Bài giảng hôm nay thầy gửi tới các bạn dạng bài tập về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Dạng toán này cũng rất hay và bạn nào đọc xong bài này chắc chắn sẽ thấy nó dễ vận dụng, dễ làm. Sau đây thầy trình bày lại công thức về khoảng cách và phương trình mặt cầu vì nó sẽ liên quan tới bài tập thầy sẽ đưa ra hôm nay. Show Bạn nào chưa rõ lý thuyết thì nên xem bài này: Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian 1. Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho điểm $M(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D= 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $(P)$ được xác định như sau: $d(M,(P)) = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$  2. Phương trình mặt cầua. Phương trình mặt cầu tâm $I(x_0;y_0;z_0)$, bán kính $R$ là: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ b. $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2 > d$. Khi đó mặt cầu có tâm là $I(-a;-b;-c)$ và bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ Vậy là chúng ta đã có các công cụ cần thiết chính để làm bài tập dạng này rồi. Giờ chúng ta cùng nhau vào bài giảng nhé: Xem thêm: 3 bài tập lập phương trình mặt phẳng học sinh chưa giỏi nên xem 3. Bài tâp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngBài tập 1: Lập phương trình mặt cầu tâm $I(-1;4;-2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 3x-y-2z-11=0$. Lời giải: Để lập được phương trình mặt cầu chúng ta cần biết tâm và bán kính mặt cầu. Vậy trong bài toán này ta cần đi xác định thêm bán kính của mặt cầu. Ta biết rằng mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên khoảng cách từ $I$ tới mặt phẳng $(P)$ chính là bán kính $R$ của mặt cầu. Ta có: $R=d_{(I,(P))}=\frac{|3.(-1)-1.4-2.(-2)-11|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$ Vậy phương trình mặt cầu là: $(x+1)^2+(y-4)^2+(z+2)^2=14$ Bài tập 2: Tìm $m$ để mặt phẳng $(P): 3x-2y+6z+2(m-1)=0$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2+6x-2z+1=0$ Lời giải: Để làm được bài toán này các bạn cần xác định được 2 yếu tố: 1. Tâm và bán kính mặt cầu $S$ 2. Xác định điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu Sau khi xác định được hướng đi thì các bạn sẽ trình bày như sau: Bước 1: Ta cần xác định tâm và bán kính mặt cầu $S$: Tâm $I(-3;0;1)$, bán kính $R=\sqrt{9+0+1-1}=3$ Bước 2: Mặt cầu $S$ tiếp xúc với mặt phẳng $P$ khi và chỉ khi: $R=d_{(I,(P))} \Leftrightarrow \frac{|3.(-3)-2.(0)+6.(1)+2.(m-1)|}{\sqrt{9+4+36}}=3$ $\Leftrightarrow |2m-5|=21 \Leftrightarrow \left [\begin{array}{2} 2m-5=21\\2m-5=-21 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{2}m=13\\m=-8 \end{array} \right.$ Vậy $m=13$ hoặc $m=-8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 3: Tìm điểm $M$ trên trục $oy$ cách đều hai mặt phẳng $2x-4y-4z+2=0$ và $3x+2y-6z-5=0$. Lời giải: Đây là một bài toán rất hay, và để làm được bài toán này các bạn cần phân tích được bài toán theo hướng sau: 1. Điểm $M$ thuộc $oy$ thì nó có tọa độ như thế nào? 2. Điểm $M$ cách đều $2$ mặt phẳng thì điều kiện ra sao? Trả lời được hai câu hỏi trên các bạn sẽ giải quyết được bài toán này. Các bước trình bày lời giải như sau: Bước 1: Điểm $M$ thuộc $oy$ nên có tọa độ là: $M(0;m;0)$ Bước 2: Điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho nên khoảng cách từ $M$ tới hai mặt phẳng sẽ bằng nhau. Ta có: $d_{(M,(P))}=d_{(M,(Q))} \Leftrightarrow \frac{|-4m+2|}{\sqrt{4+16+16}}=\frac{|2m-5|}{\sqrt{9+4+36}}$ $\Leftrightarrow 7.|-4m+2|=6.|2m-5| \Leftrightarrow \left [\begin{array}{2}7.(-4m+2)=6.(2m-5)\\7.(-4m+2)=-6.(2m-5)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{2}m=\frac{11}{10}\\m=-1\end{array}\right.$ Vậy $m=\frac{11}{10}$ hoặc $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4. Lời kếtQua bài giảng hôm nay các bạn đã hiểu thêm về dạng bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Hy vọng với cách trình bày từ lý thuyết tới phân tích lời giải tìm hướng đi và trình bày lời giải cụ thể các bạn sẽ nắm được hết ý tưởng của thầy muốn truyền đạt trong bài giảng. Thầy sẽ update video trong thời gian tới cho bài giảng này. Chúc các bạn học tập tốt.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng trong tọa độ Oxyz Tóm tắt lý thuyết. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng trong hình Oxyz. Phương pháp kiểm tra 2 điểm nằm về 1 phía hoặc 2 phía so với 1 mặt phẳng. Câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết. Cho M(x0;y0;z0) và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn HM và được tính bằng công thức
Cách kiểm tra 2 điểm phân biệt nằm về 1 phía hoặc 2 phía so với mặt phẳng
Nếu P(A).P(B) < 0 : A, B nằm về hai phía so với mặt phẳng (P) Nếu P(A).P(B) >0 : A, B nằm về một phía so với mặt phẳng (P)
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương trình mặt phẳng đoạn chắn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: Dạng 3. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn. 1. Phương pháp: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A a Bb và C với abc = 0 là? Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (3;0;0), (2;2;2) M N. Mặt phẳng P thay đổi qua M, N cắt các trục Oy Oz lần lượt tại Bb C c với b c khác 0. Hệ thức nào dưới đây là đúng? Hướng dẫn giải: Chọn D. Mặt phẳng P đi qua M (3;0;0), N (0;n;0) với b c khác 0 nên phương trình mặt phẳng P theo đoạn chắn là: xyz b c. Mặt phẳng P đi qua N(2;2;2) suy ra 222 111 1 3 6 bc bc. Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho điểm G(1;4;3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz lần lượt tại A B C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC là? Chọn B. Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M (1;2;3) và cắt các trục Ox Oy Oz lần lượt tại ba điểm A B C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 22 2 OA OB OC có giá trị nhỏ nhất. Gọi H là trực tâm ABC. Chứng minh tương tự, ta có: BC OH 2. Vậy để biểu thức OA^2 + OB^2 + OC^2 đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH OM nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H M. Khi đó OM ABC nên P có một vectơ pháp tuyến là (1;2;3). Bài tập 4: Trong không gian Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm M (4;-4;1) và chắn trên ba trục tọa độ Ox Oy Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 1? Gọi A B C với abc khác 0 là giao điểm của mặt phẳng P và các trục toạ độ. Khi đó P có phương trình là 1 x y z. Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn. Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A B. Mặt phẳng x ay bz c 0 đi qua các điểm A B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 1/6. Giá trị của abc 3 2 là? Hướng dẫn giải: Chọn D. Mặt phẳng đi qua các điểm A B đồng thời cắt tia Oz tại C với t = 0 có phương trình là? |
