Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông góc ở \(A.\) Đường tròn đường kính \(AB\) cắt \(BC\) ở \(D.\) Tiếp tuyến ở \(D\) cắt \(AC\) ở \(P.\) Chứng minh \(PD = PC.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^o.\)
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\)
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat C\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\(\widehat C =\displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AmB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))(tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)
mà \(sđ \overparen{AmB} = sđ \overparen{ADB}=180^o\)
\(\widehat C =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{ADB}\) - sđ \(\overparen{AD}\)) \(= \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AD}\) + sđ \(\overparen{DB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))\(=\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BD}\)\( (1)\)
\(\widehat {CDP} = \widehat {BDx}\) (đối đỉnh)\( (2)\)
\(\widehat {BDx} =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BD}\)(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat C = \widehat {CDP} \Rightarrow \Delta PCD\) cân tại \(P.\)
Vậy \(PD = PC\)