PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Show Ví dụ 1: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3  Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành Vậy: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x – 2 do đó ta có: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a – 4)x3 + (b – 2a)x2 + (c – 2b)x – 2c Suy ra: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(2x3 + x2 – 5x – 4) Ta lại có 2x3 + x2 – 5x – 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 – 5x – 4 = (x + 1)(2x2 – x – 4) Vậy: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 = (a x + by + 3)(cx + dy – 1) = acx2 + (3c – a)x + bdy2 + (3d – b)y + (bc + ad)xy – 3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 = (4 x – 6y + 3)(3x + 2y – 1) BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: File PDF Xem thêm HOÁN VỊ, TỔ HỢP RelatedCập nhật: 09/04/2022 08:57 | Người đăng: Nguyễn Hằng
Chương trình đại số trường phổ thông thì các bạn chỉ làm quen với loại phương trình bậc bốn đặc biệt là phương trình trùng phương. Tuy nhiên, kiến thức thi đại học thì chủ yếu đưa về phương trình bậc 4. Dưới đây là các cách giải bất phương trình bậc 4 giới thiệu đến bạn đọc nhé. 1. 4 phương pháp giải bất phương trình bậc 4Dưới đây là cách giải phương trình bậc bốn dạng x4+ax3+bx2+cx+d=0 trong đó a,b,c,d là các số thực khác không:
2. Hướng dẫn giải bất phương trình bậc 4 chi tiết2.1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong các trường hợp cụ thể.Ví dụ 1. Giải phương trình (x2−a)2−4×2+3x+2a=0 (1) Giải: Biến đổi phương trình (1) thành x4−2ax2+a2−4×2+3x+2a=0 hay x4−(2a+4)x2+3x+a2+2a=0 ‘>x4−(2a+4)x2+3x+a2+2a=0 (2) Phương trình (2) được xem là phương trình bậc 4 với x mà bạn không tìm được cách giải. Tuy nhiên bạn có thể có thể viết phương trình (1) dưới dạng sau a2−2(x2−1)a+x4−4×2+3x=0 (3) Và xem phương trình (3) bậc 2 với a. Với cách tính trên thì bạn có thể tìm được a theo x: Ví dụ 2. Giải phương trình: x4−x3−5×2+4x+4=0 (1) Giải: Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng: −x3−x2−(4×2−4x−4)=0 x2(x2−x−1)−4(x2−x−1)=0 (x2−4)(x2−x−1)=0 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là Ví dụ 3. Giải phương trình: 32×4−48×3−10×2+21x+5=0 (1) Giải: Ta viết phương trình (1) dưới dạng: 2(16×4−24×3+9×2)−7(4×2−3x)+5=0 Tiếp theo bạn hãy đặt: y=4×2−3x thì phương trình (1) sẽ được biến đổi thành 2y2−7y+5=0 Từ đó y1=1 và y2=5/2 Tiếp theo, bạn hãy giải phương trình bậc hai đối với x dưới đây (sau khi thay y1=1 và y2=5/2 vào y=4×2−3x ): 4×2−3x−1=0 Và 8×2−6x−5=0 Qua đó tìm được các nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 4. Giải phương trình: 2×4+3×3−16×2+3x+2=0 (1) Giải: Phương trình bậc 4 (và là phương trình hồi quy khi e/a=(d/b)2) Qua đó thì phương trình sẽ được giải như sau: Cả hai vế của phương trình chia cho x2 (khác không) thì phương trình (1) tương đuơng với: Theo đó, những ví dụ 2,3 và 4 giải được phương trình bậc 4 qua biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để đưa về các phương trình quen thuộc và có cách giải dễ dàng. 2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.Ví dụ 5. Giải phương trình: x4+4×3−10×2+37x−14=0 (1) Giải: Trước tiên bạn phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2+px+q và x2+rx+s , trong đó gồm: p,q,r,s là những hệ số nguyên chưa xác định. Ta có: x4+4×3−10×2+37x−14=(x2+px+q)(x2+rx+s) (2) Các hệ số của số hạng đồng nhất cùng bậc hai vế đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau: Lưu ý: Nhiều trường hợp không áp dụng được phương pháp trên với khi phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên. 3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4Trước tiên, bạn hãy phân tích đa thức x4+ax3+bx2+cx+d thành hai nhân tử bậc hai Đặt ẩn phụ là h thì bạn hãy biến đổi như sau: Ví dụ 6. Giải phương trình: x4−x3−7×2+x+6=0 (3) Giải: Nhờ vào công thức (3) ta xác định được h: 4. Phương pháp đồ thị.Phương pháp: Phương pháp giải phương trình bậc bốn x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1) bằng đồ thị, trước tiên bạn hãy đặt x2=y−mx Phương trình (1) trở thành: y2−2mxy+m2x2+axy−axm2+bx2+cx+d=0 Nếu muốn khử được các số hạng có xy trong phương trình này thì bạn phải có: Bài viết trên đây giúp bạn tổng hợp thông tin về giải bất phương trình bậc 4 và cách giải đơn giản, dễ dàng. Đừng quên theo dõi bài viết tiếp theo để cập nhật kiến thức liên quan khác nhé. Chúc bạn thành công!
1.Phân tích đa thức thành nhân tử 2.Rút gọn biểu thức chứa căn 3.Đa thức phụ 4.Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ 5.Biện luận phương có nghiệm duy nhất 6.Bất đẳng thức và cực trị Trong toán học đây là 1 phương pháp rất hay khi ta muốn tìm các hệ số của 1 biểu thức.Sau đây ta đi tìm hiểu các ứng dụng “thần kì” của nó. Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Hệ số bất định và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 1 1.Phân tích đa thức thành nhân tử 2.Rút gọn biểu thức chứa căn 3.Đa thức phụ 4.Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ 5.Biện luận phương có nghiệm duy nhất 6.Bất đẳng thức và cực trị Trong toán học đây là 1 phương pháp rất hay khi ta muốn tìm các hệ số của 1 biểu thức.Sau đây ta đi tìm hiểu các ứng dụng “thần kì” của nó. A.Cơ sở lý thuyết Cho P(x)= 2 30 1 2 3 ..... n na a x a x a x a x và Q(x)= 2 3 0 1 2 3 ..... n nb b x b x b x b x P(x)=Q(x)↔ 0 0 1 1 n n a b a b a b Do đó khi P(x)=Q(x) thì ta có thể tìm được hệ số của P(x) nếu hệ số của Q(x) đã biết. B.Các ứng dụng I.Phân tích đa thức thành nhân tử 1.Hướng:Giả thiết đa thức phân tích được dưới dạng F(x)=G(x).Q(x) Rồi từ các hệ số của F(x) tìm hệ số của G(x),Q(x) sao cho chúng đơn giản nhất 2.Ví dụ:Phân tích đa thức F(x)= 4 3 23 6 5 3x x x x thành nhân tử. Do hệ số 4x là 1 nên ta chọn F(x)=( 2 axx b )( 2 xx c d ) Khi đó ta có 4 3 2 4 3 23 6 5 3 ( ) ( ) ( )x x x x x a c x ac b d x ad bc x bd Đồng nhất hệ số có 3 6 5 3 a c ac b d ad dc bd Ta được 1 1 2 3 a b c d →F(x)=( 2 1x x )( 2 2 3x x ) Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 2 Chú ý :-Việc tìm a,b,c,d là dựa trên cơ sở ta thử chọn các giá trị đó sao cho đơn giản nhất mà thỏa mãn hệ thức. -Viết trên chỉ là những bước làm nháp còn khi trình bày thì ta chỉ cần thay a,b,c,d và biến đổi theo cách nhóm thông thường. 3.Bài tập tương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ 4 2 1x x b/ 4 3 22 4 2 3x x x x II.Giải phương trình bậc 4 Nhận thấy rằng ứng dụng 1 cũng chính là cơ sở để giải phương trình bậc 4.Tuy nhiên nếu làm theo cách đó thì việc thử hệ số rất khó.Do vậy theo ý tưởng của ferari ta có cách thực hiện sau: 1.Xét pt bậc 4 dạng đầy đủ : 4 3 2 0ax bx cx dx e Ta đi thực hiện các bước sau: B1:-Khử hệ số bậc 4 và 3 bằng hằng đẳng thức 2 2 2 4 3 2 2( ) 2mx nx m x mnx n x -Rồi đẩy các số hạng còn lại sang phải. B2: Cộng hai vế với 2 2( ) 4 y y mx nx Ta được vế trái là 1 bình phương. B3:Tìm y để vế phải cũng ghép được thành 1 bình phương.(ta sẽ phải giải phương trình bậc 3 đưa vào máy tính) 2.Thực nghiệm: Giải phương trình 4 3 22 8 5 0x x x x Nháp: Biến đổi thành 2 2( ) 8 5x x x Thêm vào 1 lượng thành 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 8 5 ( ) 4 4 y y x x y x x x y x x Tìm y để 2 2 2 28 5 ( ) yx (8 ) 5 4 4 y y x y x x y x ghép được thành 1 bình phương ↔ 2 2( 8) 4 ( 5) 0 4 y y y Tách ra thành phương trình bậc 3 nhét vào máy tính ta có y=4. Lời giải: 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 8 5 0 2 4( ) 4 4 12 9 ( 2) (2 3) x x x x x x x x x x x x x x (Bạn đọc tự giải quyết tiếp) III.Rút gọn biểu thức chứa căn 1.Hướng:Viết biểu thức trong căn về dạng nA rồi tìm các hệ số trong A 2.Một số dạng căn bản: - 2 2 2( )a b c a b c ac b - 3 3 2 3 2( ) ( 3 ) 3a b c b ba ac c bca Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 3 *Ví dụ :Bài 57(NCCĐ đại 9) Rút gọn 3 320 14 2 20 14 2 Lời giải bài này bạn có thể tham khảo giải nhưng làm theo hsbt với 20 14 2 có 3 2 3 2 2 3 14 6 20 a c a c ca Chọn a=1 từ pt1 →c= 2 kết hợp 2 → c=2 → 320 14 2 (2 2) Tương tự có 320 14 2 (2 3) Nhắc lại : Việc chọn a=1 là thử chọn ngẫu nhiên nhưng tuân thao nguyên tắc đơn giản nhất va phải thỏa mãn hệ thức *Bài tập mở rộng Rút gọn 10 6 15 10 . (gợi ý: đưa biểu thức trong căn về dạng 2( 2 3 5)a b c IV.Phương pháp đa thức phụ 1.Đầu tiên ta đi xét ví dụ: Cho đa thức f(x)= 4 3 2x ax bx cx d .Và (1) (2) (3) ( 8) (12)10, 20, 30. ính P P P T P P Lời giải : Xét đa thức Q(x)=P(x)-10x .Ta có (1) (1) 10 0Q P (2) (2) 20 0Q P (3) (3) 30 0Q P →x=1,x=2,x=3 là ba nghiệm của Q(x).Do degQ(x)=degP(x) nên ta có Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a) →P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+10x →P(12)+ P(-8)=19840 2.Nhận xét:Ta thấy khó nhất ở bài toán trên là việc tìm ra Q(x) mà thỏa mãn Q(n)=0.Tuy nhiên dưới con mắt HSBĐ ta thấy tìm Q(x) như sau: B1:Đặt Q(x)=P(x)-h(x).Trong đó h(x) là đa thức thỏa mãn : Degh(x)< degP(x) Degh(x)<số giá trị đã cho trước của P(x) (điều này bạn đọc hãy công nhận vì giải thích rất phức tạp) B2:Cho Q(n)=P(n)-h(n)=0.Rồi từ đó tìm các hệ số của h(x) 3.Ứng dụng thực nghiệm Cho đa thức f(x)= 4 3 2x ax bx cx d . Và (1) (3) (5) ( 2) (0)3, 11, 27. ính P P P T P P Nháp: Đặt Q(x)=P(x)-h(x)→ Degh(x)<4(bậc của P(x)) Degh(x)<3(số giá trị P(x) đã biết) Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 4 →h(x)= 2ax bx c .Ta có (1) (1) (1) (3) (3) (3) (5) (5) (5) 0 0 0 Q P h Q P h Q P h → 3 9 3 11 25 5 27 a b c a b c a b c → 1 0 2 a b c →Q(x)=P(x)-(x2+2) (bạn đọc tự làm tiếp) Chú ý :Quy trịnh tìm h(x),Q(x)chỉ ở trên nháp cách trình bày như ví dụ đã nêu Cái này hơi ngoài lề nhưng ta thấy nếu đề bài cho tính P(x1)+p(x2)thì x1x2<0 còn nếu đề bài cho tính P(x1)-p(x2)thì x1x2>0(các bạn hãy thử tự giải thích) 4.Một số bài tập ứng dụng Cho đa thức f(x)= 3 2ax bx cx d . a/Cho (1999) (2000) 2001 2001 f f CM:A= (2001) (1998)f f là hợp số. b/Cho (0) (1) (2) (3) 2 9 19 32 f f f f Tìm f(x) Chắc hẳn khi đọc đến đây các bạn đã phần nào hiểu được cơ chế làm việc của HSBĐ.Các ứng dụng sau tôi sẽ chỉ nêu phương pháp còn việc cảm nhận nó theo hệ số bất định là việc của các bạn V.Đặt ẩn phụ để giải phương trình 1.Phương trình vô tỉ dạng 2ax b mx nx p ^-^PP:Đặt ax b cy d → 2 22 0cy cdy ax d b (1) Thay ẩn phụ vào phương trình ta lại có 2 0mx nx cy p d (2) Chọn c,d sao cho 2 2 c cd a b m n y d b c cd a b m n y d b (*) Chú ý: tỉ lệ cuối có thể không xét nếu nó bằng 1 Khi đó (1) và (2) tạo thành hệ đối xứng *Thực nghiệm kiểm tra GPT: 2 4 3 5x x x Nháp Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 5 Thay các hệ số vào có 2 2 2 2 1 4 3 2 1 5 1 4 3 2 1 5 c d c cd d c d c cd d → chọn c=1,d=2 Bài giải Đặt 5 2(2 )x y y .Ta có hệ pt 2 2 4 1 0 4 1 0 x y x y x y → 3 0 x y x y (bạn đọc tự giải quyết tiếp) *Mở rộng :Hướng làm này còn đúng với pt dạng 3 33 ax b mx nx px e 2. Phương trình vô tỉ dạng 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3a x b x c a x b x c a x b x c *PP: *Ứng dụng: GPT 2 22 2 1 3 4 1x x x x x Nháp Thay vào hệ có 1 1 3 n m Lời giải: Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 6 Chúng ta còn có thêm 1 dạng nữa các bạn hãy thử nghiên cứu Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 7 Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 8 Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 9 VI.Biện luận phương có nghiệm duy nhất 1.Xét 1 ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 4 2 2x x x x m (1) Nhận xét : (1) có nghiệm là x thì cũng có nghiệm là 2-x(không tin bạn thử mà xem) →để pt có nghiện duy nhất thì x=2-x →x=1→m=4. Thay m=4 rồi dùng AM-GM sẽ cm được (1) có nghiệm duy nhất là 1 →Ta thấy tìm 2 nghiệm có quan hệ với nhau cùng là nghiệm của (1) là bước khó nhất 2.PP: GS pt có nghiệm là x thì có nghiệm là ax+b rồi tìm a và b. Tìm tham số rồi thử tham số đó vào pt ban đầu cm nó có nghiệm duy nhất. 3.Thực nghiệm: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 5x x m (1) Nháp x là nghiệm của (1) thì 4 5x x m ax+b là nghiệm của (1) thì 4 5ax b ax b m Để pt có nghiệm là x thì có nghiệm là ax+b thì 4 5 5 4 ax b x ax b x → 1 1 a b (lời giải chi tiết dành cho bạn đọc) VII.Bất đẳng thức và cực trị Hướng 1:Chỉ ra giá trị của cực trị rồi tìm nó. Bài yêu cầu tìm GTNN của A ta chỉ ra B là min rồi đi tìm B thỏa mãn 0A B (tương tự với GTLN) *Một số ví dụ Tìm GTLN 2 ( ) 1 1 4 x f x x x Nháp 2 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 0 1 1 4 4 4 2 1 ( 2 1 ) 0 16 2 16 2 x x x x B x x B x Bx x B x B x B x B Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 10 Nhận thấy nếu 2 2 4 2 1x B x B (#) viết được dưới dạng tổng 1 bình phương thì rất đẹp.Để làm được điều đó ta đặt 21 x y rồi viết lại (#) theo y và B tìm B để pt mới có nghiệm kép .Ta tìm được B=2 Lời giải Đk:-1≤x≤1 Có 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 2 1 16 (1 1 ) 0( ) 16 x x x x x x x x ld →Max f(x)=2↔x=0 VD2.Cho 1a .Tìm max f(x)= 23 7 22a a a *Cực trị dạng 2 2 ax mx bx c nx p với 2mx nx p đã xác định dấu -PP giải: Xét B= 2 2 2 2 ax ( ) ( ) mx mx bx c a mA x b nA c pA A nx p nx p Tìm A sao cho tử của B có nghiệm képtức 2 0 (@) ( ) 4( )( ) 0 a mA b nA a mA c pA Khi đó A là GTNN hoặc GTLN -Thực nghiệm: Tìm cực trị của 2 4 3 1 x x Nháp Thay vào (@) có 0 ( 1)( 4) 0 A A A → 4 1 A A Lời giải : Có 2 2 2 4 3 ( 2) 1 0 1 1 x x x x 2 2 2 4 3 (2 1) 4 0 1 1 x x x x (Bạn đọc tự giải tiếp) Hướng 2: Chọn điểm rơi Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 11 Khác với việc ta cho biểu thức B làm GTNN hay GTLN.Bây giờ ta cho biểu thức đạt cực trị khi biến x=m. *Một số ví dụ Tìm GTNN của 4 2( ) 2 40 101f x x x x Nháp Giả sử fmin khi x=m 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 40 101 ( ) 2( 1) 40 101 10 101 ( ) 2 1 2( 1) 10 101 100 ( ) ( ) 1 2( 1) ( 1) f x x x x x m m x x m m x m x x m m m x m x m m m → 2 10 2 1 x m m m Lời giải: 4 2 2 2 2( ) 2 40 101 ( 4) ( 2) 45 45f x x x x x x Dấu bằng xảy ra khi x=2 PP này còn có ứng dụng rất lớn trong các bất đẳng thức AM-GM ,B.C.S,Holder, C.Một số mở rộng 1.Trong tính giá trị biểu thức bằng pp quy nạp Tính 2 2 2 21 3 5 ... (2 1)nS n Nháp Giả sử Sn= 3 2an bn cn d . Do S0=1 nên d=1 Thay n=1,2,3.Ta có hệ 9 8 4 2 34 27 9 3 83 a b c a b c a b c ↔ 4 3 4 1 3 a b c Thay vào có Sn= 3 24 14 1 3 3 n n n . Lời giải : Dùng quy nạp mà cm 100% ra 2.Tìm quy luật dãy số Tìm số hạng tổng quát dãy :2,5,9,14,20.. Gọi Un= 2an bn c .Thay n=1,2,3 .Tính như mở rộng 1 có Un= 21 3 2 2 n n D.Kết thúc Chắc các bạn đã hiểu cách áp dụng của kĩ thuật này trong giải toán.Do đó sau mỗi bài toán hãy thử dừng lại hỏi :”Lời giải được nghĩ với ý tưởng chủ đạo là gì ? Liệu với các bộ số khác bài toán có được giải tương tự ? Nếu có hãy lập ra 1 pp nhờ HSBĐ ”.À nói thêm Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 12 cái này rất quan trọng các pp tôi đưa ra luôn có thể mở rộng bởi bậc của các đa thức đa dạng tùy từng bài. Tài liệu đính kèm:
|
