Đề bài - bài 29 trang 105 sbt toán 9 tập 2

\(\widehat C =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{ADB}\) - sđ \(\overparen{AD}\)) \(= \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AD}\) + sđ \(\overparen{DB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))\(=\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BD}\)\( (1)\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc ở \(A.\) Đường tròn đường kính \(AB\) cắt \(BC\) ở \(D.\) Tiếp tuyến ở \(D\) cắt \(AC\) ở \(P.\) Chứng minh \(PD = PC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^o.\)

+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\)

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Đề bài - bài 29 trang 105 sbt toán 9 tập 2

Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat C\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

\(\widehat C =\displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AmB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))(tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)

mà \(sđ \overparen{AmB} = sđ \overparen{ADB}=180^o\)

\(\widehat C =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{ADB}\) - sđ \(\overparen{AD}\)) \(= \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AD}\) + sđ \(\overparen{DB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))\(=\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BD}\)\( (1)\)

\(\widehat {CDP} = \widehat {BDx}\) (đối đỉnh)\( (2)\)

\(\widehat {BDx} =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BD}\)(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat C = \widehat {CDP} \Rightarrow \Delta PCD\) cân tại \(P.\)

Vậy \(PD = PC\)