\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - \left( {1 - \sqrt x } \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - 1 + x}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} \\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\) Đề bài Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\). 1. Rút gọn P. 2. Tính giá trị của P biết \(x = 2019 - 2\sqrt {2018} \) Câu 2 (2,5 điểm): Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (với m là tham số) 1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Tìm m để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\). 3. Tìm m để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\). Câu 3 (2,0 điểm): Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {x^2} + 3\\x - y = - 4\end{array} \right.\) (với m là tham số) 1. Giải hệ với \(m = 3\). 2. Chứng minh rằng với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = {x^2} - 2y + 10\). Câu 4 (3,0 điểm) : Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) không có điểm chung với đường tròn \(\left( O \right)\), H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\left( \Delta \right)\). Từ điểm M bất kỳ trên \(\left( \Delta \right)\) (\(M \ne H\)), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn \(\left( O \right)\) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH. 1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\). 3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số \(\dfrac{{OE}}{{OM}}\). Câu 5 (0,5 điểm) : Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4} + \sqrt {x - y + 4} + \sqrt { - x + y + 4} = \sqrt x + \sqrt y + 2\) Lời giải chi tiết Câu 1: Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\). 1. Rút gọnP. \(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - \left( {1 - \sqrt x } \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - 1 + x}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} \\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\) 2. Tính giá trị củaPbiết \(x = 2019 - 2\sqrt {2018} \) \(x = 2019 - 2\sqrt {2018} = 2018 - 2\sqrt {2018} + 1 = {\left( {\sqrt {2018} - 1} \right)^2}\) \(\Rightarrow \sqrt x = \left| {\sqrt {2018} - 1} \right| = \sqrt {2018} - 1\) \( \Rightarrow P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt {2018} - 1}}{{\sqrt {2018} - 1 + 1}} = \dfrac{{\sqrt {2018} - 1}}{{\sqrt {2018} }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}\) Câu 2: Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (vớimlà tham số) 1. Chứng minh rằng với mọimhàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó. \({m^2} - 2m + 3 = {m^2} - 2m + 1 + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọim Vậy với mọimhàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó 2. Tìmmđể \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\). Để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\) \( \Leftrightarrow \)\(8 = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right).2 - 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 6 - 4 - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 6m - 6 = 0\) \(\Leftrightarrow 2m\left( {m + 1} \right) - 6\left( {m + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\2m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\) Vậy với \(m = - 1\) hoặc \(m = 3\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\) 3. Tìmmđể \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\). Để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 3 = 3\\ - 4 \ne m - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 2} \right) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\) Vậy với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\). Câu 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y = - 4\end{array} \right.\) (vớimlà tham số) 1. Giải hệ với \(m = 3\). Với \(m = 3\) hệ phương trình thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = {3^2} + 3\\x - y = - 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + x + 4 = 12\\y = x + 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 8\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 6\end{array} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;6} \right)\) 2. Chứng minh rằng với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = {x^2} - 2y + 10\). Với \(m \ne - 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + x + 4 = {m^2} + 3\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x = {m^2} - 1\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 1\\y = m + 3\end{array} \right.\) Vậy với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right) = \left( {m - 1;m + 3} \right)\) \(Q = {x^2} - 2y + 10 = {x^2} - 2\left( {x + 4} \right) + 10 \)\(\,= {x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọix Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow m = 2\) Vậy \({\min _Q} = 1\) đạt được khi \(m = 2\) Câu 4: Cho đường tròn tâmO, bán kínhRvà đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) không có điểm chung với đường tròn \(\left( O \right)\),Hlà hình chiếu vuông góc củaOtrên \(\left( \Delta \right)\). Từ điểmMbất kỳ trên \(\left( \Delta \right)\) (\(M \ne H\)), vẽ hai tiếp tuyếnMA, MBtới đường tròn \(\left( O \right)\) (A, Blà hai tiếp điểm). GọiK, Ithứ tự là giao điểm củaABvớiOMvàOH.
1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểmM, A, O, B, Hcùng thuộc một đường tròn. CóMA, MBlà hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \angle AMK = \angle BMK\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta BMK\) có:MKchung ; \(\angle AMK = \angle BMK\); \(MA = MB\) (cmt) \( \Rightarrow \Delta AMK = \Delta BMK\) (c.g.c) \( \Rightarrow AK = BK\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AB = AK + BK = AK + AK = 2AK\) Ta có: \(\angle OHM = \angle OAM = \angle OBM = {90^o}\) (\(OH \bot \left( \Delta \right)\) vàMA, MBlà hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \)H, A, Bcùng thuộc đường tròn đường kínhOM \( \Rightarrow \)M, A, O, B, Hcùng thuộc đường tròn đường kínhOM 2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\). Có \(\Delta AMK = \Delta BMK\) (cmt) \( \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM\) mà \(\angle AKM + \angle BKM = {180^o}\) \( \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM = {90^o} \Rightarrow AB \bot MN \Rightarrow \angle OKI = {90^o}\) Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\angle O\)chung ; \(\angle OKI = \angle OHM = {90^o}\) \(\Delta OIK \sim \Delta OMH\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{OM}} = \dfrac{{OK}}{{OH}} \Rightarrow OI.OH = OK.OM\) Xét \(\Delta BOM\) vuông tạiBđường caoBKta có: \(OK.OM = O{B^2} = {R^2}\) \( \Rightarrow \)\(OI.OH = OK.OM = {R^2}\) (đpcm) 3. Trên đoạnOAlấy điểmNsao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực củaBNcắtOMởE. Tính tỉ số \(\dfrac{{OE}}{{OM}}\). Ta có \(MA = MB\,\,;\,\,OA = OB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \)OMlà đường trung trực củaAB\( \Rightarrow EA = EB\) (\(E \in OM\)) Mặt khác \(EB = EN\) (Ethuộc đường trung trực củaBN) \( \Rightarrow EA = EN\) \( \Rightarrow \Delta AEN\) cân tạiE GọiFlà trung điểm củaANthìEFlà đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta AEN\) cân tạiE \( \Rightarrow EF \bot OA\) mà \(OA \bot MA\) (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow EF//MA\) (từ vuông góc đến song song) Xét \(\Delta OAM\) có \(EF//MA\) nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\dfrac{{OE}}{{OM}} = \dfrac{{OF}}{{OA}}\) Vì \(AN = 2ON\) vàFlà trung điểm củaANnên \(AF = FN = ON \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OM}} = \dfrac{2}{3}\) Câu 5: Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4} + \sqrt {x - y + 4} + \sqrt { - x + y + 4} = \sqrt x + \sqrt y + 2\) +) Với \(a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) \(\Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \) \(\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \) (*) Dấu = xảy ra khi \(a = b\) +) Điều kiện: \(x\,,y \ge 0\,\,;\,\,x + y - 4 \ge 0\,\,;\,\,x - y + 4 \ge 0\,\,;\,\, - x + y + 4 \ge 0\,\) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: \(\sqrt {x + y - 4} + \sqrt {x - y + 4} \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 + x - y + 4} \right)} = 2\sqrt x \) (1) \(\sqrt {x + y - 4} + \sqrt { - x + y + 4} \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 - x + y + 4} \right)} = 2\sqrt y \) (2) \(\sqrt {x - y + 4} + \sqrt { - x + y + 4} \le \sqrt {2\left( {x - y + 4 - x + y + 4} \right)} = 4\) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: \(2\sqrt {x + y - 4} + 2\sqrt {x - y + 4} + 2\sqrt { - x + y + 4} \le 2\sqrt x + 2\sqrt y + 4\) \( \Rightarrow \sqrt {x + y - 4} + \sqrt {x - y + 4} + \sqrt { - x + y + 4} \le \sqrt x + \sqrt y + 2\) Dấu = xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = x - y + 4\\x + y - 4 = - x + y + 4\\x - y + 4 = - x + y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4\) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là \(x = y = 4\) Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com
|
