Con số được phát hiện cách đây bao lâu

(HNM) - Hệ cơ số 10 chúng ta đang sử dụng ra đời từ rất lâu, khoảng 5500 năm trước, nhưng ký tự biểu thị số 0 như hiện nay thì lại ra đời muộn nhất. Điều đó bắt nguồn từ thực tế cuộc sống là chúng ta chưa có nhu cầu sử dụng số 0. Xin đưa ra ví dụ sau: Khi mới gặp ai đó, bạn có thể hỏi thăm xã giao như nhà bạn có mấy người, lớp bạn có bao nhiêu người... Đương nhiên câu trả lời luôn là một số khác 0. Như thế nên trong hệ đếm, có quan niệm cho rằng cần bắt đầu đếm từ số 1 rồi đến 2, 3,... Theo Giáo sư toán học Lam Lay Yong của Đại học Quốc gia Singapore thì người Trung Quốc đã biết sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 trước Công nguyên thông qua phát hiện việc sử dụng các bó que bằng tre để làm phép tính. Theo ông, hệ thống chữ số quen thuộc gồm từ số 1 đến số 9, còn được gọi là hệ thống Ả rập - Hindu, đã bắt nguồn từ các bó que được sử dụng tại Trung Quốc. Ở thời kỳ đó, các nhà buôn, học giả, các tu sĩ và các quan lại lo việc xử án đã mang theo người những bó que này, sử dụng chúng làm bộ tính, bằng cách bày lên bàn hoặc trên mặt đất. Bằng việc thay đổi vị trí của một trong 5 chiếc que, họ sẽ có được 9 con số cơ bản từ 1 đến 9. Và bằng cách sử dụng những bộ que này, người ta có thể thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia. Việc con người biết trừu tượng hóa các số đếm bằng các chữ số để thuận tiện trong việc ghi chép những số tự nhiên đã có từ lâu. Việc trừu tượng hóa này giống như khi ta nhỏ tuổi, được đố: mẹ cho con 2 quả táo, bà cho con thêm 3 quả táo nữa thì con có tất cả mấy quả táo? Lớn hơn, ta được học 2 + 3 = 5 mà không cần phải thêm quả táo vào phép tính. Bảo tàng Louvre ở Paris hiện lưu trữ một mẫu đá khắc thu được từ Karnak, xác định niên đại khoảng 1500 trước Công nguyên, đã thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị, như cách chúng ta hiểu ngày nay. Vào khoảng 700 năm trước Công nguyên, người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ đếm, nhưng chỉ dùng chữ số không ở giữa các con số (như số 204) và chữ số không đã không được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (như số 240). Để biểu thị số 204, người ta viết giữa số 2 và 4 một dấu móc (có thời kỳ dùng ba dấu móc), còn để biểu thị số 300, người ta viết số 3 kèm chú thích bằng lời ở dưới. Hai nền văn minh Olmec và Maya cùng lúc độc lập nhau đã biết dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước Công nguyên. Tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Mỹ. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số từ thời Trung cổ (dùng để tính ngày Phục sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là "không có gì", để chỉ số không. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng được cho là xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Nó gồm hai nghĩa là "không có gì" và "giá trị không". Ví dụ nhà bạn không nuôi mèo, biểu hiện nghĩa "không có gì". Trước tôi có 1 con mèo nhưng đã cho người khác, biểu thị nghĩa "giá trị không". Phải đến thế kỷ XIX, khi lý thuyết tập hợp của nhà toán học Peano ra đời, số 0 mới chính thức được coi là số tự nhiên và được sử dụng rộng rãi đến ngày nay. Phần dành cho các bạn học sinh Hai bạn Anh và Bình có ba chỉ số sau để so sánh: 1) Điểm tổng kết học kỳ môn toán: An được 9 điểm, Bình được 8 điểm. 2) Điểm tổng kết học kỳ môn tiếng Việt: An được 9 điểm, Bình được 10 điểm. 3) Tích cực phát biểu trên lớp: An được 10 điểm, Bình được 9 điểm. Theo bạn, ai được đánh giá cao hơn? Năm phần quà dành cho các bạn giải đúng và gửi lời giải sớm nhất.

Bài tham dự gửi về địa chỉ: Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, quận Thanh Xuân, Hà Nội.

Một số là một đối tượng toán học được sử dụng để đếm, đo lường và dán nhãn. Các ví dụ ban đầu là các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, v.v.[1] Một biểu tượng đại diện cho một số được gọi là một chữ số.[2] Ngoài việc sử dụng để đếm và đo, các chữ số thường được sử dụng cho việc đánh nhãn (như với số điện thoại), để đặt hàng (như với số sê-ri) và cho việc mã hóa (như với số ISBN). Trong cách sử dụng phổ biến, số có thể đề cập đến một biểu tượng, một từ hoặc một trừu tượng toán học.

Số 605 bằng chữ số Khmer, từ một dòng chữ từ năm 683 sau Công nguyên. Đây là bằng chứng sử dụng sớm của số 0 dưới dạng số thập phân.

Tác phẩm Brahmasphuṭasiddhanta là cuốn sách đầu tiên đề cập đến số 0 dưới dạng số, do đó Brahmagupta thường được coi là tác giả đầu tiên hình thành khái niệm về số 0. Ông đã đưa ra các quy tắc sử dụng số 0 với số âm và số dương, chẳng hạn như 'Số 0 cộng với số dương là số dương và số âm cộng với số 0 là số âm'. Brahmasphutasiddhanta là văn bản được biết đến sớm nhất đã coi số 0 là số theo đúng nghĩa của nó, thay vì chỉ đơn giản là một chữ số giữ chỗ để biểu thị một số khác như được người Babylon đã quan niệm hoặc như một biểu tượng cho việc thiếu số lượng như Ptolemy và người La Mã đã làm.

Việc sử dụng số 0 như một số nên được phân biệt với việc sử dụng số này dưới dạng số giữ chỗ trong các hệ thống giá trị theo vị trí. Nhiều văn bản cổ được sử dụng 0. Các văn bản Babylon và Ai Cập đã sử dụng nó. Người Ai Cập đã dùng từ nfr để biểu thị số dư là không trong kế toán kép. Các văn bản Ấn Độ đã sử dụng một từ tiếng Phạn Shunye hoặc shunya để chỉ khái niệm về khoảng trống. Trong các văn bản toán học, từ này thường đề cập đến số không.[14] Trong một kiểu tương tự, Pāṇini (thế kỷ thứ 5 TCN) đã sử dụng toán tử null (zero) trong Ashtadhyayi, một ví dụ ban đầu về ngữ pháp đại số cho ngôn ngữ tiếng Phạn (cũng xem thêm êngala).

Có những cách sử dụng khác của số 0 trước Brahmagupta, mặc dù các tài liệu này không đầy đủ như trong Brahmasphutasiddhanta.

Hồ sơ cho thấy người Hy Lạp cổ đại dường như không chắc chắn về tình trạng của 0 như một con số: họ tự hỏi "làm thế nào 'không có gì' có thể là một cái gì đó?" dẫn đến một câu hỏi triết học thú vị, vào thời Trung cổ, đã có các lập luận tôn giáo về bản chất và sự tồn tại của số 0 và chân không. Những nghịch lý của Zeno of Elea phụ thuộc một phần vào sự giải thích không chắc chắn của số 0. (Người Hy Lạp cổ đại thậm chí đặt câu hỏi liệu 1 có phải là một số.)

Người Olmec ở miền trung nam México bắt đầu sử dụng biểu tượng cho số 0, khắc trên vỏ sò, ở Thế giới mới, có thể vào thế kỷ 4 TCN nhưng chắc chắn hơn là vào năm 40 TCN, đã trở thành một phần không thể thiếu của chữ số Maya và lịch Maya. Số học Maya sử dụng cơ số 4 và cơ số 5 viết theo cơ số 20. Sanchez năm 1961 báo cáo một bàn tính theo cơ số 4 và cơ số 5 dạng ngón tay.

Vào năm 130 sau Công nguyên, Ptolemy, chịu ảnh hưởng của Hipparchus và người Babylon, đã sử dụng một biểu tượng cho số 0 (một vòng tròn nhỏ có thanh ngang dài) trong một hệ thống số cơ số 60 bằng cách sử dụng các chữ cái Hy Lạp thay cho chữ số. Bởi vì nó được sử dụng một mình, không chỉ là một vị trí giữ chỗ, số 0 Hy Lạp này là tài liệu đầu tiên sử dụng số 0 thực sự trong Thế giới cũ. Trong các bản thảo Byzantine sau này của Syntaxis Mathematica (Almagest), số 0 Hy Lạp đã biến thành chữ Hy Lạp Omicron (nghĩa là 70).

Một số 0 có thực khác được sử dụng trong các bảng cùng với số La Mã vào năm 525 (được Dionysius Exiguus sử dụng lần đầu tiên), nhưng như một từ, nulla có nghĩa là không có gì, không phải là một biểu tượng. Khi phép chia có số dư 0, tác giả sử dụng chữ nihil, cũng có nghĩa là không có gì. Những số không thời trung cổ đã được sử dụng bởi tất cả các người tính toán của thời trung cổ trong tương lai (máy tính của Phục Sinh). Một cách sử dụng riêng biệt của số 0 bằng cách lấy chữ cái đầu, N, đã được Bede hoặc một đồng nghiệp sử dụng trong một bảng các chữ số La Mã vào khoảng năm 725, và đây là một biểu tượng số 0 thực sự.

Số âmSửa đổi

Khái niệm trừu tượng về số âm được công nhận sớm nhất là 100-50 TCN tại Trung Quốc. Cửu chương toán thuật chứa các phương pháp để tìm diện tích của các hình; que màu đỏ đã được sử dụng để biểu thị hệ số dương, que màu đen cho các hệ số âm.[15] Tài liệu tham khảo đầu tiên trong một tác phẩm phương Tây là trong thế kỷ 3 sau công nguyên ở Hy Lạp. Diophantus đã đề cập đến phương trình tương đương với 4x + 20 = 0 (nghiệm là số âm) trong Arithmetica, nói rằng phương trình đã cho kết quả vô lý.

Trong những năm 600, số âm được sử dụng ở Ấn Độ để thể hiện các khoản nợ. Tài liệu tham khảo trước đây của Diophantus đã được thảo luận rõ ràng hơn bởi nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta trong tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta năm 628, người đã sử dụng các số âm để tạo ra công thức phương trình bậc hai tổng quát mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Tuy nhiên, vào thế kỷ 12 ở Ấn Độ, Bhaskara đưa ra các hệ số là số âm cho các phương trình bậc hai nhưng nói rằng giá trị âm "trong trường hợp này không được thực hiện, vì nó không đầy đủ; mọi người không tán thành các hệ số là số âm."

Các nhà toán học châu Âu, phần lớn, đã chống lại khái niệm số âm cho đến thế kỷ 17, mặc dù Fibonacci cho phép các nghiệm là số âm trong các bài toán tài chính, nơi chúng có thể được hiểu là các khoản nợ (chương 13 của Liber Abaci, 1202) và sau đó như là thua lỗ (theo Flos). Đồng thời, người Trung Quốc đã chỉ ra các số âm bằng cách vẽ một nét chéo qua chữ số tận cùng bên phải nhất của chữ số dương tương ứng.[16] Việc sử dụng đầu tiên của số âm trong một tác phẩm châu Âu là của Nicolas Chuquet trong thế kỷ 15. Ông đã sử dụng chúng như số mũ, nhưng gọi chúng là "số vô lý".

Gần hơn, vào thế kỷ 18, người ta thường bỏ qua mọi kết quả số âm được trả về bởi các phương trình với giả định rằng chúng là vô nghĩa, giống như René Descartes đã làm với các nghiệm số là số âm trong hệ tọa độ Descartes.

Các loại sốSửa đổi

Các số có thể phân chia thành các tập hợp số theo các hệ thống số khác nhau.

Số tự nhiên
Số dương
Số âm
Số nguyên tố
Số hữu tỉ
Số vô tỉ
Số thực
Số phức
Hợp số
Số chính phương

Số dươngSửa đổi

Số dương là số có giá trị lớn hơn 0. Số dương có thể đặt một dấu "+" ở trước nó. Chúng thuộc tập hợpsố thực R.

Số âmSửa đổi

Số âm là số có giá trị nhỏ hơn 0. Trongtoán học, số âm thường được biểu diễn bằng một dấu trừ – trước giá trị dương tương ứng. Giống như số dương

Số tự nhiênSửa đổi

Loại số quen thuộc nhất với hầu như tất cả mọi người là số tự nhiên, trước kia nó được hiểu như số nguyên dương (không kể số 0), nhưng ngày nay đa số các tài liệu toán học thống nhất nó bao gồm cả số không (số nguyên không âm). Các số nguyên dương được xem như là các số để đếm.

Trong hệ thập phân được dùng rộng rãi, các ký hiệu dùng để viết số tự nhiên là các chữ số từ 0 đến 9. Trong hệ này, mỗi vị trí tương ứng với một lũy thừa của 10, các số lớn hơn 9 được biểu diễn bởi hai hoặc nhiều hơn các chữ số. Còn có thể ghi theo các hệ cơ số khác như hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân,...Tập các số tự nhiên thường được ký hiệu là $N {\displaystyle \mathbb {N} }$ .

Số nguyênSửa đổi

Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của các số tự nhiên dương. Số đối của một số tự nhiên dương n là một số khi cộng với n cho kết quả bằng không, nó thường được viết bằng cách thêm dấu "trừ" đằng trước số n. Về ý nghĩa, nếu một số dương là một khoản tiền gửi ngân hàng thì số âm là số biểu thị khoản tiền rút ra. Tập các số nguyên thường được ký hiệu là $Z {\displaystyle \mathbb {Z} }$ (viết tắt của từ Zahl trong tiếng Đức).

Số nguyên tố và hợp sốSửa đổi

Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. VD: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...

Hợp số là số có nhiều hơn 2 ước. VD: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số.

Số hữu tỉSửa đổi

Một số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0. Thường m/n là diễn tả việc chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn lấy phần m. Hai phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số, chẳng hạn ½ và 2/4 là như nhau. Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn một. Phân số có thể dương âm hoặc bằng 0. Một số hữu tỉ có thể viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

Số thập phân hữu hạn: $0 , 25 = 1 4 {\displaystyle 0,25={\frac {1}{4}}}$ (số thập phân có số lượng chữ số thập phân hữu hạn)
Số thập phân vô hạn tuần hoàn: $0 , 33333333333333333333333... = 1 3 {\displaystyle 0,33333333333333333333333...={\frac {1}{3}}}$ (số thập phân vô hạn có chu kỳ lặp đi lặp lại)

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là $Q {\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Số vô tỉSửa đổi

Số vô tỉ là số không thể biểu diễn được thành tỉ số với tử số và mẫu số nguyên hay còn gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ:

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $0 , 1010010001000010000010000001... {\displaystyle 0,1010010001000010000010000001...}$ (số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi)
Số $2 = 1 , 414213... {\displaystyle {\sqrt {2}}=1,414213...}$ (căn bậc hai của 2)
Số $π = 3 , 141592653589793... {\displaystyle \pi =3,141592653589793...}$ (số Pi)
Số lôgarít tự nhiên $e = 2 , 718281... {\displaystyle e=2,718281...}$ (xem Số e)

Tập hợp các số vô tỉ được ký hiệu là $I {\displaystyle \mathbb {I} }$ .

Số thựcSửa đổi

Các số hữu tỉ (các phân số $m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ trong đó $m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ , $n ∈ N , n > 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ) không đủ dùng để biểu diện các độ đo trong hình học, chẳng hạn độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là 1 là $2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}$ . Có thể chứng minh rằng, không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2.

Tổng quát hơn, người ta mở rộng tập hợp số hữu tỷ thành tập hợp số trong đó mọi dãy Cauchy đều có giới hạn, tập hợp đó được gọi là tập hợp số thực.

(Dãy {xn}n $∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} }$ được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi m,n > N luôn có | xm − xn | < r.)

Tập hợp các số thực được ký hiệu là $R {\displaystyle \mathbb {R} }$

Như vậy $R = Q ∪ I {\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} }$ và $Q ∩ I = ∅ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap \mathbb {I} =\emptyset }$ .

Tập các số thực còn được phân chia thành tập hợp các số đại số và tập hợp các số siêu việt.

Số phứcSửa đổi

Tập các số phức là mở rộng đại số của tập các số thực với việc bổ sung một số mới là căn bậc hai của -1, số này được gọi là đơn vị ảo và ký hiệu là i. Khi đó tập các số phức là tập các số dạng z=a+b×i. Kí hiệu là C.

Trong tập các số phức, mọi phương trình đại số bậc n có đúng n nghiệm.

Tập các số phức được ký hiệu là $C {\displaystyle \mathbb {C} }$ , như vậy quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số đã biết là:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }

Số siêu phứcSửa đổi

Khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a + b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian vectơ n chiều với n hệ số thực x0, x1, x2,..., xn-&, của n dơn vị cơ sở 1, e1, e2, e3,..., en-1:

z = x0.1 + x1.e1 + x2.e2 +... + xn-1.en-1

Số đại sốSửa đổi

Số đại số là số có thể thỏa mãn (nghiệm) một phương trình đại số. Số đại số có thể là số thực hoặc số phức.

Số siêu việtSửa đổi

Số siêu việt là số vô tỉ (thực hoặc phức) không là nghiệm của bất kì một phương trình đại số nào. Nói theo ngôn ngữ toán tập hợp, trường số siêu việt là phần bù của trường số đại số.

Biểu diễn sốSửa đổi

Các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn. Còn các số phức có thể biểu diễn dưới dạng tổng có số hạng thứ nhất là một số thực và số hạng thứ hai là tích của một số thực với i.

Các tập hợp sốSửa đổi

N: Tập hợp số tự nhiên	Các tập hợp số
Z: Tập hợp số nguyên
Q: Tập hợp số hữu tỉ
I: Tập hợp số vô tỉ
R: Tập hợp số thực
C: Tập hợp số phức

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

^ “number, n.”. OED Online (bằng tiếng Anh). Oxford University Press.
^ “numeral, adj. and n.”. OED Online. Oxford University Press.
^ Matson, John. “The Origin of Zero”. Scientific American (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 16 tháng 5 năm 2017.
^ a b Hodgkin, Luke (ngày 2 tháng 6 năm 2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (bằng tiếng Anh). OUP Oxford. tr.85–88. ISBN978-0-19-152383-0.
^ T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11.In: .
^ a b Gilsdorf, Thomas E. Giới thiệu về Toán học văn hóa: Với các nghiên cứu trường hợp ở Otomies và Incas, John Wiley & Sons, ngày 24 tháng 2 năm 2012.
^ Restivo, S. Toán học trong xã hội và lịch sử, Springer Science & Business Media, ngày 30 tháng 11 năm 1992.
^ a b Quặng, Oystein. Lý thuyết số và lịch sử của nó, ấn phẩm chuyển phát nhanh.
^ Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics", p. 82. Princeton University Press, ngày 28 tháng 9 năm 2008. ISBN 978-0-691-11880-2.
^ Chrisomalis, Stephen (ngày 1 tháng 9 năm 2003). “The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals”. Antiquity. 77 (297): 485–96. doi:10.1017/S0003598X00092541. ISSN0003-598X.
^ a b Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1. Cengage Learning. tr.192. ISBN1-4390-8474-2. Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today[cầnnguồntốthơn]
^ Marshak, A., Rễ văn minh; Khởi đầu nhận thức về nghệ thuật, biểu tượng và ký hiệu đầu tiên của con người, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.
^ “Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora”. Math.buffalo.edu. Truy cập ngày 30 tháng 1 năm 2012.
^ “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question”. Sunsite.utk.edu. ngày 26 tháng 4 năm 1999. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 1 năm 2012. Truy cập ngày 30 tháng 1 năm 2012.
^ Staszkow, Ronald; Robert Bradshaw (2004). The Mathematical Palette (3rd ed.). Brooks Cole. tr.41. ISBN0-534-40365-4.
^ Smith, David Eugene (1958). History of Modern Mathematics. Dover Publications. tr.259. ISBN0-486-20429-4.