Chứng minh song song trong tam giác vuông

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

Ở bài viết này các em học sinh lớp 7 sẽ được học về các cách chứng minh hai đường thẳng song song bằng phương pháp dưới đây.

Tổng quan kiến thức cách chứng minh 2 đường thẳng song song.

I. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba (so le, đồng vị…)
2. Sử dụng tính chất của hình bình hành.
3. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
4. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành.
5. Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song.
6. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
7. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang.
8. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn.
9. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

II. Chứng minh hai đường thẳng song song

Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau, ta cần trang bị cho bản thân các kiến thức sau đây:
1. Ghi nhớ lại các một số kiến thức trong hình học phẳng:
– Trong hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật,…: Các cặp cạnh đối song song với nhau.
– Đường trung bình của tam giác, hình bình hành,…: Đường thẳng đi qua hai trung điểm của cặp cạnh bên (cặp cạnh đối diện).
– Định lý Ta – let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
2. Ghi nhớ các tính chất:
– Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
A ∉ a ⇒ ∃! b: b ⊃ A và a//b
– Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
a//x; b//x và a ≠ b ⇒ a//b
–Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Phương pháp:
1. Nếu ta nhìn thấy được hai đường thẳng đó đồng phẳng thì ta sẽ sử dụng các kiến thức trong hình học phẳng để chứng minh.
2. Nếu ta chưa thấy hai đường thẳng đó đồng phẳng thì có thể áp dụng các tính chất 1, 2 và định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD căt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM // BN.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng ME // AC, MF // BD.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. Chứng minh MN // BD.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh: MN // CD.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gòi M, N, P, Q làn lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. Chứng minh PQ // SA.

• 4 Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

• Cách chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau qua ví dụ

• Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ – Toán lớp 7

• Các dạng Toán nâng cao lớp 7

• Định nghĩa, tính chất ba đường cao của tam giác

• Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

• Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Phương pháp chứng minh hình học THCS

• Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
• 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
• 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
• 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
• 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau
• 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
• 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
• Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
• Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
• 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
• Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
• 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
• 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
• 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
• 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác
• 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
• Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
• Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau
• Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
• Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
• Chứng minh các quan hệ không bằng nhau (cạnh – góc – cung)

Để chứng minh 2 đường thẳngsong song trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 8 cách dưới đây.

1. Chứng minh các góc so le trong, đồng vị…bằng nhau

2. Tính chất bắc cầu : Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

• 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
• Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp

3. Tính chất từ vuông góc đến song song : Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

4. Sử dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

5. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành .

6. Định lý TALET đảo: Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.

7. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn

8. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

Chứng min hai đường thẳng song song là một dạng toán hay và khó trong chương trình toán 8, Top lời giải xin giới thiệu chi tiết nhất để các bạn có thể tự tin chứng minh hai đường thẳng song song.

I. Lý thuyết liên quan đến hai đường thẳng song song

1.Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thằng này đến đường thẳng kia.

2. Tính chất của các điểm các đều một đường thẳng cho trước

Các điểm cách đều một đường thẳng b một khoảng là h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.

Nhận xét:Tập hớp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng cách bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.

3. Đường thẳng song song cách đều

Cho các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Khi đó ta gọi a, b, c, d là các đường thẳng song song cách đều.

Ta có định lí:

– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

II. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp 1:Sử dụng tính chất hình bình hành.

Tính chất: Trong hình bình hành các cạnh đối song song

Phương pháp 2:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang.

Tính chất:

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

Phương pháp 3:Sử dụng định lí Talet đảo:

Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì song song với cạnh còn lại của tam giác

III. Một số bài tập vận dụng chứng minh hai đường thẳng song song

Bài 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng ming rằng: CA // DE

Hướng dẫn:Sử dụng tính chất hình bình hành

+) Tứ giác ECDO là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông)

+) Lại có EC // DA (cùng vuông góc Oy)

=> EC = OD mà OD = DA (gt); EC = DA

=> tứ giác ECDA là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hbh)

Bài 2:Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.

Chứng minh rằng: MN // AC.

Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC

Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.

b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?

c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Tứ giác ADME có

∠A=∠D=∠E=90∘∠A=∠D=∠E=90∘nên ADME là hình chữ nhật

O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM.

Vậy A, O, M thẳng hàng.

b) Kẻ AH⊥ BC. Tương tự như bài 70 ta có hai cách chứng minh như sau:

- Cách 1:

Kẻ OK⊥ BC. Ta có OA = OM, OK // AH (cùng vuông góc BC)

=> OK = ½. Ạ. Điểm O cách đoạn thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng ½ AH.

Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB. Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.

- Cách 2:

Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.

Do đó OA = OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH. Mặt khác vì M di chuyển trên cạnh BC nên O chỉ di chuyển trên cạnh PQ. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.