Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
- Nếu $\Delta’ \leq 0$ thì hàm số không có cực trị.
- Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).
Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]
Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.
Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
2. Ví dụ minh hoạ
Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).
Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.
Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó.
I – ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ
Xét hàm số
có
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Khi đó, nếu
là điểm cực trị thì giá trị cực trị
được tính như sau:
II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Giả sử hàm số bậc ba
có hai điểm cực trị là
. Khi đó, thực hiện phép chia
cho
ta được :
Do đó, ta có:
Suy ra, các điểm
nằm trên đường thẳng
2. Áp dụng
a) Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số.
b) Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P.
Xem thêm: Tính Cách Con Gái Nghệ An, Anh Nhé, Người Nghệ Thấy Đúng Mới Phò
III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau
a)
b)
Giải:
a) Ta có:
có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia
cho
ta được
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
.
b) Ta có
có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Ví dụ 2: Cho hàm số
( m là tham số )
a) Tìm
để hàm số có cực đại cực tiểu.
b) Với
như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giải:
a) Ta có:
0″ class=”latex” />
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi
b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Ví dụ 3: Cho hàm số
(1)
Tìm
để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng
Giải:
Ta có:
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
0″ class=”latex” />
(1)
Thực hiện phép chia
cho
ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
.
Xem thêm: Tính Cách Phù Hợp Với Nghề Nhân Sự, Những Phẩm Chất Cần Có Của Một Người Làm Nhân Sự
Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng
ta phải có:
Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị
cần tìm là :
;
Ví dụ 4: Cho hàm số
. Tìm
để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng
.
Giải:
Ta có:
Hàm số có cực đại, cực tiểu
0\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} m>\sqrt {21}\\ m
Thực hiện phép chia
cho
ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng
, ta phải có:
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình