Written by Kien Team | Jun 24, 2020 3:25:16 AM
Trong cuối chương trình lớp 10, các em học sinh sẽ được làm quen với chương lượng giác. Trong chương này, các em sẽ học các kiến thức về cung và góc lượng giác. Để làm tốt các dạng bài tập về lượng giác yêu cầu các em phải nắm vững các công thức. Do đó, chúng tôi đã biên soạn các công thức lượng giác toán 10 đầy đủ nhất bao gồm các công thức lượng giác cơ bản và nâng cao mà chúng ta thường xuyên dùng để giải bài tập.
Đặc biệt, để giúp các em học thuộc các công thức này một cách dễ dàng, trong phần 3 chúng tôi còn giới thiệu thêm một số cách ghi nhớ nhanh các công thức lượng giác. Hy vọng, đây sẽ là một tài liệu giúp các em học lượng giác một cách thú vị hơn.
I. Các công thức lượng giác toán 10 cơ bản
Trong phần I, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức lượng giác toán 10 cơ bản nằm trong chương trình sách giáo khoa lớp 10. Đây là những công thức bắt buộc các em học sinh lớp 10 cần phải học thuộc lòng thì mới có thể làm được những bài tập lượng giác cơ bản nhất.
1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :
2. Hệ thức cơ bản :
3. Cung liên kết :
(cách nhớ: cos đối, sin bù, tan hơn kém pi, phụ chéo)
Đây là những công thức lượng giác toán 10 dành cho những góc có mối liên hệ đặc biệt với nhau như : đối nhau, phụ nhau, bù nhau, hơn kém pi, hơn kém pi/2
• Hai góc đối nhau
cos(–x) = cosx
sin(–x) = – sinx
tan(–x) = – tanx
cot(–x) = – cotx
• Hai góc bù nhau
sin (π - x) = sinx
cos (π - x) = -cosx
tan (π - x) = -tanx
cot (π - x) = -cotx
• Hai góc hơn kém π
sin (π + x) = -sinx
cos (π + x) = -cosx
tan (π + x) = tanx
cot (π + x) = cotx
• Hai góc phụ nhau
4. Công thức cộng :
(cách nhớ : sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan) :
6. Công thức nhân ba:
sin3x = 3sinx - 4sin3x
cos3x = 4cos3x - 3cosx
7. Công thức hạ bậc:
8. Công thức tính tổng và hiệu của sin a và cos a:
11. Công thức biến đổi tích thành tổng :
II. Các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao
Trong phần 2, ngoài các công thức lượng giác toán 10 cơ bản, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm cho các bạn học sinh các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao. Đây là những công thức lượng giác hoàn toàn không có trong sách giáo khoa nhưng rất thường xuyên gặp phải trong các bài toán rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức, giải phương trình lượng giác. Các em học sinh khá, giỏi có thể tham khảo để vận dụng trong các bài tập nâng cao. Các công thức được biên soạn thành 4 dạng:
1. Các công thức kết hợp với các hằng đẳng thức đại số:
III. Cách ghi nhớ công thức lượng giác toán 10
Đối với nhiều em học sinh việc học các công thức lượng giác toán 10 được xem là rất khó khăn. Do đó, chúng tôi sẽ giới thiệu một số cách ghi nhớ công thức lượng giác nhanh và hiệu quả.
Cách ghi nhớ Công thức cộng
Cos + cos = 2 cos cos
cos - cos = trừ 2 sin sin
Sin + sin = 2 sin cos
sin - sin = 2 cos sin.
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin rồi trừ
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà.
Tan(x+y)=
Bài thơ : Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng
Trên thượng tầng tang cộng cùng tang
Hạ tầng số 1 rất ngang tàng
Dám trừ đi cả tan tan anh hùng
Cách ghi nhớ Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt
Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi
Cách ghi nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng
Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+
Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ
Cách ghi nhớ Công thức biến đổi tổng thành tích
tính sin tổng ta lập tổng sin cô
tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng
còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)
1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu
nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,
đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng
Một cách nhớ khác của câu Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là
tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta
tangx – tang y: tình mình trừ với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình
Cách ghi nhớ Công thức nhân đôi
VD: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự các loại công thức như vậy)
Cách ghi nhớ: Sin gấp đôi bằng 2 sin cos
Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin
Bằng trừ 1 cộng hai bình cos
Bằng cộng 1 trừ hai bình sin
(Chúng ta chỉ việc nhớ công thức nhân đôi của cos bằng câu nhớ trên rồi từ đó có thể suy ra công thức hạ bậc.)
Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan )
Chia một trừ lại bình tan, ra liền.
Mỗi bạn sẽ suy nghĩ cho mình những cách ghi nhớ công thức lượng giác toán 10 khác nhau nhưng kết quả cuối cùng là sự dễ thuộc, dễ hiểu và khả năng áp dụng được vào mọi bài toán mình gặp
Trên đây là các công thức lượng giác toán 10 cơ bản và nâng cao. Để có thể làm tốt các bài tập rút gọn biểu thức hay chứng minh biểu thức lượng giác các em cần phải học thuộc lòng các công thức lượng giác trên. Việc học các công thức lượng giác này nhuẫn nhuyễn còn giúp các em rất nhiều khi lên 11, đặc biệt là phục vụ cho những bài toán giải phương trình lượng giác. Có thể nói lượng giác đối với các bạn học sinh rất mới mẻ và phức tạp. Tuy nhiên nó chỉ khó với những ai lười học công thức và sẽ đơn giải nếu ta học thuộc và vận dụng khéo léo các công thức. Cuối cùng, xin chúc các bạn học thuộc các công thức này thành công và đạt điểm tốt trong các bài kiểm tra lượng giác.
Trong chương trình Đại số lớp 10, các em đã được làm quen với các công thức lượng giác, mở đầu chương trình Đại số 11 các em sẽ tiếp tục được học các kiến thức và phương pháp giải về các bài tập hàm số và phương trình của lượng giác. Với tài liệu này chúng tôi trình bày lý thuyết và hướng dẫn chi tiết các em cách giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bám sát chương trình sách giáo khoa. Tài liệu là một nguồn tham khảo bổ ích để các em ôn tập phần hàm số lượng giác tốt hơn.
I. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán 11 phần lượng giác
Các lý thuyết phần cần nắm để giải được bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bao gồm các hàm số cơ bản như: hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
|
HÀM SỐ Y = SIN X |
HÀM SỐ Y = COS X |
|
+ TXĐ: D = R + Hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1] + Đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + k2π;π/2 + k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π2 + k2π;3π/2 + k2π) + Có đồ thị hình sin qua điểm O (0,0) + Đồ thị hàm số |
+ TXĐ: D = R + Hàm số chẵn + Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1] + Đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π + k2π) + Có đồ thị hình sin đi qua điểm (0; 1) + Đồ thị hàm số |
2. Hàm số y = tan x và y = cot x
|
HÀM SỐ Y = TAN X |
HÀM SỐ Y = COT X |
|
+ TXĐ D = R ∖{π/2 + kπ, k∈Z} + Là hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R. + Đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + kπ;π/2 + kπ) + Nhận mỗi đường thẳng x = π/2 + kπ làm đường tiệm cận + Đồ thị hàm số |
+ TXĐ D = R∖{kπ,k∈Z} + Là hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R. + Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π + kπ) + Nhận mỗi đường thẳng x = kπ làm đường tiệm cận + Đồ thị hàm số |
II. Phương pháp giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác
Để giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác, chúng tôi phân thành các dạng toán sau đây:
+ Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
- Phương pháp giải: Chú ý đến tập xác định của hàm số lượng giác và tìm điều kiện của x để hàm số xác định
- Ví dụ: Hãy xác định tập xác định của hàm số:
Hàm số xác định khi:
Kết luận TXĐ của hàm số D = R∖{π/2 + kπ, k∈Z}
+ Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ
- Phương pháp giải: Để xác định hàm số y = f(x) là hàm chẵn hay hàm lẻ, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định D của f(x)
Bước 2: Với x bất kỳ
Bước 3: Tính f(-x)
- Nếu f(-x) = f(x),
- Nếu f(-x) = -f(x),
- Nếu
f(-x)
f(-x)
- Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau: y = tanx + 2sinx
Tập xác định D = {x|x
Với x bất kỳ:
Ta có: f(-x) = tan(-x) + 2 sin(-x) = -tanx - 2sinx = -(tanx + 2sinx) = -f(x),
Vậy hàm số y = tanx + 2sinx là hàm số lẻ.
+ Dạng 3: Hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ tuần hoàn
- Phương pháp giải: Để chứng minh y = f(x) (có TXĐ D) tuần hoàn, cần chứng minh có T
Giả sử hàm số y = f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất trên
- Ví dụ: Hãy chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.
Ta có: f(x + π) = sin 2( x+π) = sin (2x + 2π) = sin2x = f(x)
Vậy hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π
+ Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số và xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến
- Phương pháp giải:
1. Vẽ đồ thị hàm số theo dạng các hàm số lượng giác
2. Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
- Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = |cosx| và xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. trên đoạn［0,2π］.
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx
Hàm số
Như vậy có thể suy ra được hàm số y = |cosx| từ đồ thị y = cosx như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành ( cosx > 0)
- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành
Ta được đồ thị y = |cosx| được vẽ như sau:
+ Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Từ đồ thị hàm số y = |cosx| được vẽ ở trên, ta xét đoạn ［0,2π］
Hàm số đồng biến khi
Hàm số nghịch biến khi
+ Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
- Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất :
- Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hy vọng với bài viết này sẽ giúp các em hệ thống lại phần hàm số lượng giác và giải bài tập toán 11 phần lượng giác được tốt hơn. Cảm ơn các em đã theo dõi bài viết. Chúc các em học tập tốt.