Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d hình chiếu của A trên d có tọa độ là

  • Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng d:

+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).

Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).

+ Bước 2:Do AH vuông góc d nên AH là VTPT của d.

AH(xH - xA; yH - yA) và n(a; b) cùng phương

⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA )= 0 (2)

+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (2; 2)    C. ( 3; -1)    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd (1; -1)

⇔ -a + 1= b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(-

;
).    B. H(
; ).    C. H( ;
).    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b + 3 = 0 (1)

+ Ta có: MH(a; b - 4).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(2; -1)

⇔ -a = 2b - 8 hay a + 2b = 8 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; )

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’(x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(1 ; 2)

⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 2x - y = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH(a-1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(2; -1)

⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 5 = 0 và điểm A(-1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

2.(-1) - 3.1 + 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n( 1; 1).

+ Vecto MA( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MAnd cùng phương

⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x - y - 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d:

= 1 và điểm M(0; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (0,4; 2,8)    C. ( 2,3; -1)    D. (4; -1,2)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên

= 1 hay 2a - b = -2 (1)

+ Ta có: MH(a; b - 3). Phương trình tổng quát (d): 2x - y + 2 = 0

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(2; -1)

⇔ -a = 2b - 6 hay a + 2b = 6 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,4; 2,8)

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(1; 1). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(-

;
).    B. H(
;
).    C. H(
;
).    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a- b+3= 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b - 1).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(1; -1)

⇔ -a + 1 = b - 1 hay a + b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; ).

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 4x + y - 5 = 0 và điểm A(1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

4.1 + 1 - 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0    B. 3x - 2y + 2 = 0    C. 3x - 2y - 1 = 0    D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n(2; 3).

+ Vecto MA( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MAn cùng phương

⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( -

;- )    B. G’( -1; 1)    C. G’(-2; 2)    D. G’(-4; 4)

Lời giải

+ ta có: OB(0; 6); OC( -6; 0)

⇒ OB= 6; OC= 6 và OB.OC = 0.(-6) + 6.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB = OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

⇒ G( -2; 2)

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M:

⇒ M( - 3; 3)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

⇒ G’ ( -4; 4)

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)

Chọn D.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

  • Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp