Xếp $5$ chữ số $6$ trước tạo ra $6$ khoảng trống $A,B,C,D,E,F$, có $1$ cách : $\underline{A}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{B}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{C}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{D}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{E}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{F}$ TH1: Lấy một chữ số $1$ và một chữ số $3$ ghép thành một cặp (coi như một phần tử), xếp cặp này và hai chữ số $1$, ba chữ số $3$ vào $6$ khoảng trống trên, có: $\dfrac{6!.2!}{2!.3!}=120$ cách. TH2: Lấy hai chữ số $1$ và hai chữ số $3$ ghép thành hai cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp hai cặp này và một chữ số $1$, hai chữ số $3$ vào $A,B,C,D,E$ có: $\dfrac{5!.2!.2!}{2!.2!}=120$ cách, tương tự vào $B,C,D,E,F$ cũng có: $120$ cách. Trường hợp này có $240$ cách. TH3: Lấy ba chữ số $1$ và ba chữ số $3$ ghép thành ba cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp ba cặp này và một chữ số $3$ vào $B,C,D,E$ có: $\dfrac{4!.2!.2!.2!}{3!}=32$ cách. Tổng cộng có $392$ số thoả đề bài. Minh thấy hình như không đúng ở khúc đầu lắm nếu xếp 6 trước thì hình như có rất nhiều trường hợp như 600606060606
Xếp $5$ chữ số $6$ tạo ra $6$ khoảng trống : $A-6-B-6-C-6-D-6-E-6-F$ + TH1 : Ghép $1$ với $3$ thành 1 cặp ($2$ cách ghép), rồi xếp cặp đó cùng với $1,1,3,3,3$ vào $6$ chỗ trống : $2.6.C_5^2=120$ cách + TH2 : Ghép thành $2$ cặp (gồm 2 chữ số khác nhau), rồi xếp chúng cùng với $1,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $240$ cách + TH3 : Xếp $\overline{131},1,3,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $2.5.4=40$ cách. + TH4 : Xếp $\overline{313},1,1,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $2.5.C_4^2=60$ cách. + TH5 : Ghép thành $3$ cặp (gồm 2 chữ số khác nhau), rồi xếp cùng với chữ số $3$ còn lại vào $B,C,D,E$ : $32$ cách + TH6 : Xếp $\overline{131},\overline{13}$ (hoặc $\overline{31}$) và $3,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4.3=24$ cách. + TH7 : Xếp $\overline{313},\overline{13}$ (hoặc $\overline{31}$) và $1,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4!=48$ cách. + TH8 : Xếp $\overline{1313}$ (hoặc $\overline{3131}$) và $1,3,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4.3=24$ cách.
Tổng cộng có $588$ số thỏa mãn.
@chanhquocnghiem: Đây cũng là 1 minh chứng cho bài toán được giải quyết tốt khá là nhẹ nhàng, ngắn gọn khi tiếp cận bằng pp "mộc mạc, cổ điển " quen thuộc, trong khi đó nếu dùng hàm sinh thì bài giải khá dài, cồng kềnh và phải vận dụng thêm một ít kiến thức toán học khác. a/ Cách tiếp cận "chân phương ", truyền thống:(Mời bạn gì đó nên xem phần này nhé ) theo mình thì bạn phân thành 3 tập :$A_0=\left \{ 3,6,9 \right \},A_1=\left \{ 1,4,7 \right \},A_2=\left \{ 2,5,8 \right \} $. Sau đó bạn tính số tập con có 4 phần tử mà tổng các phần tử chia hết cho 3. Tdụ : số cách chọn 2 ptử thuộc $A_0$ + 1 ptử thuộc $A_1$ + 1 ptử thuộc $A_2$ là : $C^{1}_{3}.C^{1}_{3}.C^{1}_{3}=27$..vv... Cứ tính như vậy, bạn sẽ có số tập con có 4 ptử và tổng 4 ptử chia hết cho 3 là $42$. Thực hiện hoán vị 4 ptử trong mỗi tập, bạn sẽ được số các số thỏa yêu cầu đề bài là $4!42$. Từ đây bạn dễ dàng tính được XS mà đề bài yêu cầu. b/ Tiếp cận bằng hàm sinh : Ta lập hàm sinh $G(x,y)$, trong đó $x$ mang thông tin là tổng các phần tử, $y$ mang thông tin là số phần tử. Ta có : $$G(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)...(1+x^9y)$$ Khai triển dưới dạng tổng thì: $G(x,y)=\sum_{n,k}^{} a_{n,k}x^ny^k$ Gọi $\omega ^{2\pi i/3} $ là một căn bậc 3 của đơn vị và $N$ là số tập con $ k$ phần tử và tổng k phần tử trong tập con này là $n$ thì : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{G(1, y) +G(\omega, y)+G(\omega^2, y) }{3}$ Ta có : $G(1,y)=(1+y)^9$ $G(\omega^j,y)=(1+\omega^jy)(1+\omega^{2j}y)...(1+\omega^{9j}y)=\left ( (1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y) \right )^3, \forall j\geq 1$ Dễ thấy phương trình $y^3+1=0$ có nghiệm là $-e^{-1}, -e^{-2}, -e^{-3} $ nên : $(1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y)=1+y^3$ Suy ra : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{(1+y)^9+2(1+y^3)^3}{3}$ Với $k=4$ ta có : $N=\frac{\binom{9}{4}+2(1+y^3)^3}{3}=\frac{\binom{9}{4}}{3}=\frac{126}{3}=42$ Suy ra số các số thỏa yêu cầu đề bài là $\boxed {4!42}$ Chú thích : - Số hạng thứ hai trong tử số của $N$ bằng $0$ vì sau khi khai triển số hạng này thì trong khai triển không có số hạng nào chứa $y^4$. PS: Nhân đây, cho phép em hỏi thăm anh Chanhquocnghiem : Lâu rồi không thấy anh viết bài trên forum, anh mạnh khỏe chứ? Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-08-2022 - 06:19 |
