Giả sử tam giác ABC có đường cao AH, BI, CK và tam giác A'B'C'có các đường cao A'H', B'I', C'K'thỏa mãn AH = A'H', BI = B'I', CK = C'K'.
Đề bài
Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các đường cao tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác ABC có đường cao AH, BI, CK và tam giác A'B'C'có các đường cao A'H', B'I', C'K'thỏa mãn AH = A'H', BI = B'I', CK = C'K'.
Trong tam giác ABC ta có AB.CK = BC.AH = CA.BI.
Cũng vậy, trong tam giácA'B'C'ta có A'B'.C'K'= B'C'.A'H'= C'A'.B'I'
Từ đó, suy ra \({{AB} \over {A'B'}} = {{BC} \over {B'C'}} = {{CA} \over {C'A'}} = k\)
Như vậy, hai tam giác ABC vàA'B'C'đồng dạng.
Do đó, có phép đồng dạng F tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giácA'B'C'.
Nhưng F biến đường cao AH thành đường cao A'H'với A'H'= AH nên k = 1.
Do đó F là phép dời hình. Vậy tam giác ABC thành tam giácA'B'C'.