Tài liệu gồm 14 trang, được biên soạn bởi tác giả Lê Thảo (giáo viên Toán tiếp sức chinh phục kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020 môn Toán trên kênh truyền hình Giáo dục Quốc gia VTV7), hướng dẫn giải các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2: tổ hợp và xác suất và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Kết quả 1. Cho n điểm trong không gian, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. + Số đường thẳng đi qua hai điểm. + Số vectơ khác vectơ 0 nối hai điểm bất kì. + Số tam giác tạo thành. + Số tứ diện được tạo thành (nếu trong n điểm không có bốn điểm nào đồng phẳng). Kết quả 2. Cho đa giác lồi n đỉnh. + Số đường chéo của đa giác. + Số giao điểm giữa các đường chéo mà giao điểm nằm trong đa giác (nếu không có ba đường chéo nào đồng qui). + Số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác. + Số tam giác có đúng một cạnh của đa giác và hai cạnh còn lại là đường chéo. + Số tam giác có hai cạnh của đa giác, một cạnh còn lại là đường chéo. + Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác. [ads]Kết quả 3. Cho đa giác đều n đỉnh. + Số tam giác vuông. + Số tam giác tù. + Số tam giác nhọn.Kết quả 4. Cho đa giác đều 2n đỉnh n ≥ 2. + Số hình chữ nhật. + Số tam giác vuông.Kết quả 5. Cho đa giác đều 3n đỉnh n ≥ 1. + Số tam giác đều.+ Số tam giác cân không đều.
Với Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đếm hình sử dụng Tổ hợp từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.  Định nghĩa : Cho tập hợp X có n phần tử (n≥1) và số nguyên k với 1≤k≤n. Mỗi tập con gồm k phần tử của X gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (gọi tắt là một tổ hợp chập k của X). Công thức : Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là + Một đường thẳng được xác định nếu biết hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. + Ba điểm không thẳng hàng tạo thành một tam giác. + Trong một đường tròn; dây cung đi qua tâm gọi là đường kính. + Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật . + Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có các cạnh đối song song với nhau là hình bình hành. Ví dụ 1: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác lồi 16 cạnh. A.560 B.420 C.240 D.280 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Đa giác lồi đã cho có 16 cạnh nên đa giác này có 16 đỉnh. Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của nó. Do đó số tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác lồi đã cho là: Ví dụ 2: Cho một đa giác có 12 cạnh. Hỏi đa giác này có bao nhiêu đường chéo. A.48 B.51 C.54 D.62 Hướng dẫn giải : Đáp án : C Đa giác đã cho có 12 cạnh nên có 12 đỉnh. Số đoạn thẳng được tạo ra từ 12 đỉnh này là: Mà đa giác này có 12 cạnh nên đa giác này có số đường chéo là: 66- 12= 54 đường chéo. Chú ý: Số cạnh+ số đường chéo =số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì. Ví dụ 3: Cho đa giác lồi n đỉnh (n≥4) . Hỏi đa giác đã cho có bao nhiêu đường chéo? Hướng dẫn giải : Đáp án : C Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh. Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là: ⇒ Số đường chéo của đa giác là: Ví dụ 4: Cho một đa giác có n đỉnh. Biết rằng đa giác này có 20 đường chéo. Tìm n? A.7 B.8 C.10 D.12 Hướng dẫn giải : Đáp án : B + Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh . + Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là: ⇒ Số đường chéo của đa giác là: + Theo giả thiết ta có: (n(n-3))/2=20 Vậy đa giác đã cho có 8 đỉnh. Ví dụ 5: Số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng phân biệt là: A.66 B.132 C.120 D.45 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm. ⇒ số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng là: điểm Ví dụ 6: Cho một đường tròn và 5 đường thẳng phân biệt. Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm? A.10 B.15 C. 20 D. 25 Hướng dẫn giải : Đáp án : C + Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng: Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm ⇒ số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng là: + Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng với đường tròn. Một đường thẳng cắt đường tròn tối đa tại hai điểm ⇒ 5 đường thẳng cắt đường tròn tối đa: 2.5= 10 điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng và đường tròn là:10 + 10= 20 điểm Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a cho 6 điểm phân biệt, trên đường thẳng b cho 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm đã cho trên hai đường a và b. A.364 B.231 C.288 D.210 Hướng dẫn giải : Đáp án : B - Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên a và 1 đỉnh thuộc b + Có + Có + Theo quy tắc nhân có : 15.7= 105 tam giác. - Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên a và 2 đỉnh thuộc b + Có + Có + Theo quy tắc nhân có : 6.21= 126 tam giác. Kết hợp hai trường hợp ta có : 105 + 126= 231 tam giác Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n>1). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên.Tìm n? A.20 B.21 C.30 D.32 Hướng dẫn giải : Đáp án : A - Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên d1 và 1 đỉnh thuộc d2 + Có + Có + Theo quy tắc nhân có : 45.n tam giác. - Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên d1 và 2 đỉnh thuộc d2 + Có + Có + Theo quy tắc nhân có : Do đó số tam giác được tạo ra là : 45n+5n( n-1) Theo đề bài ta có : 45n + 5n( n-1)= 2800 Ví dụ 9: Cho đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n. Tìm n? A.3 B.6 C.8 D.12 Hướng dẫn giải : Đáp án : C + Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm đã cho là: + Do đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O nên các đoạn thẳng A1An+1; A2An+ 2;...; AnA2n là n đường kính . + Số các hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n là ( Cứ hai đường kính cho ta một hình chữ nhật nên số các hình chữ nhật thỏa mãn chính bằng số cách chọn 2 đường kính trong n đường kính). + Theo đầu bài ta có phương trình : Vậy n= 8. Ví dụ 10: Cho 10 đường thẳng song song lần lượt cắt 8 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng trên. A.45 B.28 C.73 D.1260 Hướng dẫn giải : Đáp án : D Ta chia các đường thẳng đã cho thành 2 nhóm: + Nhóm 1: là 10 đường thẳng song song với nhau + Nhóm 2: Là 8 đường thẳng song song với nhau Tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau là hình bình hành. + Bước 1: Chọn 2 đường thẳng nhóm 1 có: + Bước 2: Chọn 2 đường thẳng nhóm 2 có: Số hình bình hành được tạo ra là; 45.28= 1260 hình Ví dụ 11: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác (H): A1A2...A10. Hỏi từ các đỉnh của đa giác (H) ta lập được bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh của (H)? A.54 B.64 C.60 D.72 Hướng dẫn giải : Đáp án : C Đa giác A1A2..A10 là đa giác có 10 đỉnh và có 10 cạnh . Giả sử tam giác AiAjAk ( 1≤i,j,k≤10) có đúng 1 cạnh của ( H). Giả sử AiAj là một cạnh của ( H). Khi đó số cách chọn cạnh này là: 10( vì đa giác (H) có 10 cạnh). Số cách chọn đỉnh còn lại Ak là 6 cách ( đỉnh này khác Ai; Aj và khác hai đỉnh liền kề với Ai,Aj ) Theo quy tắc nhân; số tam giác thỏa mãn là 10.6= 60 tam giác. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của (H) nhưng không có cạnh nào là cạnh của (H) ? A.4760 B.3720 C.3600 D.2400 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Do đa giác đã cho có 20 cạnh nên đa giác này có 20 đỉnh là A1; A2; ..; A20. + Bước 1. Chọn đỉnh thứ nhất Ai: có 20 cách. + Bước 2. Chọn đỉnh thứ hai Aj: đỉnh thứ 2 khác đỉnh thứ nhất và khác với đỉnh liền kề với Ai ( chú ý tam giác cần lập không có cạnh nào của ( H)) nên có 17 cách chọn đỉnh Aj + Bước 3. Chọn đỉnh thứ ba Ak: khác đỉnh thứ nhất - thứ hai; khác 2 đỉnh liền kề Ai; khác 2 đỉnh liền kề Aj nên có 14 cách chọn Ak. Theo quy tắc nhân có: 20.17.14= 4760 tam giác thỏa mãn. Câu 1: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác lồi có 13 đỉnh. A.128 B.143 C.286 D.426 Lời giải: Đáp án : C Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của nó. Do đó; số tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác lồi đã cho là: Câu 2: Một đa giác (H) có n cạnh. Biết rằng từ n đỉnh của đa giác ta lập được 816 tam giác. Tìm n? A.18 B.17 C.16 D.14 Lời giải: Đáp án : A Do đa giác (H) có n cạnh nên đa giác này có n đỉnh . Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của tam giác đó. Do đó; từ n đỉnh của đa giác ta lập được số tam giác là: Theo giả thiết ta có: Câu 3: Cho một đa giác có 14 cạnh. Hỏi đa giác này có bao nhiêu đường chéo. A.72 B.68 C.54 D.77 Lời giải: Đáp án : D Đa giác đã cho có 14 cạnh nên có 14 đỉnh. Số đoạn thẳng được tạo ra từ 14 đỉnh này là: Mà đa giác này có 14 cạnh nên đa giác này có số đường chéo là: 91- 14= 77 đường chéo Chú ý: Số cạnh+ số đường chéo =số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì. Câu 4: Cho một đa giác có n đỉnh. Biết rằng đa giác này có 35 đường chéo. Tìm n? A.7 B.8 C.10 D.12 Lời giải: Đáp án : C Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh. Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là: ⇒ Số đường chéo của đa giác là: Theo giả thiết ta có: Vậy đa giác đã cho có 10 đỉnh Câu 5: Số giao điểm tối đa của 18 đường thẳng phân biệt là: A.306 B.324 C.153 D.174 Lời giải: Đáp án : Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm. ⇒ Số giao điểm tối đa của 18 đường thẳng là: Câu 6: Cho một đường tròn và 7 đường thẳng phân biệt. Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm ? A.28 B.14 C.21 D.35 Lời giải: Đáp án : D + Ta tính số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng với nhau: Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm ⇒ số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng là: + Ta tính số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng với đường tròn. Một đường thẳng cắt đường tròn tối đa tại hai điểm ⇒ 7 đường thẳng cắt đường tròn tối đa: 2.7= 14 điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng và đường tròn là: 21+ 14= 35 điểm Câu 7: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a cho 8 điểm phân biệt, trên đường thẳng b cho 6 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm đã cho trên hai đường a và b. A.364 B.231 C.288 D.210 Lời giải: Đáp án : C - Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên a và 1 đỉnh thuộc b + Có + Có Theo quy tắc nhân có : 28. 6= 168 tam giác. - Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên a và 2 đỉnh thuộc b + Có + Có Theo quy tắc nhân có : 8. 15= 120 tam giác. Kết hợp hai trường hợp ta có : 168 + 120= 288 tam giác. Câu 8: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 9 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n>1). Biết có 540 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên.Tìm n? Lời giải: Đáp án : C - Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên d1 và 1 đỉnh thuộc d2 + Có + Có Theo quy tắc nhân có : 36.n tam giác. - Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên d1 và 2 đỉnh thuộc d2 + Có + Có Theo quy tắc nhân có : Do đó ; số tam giác được tạo ra là : Theo đề bài ta có : = 540 Câu 9: Cho đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n gấp 76/3 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n. Tìm n? A.10 B.9 C.8 D.15 Lời giải: Đáp án : + Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm đã cho là: + Do đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O nên các đoạn thẳng A1An+1; A2An+ 2;...; AnA2n là n đường kính . + Số các hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n là ( Cứ hai đường kính cho ta một hình chữ nhật nên số các hình chữ nhật thỏa mãn chính bằng số cách chọn 2 đường kính trong n đường kính). + Theo đầu bài ta có phương trình : Câu 10: Cho15 đường thẳng song song lần lượt cắt 12 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng trên. A.6290 B.6930 C.1440 D.5260 Lời giải: Đáp án : B Ta chia các đường thẳng đã cho thành 2 nhóm: + Nhóm 1: là 15 đường thẳng song song với nhau + Nhóm 2: là 10 đường thẳng song song với nhau Tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau là hình bình hành. + Bước 1. Chọn 2 đường thẳng nhóm 1 có: + Bước 2. Chọn 2 đường thẳng nhóm 2 có: Số hình bình hành được tạo ra là : 105. 66 = 6930 hình Câu 11: Cho 5 đường tròn phân biệt và 4 đường thẳng phân biệt.Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm giữa các đường tròn và đường thẳng? A.66 B.34 C.60 D.Đáp án khác Lời giải: Đáp án : A + Bước 1. Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường tròn: Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 điểm chung. Nên số giao điểm tối đa của 5 đường tròn là : + Bước 2. Ta tính số giao điểm tối đa của 4 đường thẳng: Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 điểm chung nên số giao điểm tối đa của 4 đường thẳng này là : + Bước 3. Số giao điểm tối đa của các đường tròn với các đường thẳng : Một đường thẳng cắt đưởng tròn tối đa tại hai điểm. ⇒ 4 đường thẳng cắt 1 đường tròn tối đa tại: 4.2= 8 điểm ⇒ 4 đường thẳng cắt 5 đường tròn tối đa tại: 8.5= 40 điểm Do đó; số giao điểm tối đa giữa các đường thẳng và đường tròn là : 20 + 6 + 40= 66 điểm Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác (H): A1A2...A16. Hỏi từ các đỉnh của đa giác (H) ta lập được bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh của (H)? Lời giải: Đáp án : B Đa giác A1A2...A16 là đa giác có 16 đỉnh và có 16 cạnh . Giả sử tam giác AiAjAk ( 1≤i,j,k≤16) có đúng 1 cạnh của ( H). Giả sử AiAj là một cạnh của ( H). Khi đó số cách chọn cạnh này là: 16 ( vì đa giác (H) có 16 cạnh). Số cách chọn đỉnh còn lại Ak là 12 cách ( đỉnh này khác Ai; Aj và khác hai đỉnh liền kề với Ai,Aj ) Theo quy tắc nhân; số tam giác thỏa mãn là 16.12 = 192 tam giác. Câu 13: Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 15 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của (H) nhưng không có cạnh nào là cạnh của (H) ? A.2760 B.1720 C.1600 D.1620 Lời giải: Đáp án : D Do đa giác đã cho có 15 cạnh nên đa giác này có 15 đỉnh là A1; A2; ..; A15. + Bước 1. Chọn đỉnh thứ nhất Ai: có 15 cách. + Bước 2. Chọn đỉnh thứ hai Aj: đỉnh thứ 2 khác đỉnh thứ nhất và khác với đỉnh liền kề với Ai ( chú ý tam giác cần lập không có cạnh nào của ( H)) nên có 12 cách chọn đỉnh Aj + Bước 3. Chọn đỉnh thứ ba Ak: khác đỉnh thứ nhất - thứ hai; khác 2 đỉnh liền kề Ai; khác 2 đỉnh liền kề Aj nên có 9 cách chọn Ak. Theo quy tắc nhân có: 15.12.9= 1620 tam giác thỏa mãn. |
