Khoảng cách giữa 2 nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { 2017;2018} \right]\) để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Trên đoạn \(\left[ { 3;\,3} \right],\) hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} 3m{x^2} + 2\) có hai điểm cực trị \(A\), \(B\) sao cho \(A\), \(B\) và \(M\left( {1; 2} \right)\) thẳng hàng.

Gợi ý

Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Đáp án chi tiết

Ta có: $y = {x^2} 2mx + m + 2$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} m 2 > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 0\\P = {x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)\left( {m 2} \right) > 0\\2m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { 2017;2018} \right] \Rightarrow m = \left\{ {3;4;5;2018} \right\}\)

Vậy có \(2016\) giá trị.

Đáp án cần chọn là: b

Gợi ý

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm cực trị của hàm số.

Đáp án chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn \(\left[ { 3;\,\,3} \right],\) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \(\left( { 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1; 3} \right);\,\,\left( {2;\,\,3} \right).\)

Đáp án cần chọn là: d

Gợi ý

Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Sử dụng điều kiện thẳng hàng của ba điểm tìm \(m\)

Đáp án chi tiết

Ta có \(y = 3{x^2} 6mx = 3x\left( {x 2m} \right);{\rm{ }}y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\)

Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow y = 0\) có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 \ne 2m \Leftrightarrow m \ne 0.$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left( {0;2} \right)$ và $B\left( {2m;2 4{m^3}} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {MA} = \left( { 1;4} \right)$, $\overrightarrow {MB} = \left( {2m 1;4 4{m^3}} \right)$.

Theo giả thiết \(A\), \(B\) và \(M\) thẳng hàng $ \Leftrightarrow \dfrac{{2m 1}}{{ 1}} = \dfrac{{4 4{m^3}}}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( {L} \right)\\m = \pm \sqrt 2 {\rm{ }}\left( {TM} \right)\end{array} \right..$

Đáp án cần chọn là: d