Vì Hlà trực tâm của tam giác ABCnên \(AA' \bot BC\). Mặt khác theo giả thiết ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), do đó \(SA \bot BC\). Từ đó ta suy ra \(BC \bot \left( {SAA'} \right)\)và \(BC \bot SA'\). Vậy SA là đường cao của tam giác SBCnên SA là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BCđồng quy. Đề bài Tứ diện SABC có SAvuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi Hvà Klần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK và BCđồng quy. b) SCvuông góc với mặt phẳng (BHK) và \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\) c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng lý thuyết: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu có đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại". Lời giải chi tiết  a) Gọi Alà giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A thẳng hàng. Vì Hlà trực tâm của tam giác ABCnên \(AA' \bot BC\). Mặt khác theo giả thiết ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), do đó \(SA \bot BC\). Từ đó ta suy ra \(BC \bot \left( {SAA'} \right)\)và \(BC \bot SA'\). Vậy SA là đường cao của tam giác SBCnên SA là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BCđồng quy. b) Vì Klà trực tâm của tam giác SBC nên \(BK \bot SC\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Mặt khác ta có \(BH \bot AC\)vì Hlà trực tâm của tam giác ABC và \(BH \bot SA\)vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó \(BH \bot \left( {ABC} \right)\)nên \(BH \bot SC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\). Từ (1) và (2) ta suy ra \(SC \bot \left( {BHK} \right)\). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SCmà \(SC \bot \left( {BHK} \right)\)nên ta có \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\). c) Ta có \(\left. \matrix{ Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà \(HK \bot \left( {SBC} \right)\)nên \(\left( {BHK} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
|
