tra: Đường tròn Tài liệu ôn tập Link vào học Lý thuyết: Góc ở tâm. Số đo cung Luyện tập: Góc ở tâm. Số đo cung Lý thuyết: Liên hệ giữa cung và dây Luyện tập: Liên hệ giữa cung và dây Lý thuyết: Góc nội tiếp Thực hành: Góc nội tiếp Luyện tập: Góc nội tiếp Lý thuyết: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Thực hành: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Luyện tập: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Lý thuyết: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Thực hành: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Luyện tập: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Lý thuyết: Tứ giác nội tiếp Thực hành: Nhận xét tính chất của tứ giác nội tiếp Luyện tập: Tứ giác nội tiếp Lý thuyết: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Luyện tập: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Lý thuyết: Độ dài đường tròn, cung tròn Minh họa độ dài đường tròn Luyện tập: Độ dài đường tròn, cung tròn Lý thuyết: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Minh họa cách tính diện tích Hình tròn Luyện tập: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Lý thuyết: Góc với đường tròn Bài kiểm tra: Góc với đường tròn Bài kiểm tra 45 phút Lý thuyết: Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Luyện tập: Hình trụ Lý thuyết: Hình nón - Hình nón cụt Luyện tập: Hình nón - Hình nón cụt Lý thuyết: Hình cầu Luyện tập: Hình cầu Toán thực tế chương 4 Lý thuyết: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Bài kiểm tra: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Luyện tập: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây ► Tính khoảng cách giữa hai điểm là gì?Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối liền hai điểm đó. Như vậy, tính khoảng cách giữa hai điểm chính là đi tìm độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm xác định. Lưu ý rằng, đây chỉ là độ dài đoạn thẳng giữa hai điểm và không phải là độ dài đường thẳng hay độ dài đoạn vuông góc nào khác.
Có thể bạn quan tâm
Các bài tập hình học phẳng thông thường sẽ có các câu hỏi như cho điểm A nằm trên đường tròn hoặc hình tam giác, sau đó tìm độ dài đoạn thẳng giữa điểm A này với một điểm có sẵn trước. Với dạng bài toán này, sẽ không có công thức chung để tìm độ dài đoạn thẳng. Thường bạn sẽ phải áp dụng nhiều kiến thức, lý thuyết hình học khác nhau và tính chất của các hình học, dữ kiện đề bài cho sẵn hoặc dữ kiện tìm được để có thể tìm ra độ dài của đoạn thẳng. Ví dụ, cho đường thẳng d và một điểm (O) cách d 1cm. Vẽ đường tròn tâm (O) bán kính 3cm. Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB. Giải: Gọi H là trung điểm AB. OH đi qua trung điểm AB => OH ⊥ AB Áp dụng định lý Pythago vào tam giác OAH ta có: OA2 = OH2 + AH2 => AH2 = OA2 – OH2 => AB = 4√2
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(a;b) và điểm N(α;β). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức: Ví dụ, Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và điểm B(5;3). Tính độ dài đoạn thẳng AB. Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B. Cách tính sẽ tương tự với hai điểm trong mặt phẳng Oxyz. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(a;b;c) và điểm N(α;β;γ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức: Ví dụ, trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;1;2). Tính khoảng cách 2 điểm A và B. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B là: Tùy vào dữ kiện đề bài, loại bài tập và các kiến thức hình học, đồ thị khác nhau mà bạn sẽ tìm được tọa độ điểm để có thể tính được độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm. Ví dụ, cho đường thẳng ∆ 3x – 4y -19=0 và đường tròn (C) (x-1)2 +(y-1)2=25 biết ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B .Tinh độ dài AB. Giải: Ta có (C): (x-1)2 +(y-1)2 =25 => hình tròn có tọa độ tâm O(1;1) và bán kính là 5 => d((O),∆)=|3-4-19|/√(9+16) = 20/5 = 4 H là hình chiếu của O lên AB => OH = 4 Áp dụng định lý pitago với tam giác vuông OAH, ta có: AH=√(OA2 – OH2)=√(25 – 16)=3 H là hình chiếu của tâm O lên AB => H là trung điểm của đoạn AB => AB=6 Xem thêm: Tính năm nhuận như thế nào? Như vậy, việc tính khoảng cách giữa hai điểm phụ thuộc rất nhiều vào dữ kiện đề bài và vận dụng các kiến thức toán học khác nhau. Vì vậy, để có thể tính toán chuẩn xác khoảng cách giữa hai điểm, bạn cần phải nắm thật chắc các kiến thức cơ bản nhất trong hình học phẳng và hình học tọa độ. |
