Đề bài - bài 53* trang 46 sbt toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác\(ABC\)vuông tại\(A.\)Các tia phân giác của các góc\(B\)và\(C\)cắt nhau tại\(I.\)Gọi\(D\)và\(E\)là chân các đường vuông góc kẻ từ\(I\)đến\(AB\)và\(AC.\)

a) Chứng minh rằng\(AD = AE.\)

b) Tính các độ dài\(AD, AE\)biết rằng\(AB = 6cm, AC = 8cm.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì\(I\)là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\)và \(\widehat C\)nên\(AI\)là tia phân giác của\(Â.\)

\( \Rightarrow ID = IE\) (tính chất tia phân giác) (1)

Và\(\widehat {DAI} =\widehat {E{\rm{A}}I}=\dfrac{BAC}{2}\)\(=\dfrac{90}{2}= 45^\circ \) (vì \(AI\) là phân giác góc BAC)

Vì \(ADI\)vuông tại\(D\)có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)

Nên\(ADI\)vuông cân tại\(D.\)

\( \Rightarrow ID = DA\) (2)

Vì \(AEI\)vuông tại\(E\)có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)

Nên\( AEI\)vuông cân tại\(E\)

\( \Rightarrow IE = AE\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:\(AD = AE\)

b) Trong tam giác vuông\(ABC\)có\(Â=90°\)

Theo định lý Pitago ta có:

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)

\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)

Kẻ \(IF \bot BC\)

Xét hai tam giác vuông\(IDB\)và\(IFB:\)

+) \(\widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền\(BI\)chung

Do đó:\(IDB = IFB\)(cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow DB = FB\) (4)

Xét hai tam giác vuông\(IEC\)và\(IFC:\)

+) \(\widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền\(CI\)chung

Do đó:\(IEC = IFC\)(cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow CE = CF\) (5)

Mà\(AD + AE \)\(= AB DB + AC CE\)

\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC (DB + CE)\) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra:

\(AD + AE = AB + AC (FB + FC)\)\( = AB + AC BC\)

\(AD + AE = 6 + 8 10 = 4\)(cm)

Mà\(AD = AE\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)