Lim 1 x 2 bằng bao nhiêu

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM số

1. KIẾN THỨC CÃN BẢN GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI MỘT ĐIEM Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm Xo và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {Xo}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi X dần tới Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn e K \ {x0} và xn -> x0, ta có f(xn) dần tới L. Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> x0. x->Xg Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M. Khi đó X—>Xq X—>Xq lim [f(x) + g(x)] = L + M; x-»x0 . lim [f(x) - g(x)] = L - M; x-»x0 . lim [f(x).g(x)] = L.M; x->x0 f(x) L lim -7-7 = 7“ (nếu M 0). x->x0 g(x) M Nếu f(x) > 0 và lim f(x) = L, thì L > 0 và lim Jf(x) = 7Ĩ . X->x0 X—»xg (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với X x0). Giới hạn một bên Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi X -> Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, Xo x0, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L. X-»Xq Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi X -> x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a x0, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L. x->x0 Định lí: lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = L. X-»Xg x-»xỏ X->xj GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI VÔ cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +oo). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là số L khi X -> +00 nếu với dãy số (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -» L. Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> +00. X—>+00 Cho hàm sô' y =f(x) xác định trên khoảng (-oo; a). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là sô' L khi X -» -00 nếu với dãy sô' (xn) bất kì, xn -00, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi x -> -00. X—>—<30 GIỚI HẠN VÔ cực CỦA HÀM số Giới hạn vô cực Định nghĩa: Cho hàm sô' y - f(x) xác định trên khoảng (a; +oo). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là -00 khi X -> +00 nếu với dãy sô' (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -> -00. Kí hiệu lim f(x) = -00 hay f(x) -> -00 khi X -> +00. X—»+co Nhận xét: lim f(x) = +00 lim (-f(x)) = -00. X->+cc X—>+<o Các giới hạn đặc biệt lim xk = +00 với k nguyên dương. X—>+<30 lim xk = -00 nếu k là sô' lẻ. X—>—<30 lim xk = +00 nếu k là sô' chẵn. X->—00 Các quy tắc tìm giới hạn lim f(x) x-»x0 lim g(x) x->x0 lim f(x).g(x) x-»xg L > 0 +00 '
2. 30 -00 -00 L < 0 +00 -00 -00 +00 lim f(x) x-»x0 lim g(x) x-»x0 Dấu của g(x) .. f(x) lim -f-i x->x0 g(x) L ±00 Tùy ý 0 L > 0 0
3. +00
4. -00 L < 0
5. -00
6. +00 2-5xà các dãy số (Un) với u„ = - ; (vn) với Vn = . n n
7. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
8. Dùng định nghĩa, tim các giới hạn sau: x + 1
9. lim X-.4 3x - 2 '
10. lim x->«c x + 3 £jtải
11. Xét hàm số f(x) = x + 1 3x - 2 có tập xác định D = K\ ± ±;+00 ;x = 4 e Giả sử (xn) là dãy số bất kì với xn > ; xn í 4 và x„ 4 khi n -> +00. 3 2-5xTính limUn, limVn, limf(Un) và limf(Vn). Từ đó có kết luận gi về giới hạn của hàm số đã cho khi X -> 0? „ xác định trên K. x2 + 3 Giả sử (xn) là dãy số bất kì, xn -> +x khi n +00. 2 - 5x2 X2 - 5 Ta có limílXn) = lim—° = lim „ = -5.
12. Hàm sô' f(x) =

    4+3 VA i;~ 2-5x2 Vậy lim —-- ■■ = -5.

    -»+« X2 + 3 Cho hàm số f(x) = nếux>0 [2x nê’ux<0 (sjiai limVn = liml - —I =0. Ta có limun = lim— = 0; n Do un = — > 0 và vn = <0, nên f(un) = /— + 1 và f(vn) = - —. n .11 V n n Từ đó: limf(un) = lim — + 11=1; n limf(vn) = lim— = 0. Vi un -» 0 và vn -> 0, nhưng limflUn) limf(vn) nên hàm số f(x) không có giới hạn khi X —> 0. Tính các giới hạn sau:
13. lim X ->-(
14. lim 3 X + 1 2x-6 4 - X
15. lim X-.-;
16. lim 4-xz 2 X + 2 17
17. lim Jx + 3 - 3 .6 X - 6 -2xz + X -1
18. Ta có lim x2-l x->-3 X + x--'X ^1 ỐịiẦi
19. lim X-XWC 3 + X -- = lim (x -1) = -3 -1 = -4 1 x-x-3 4 - X2 lim = lim(2-x)=4 X—»—2 X + 2 X—*—2 . 1. Vx + 3 - 3 . lim —-— = lim x->6 x-6 (x + 3)-9 ' 1 1 m . . , 7 = lim . —- = — *6 (x - 6)(\/x + 3 + 3) x~*6 Vx + 3 +3 6
20. lim 4—- = lim x-»+x 4 — X x->+co XR) 2~x 2 \ 4 = lim = 4 = -2 17 Vì lim (X2 + 11 = +00 nên lim ——— = 0 0 lim '•'•y ‘ - lim x-x+oo 3 + X X—»+x X -2 + 11 X X2 ..I 3 , , XI - + 1 X X—>+co \ ' x-*+co + 1 -2 +-2+ 4 = lim X —-—— = -00 (vì lim X= +00 và lim —-—— = -2 < 0). X—»+cO O X—»+cC X—>+CC O „
21. +1 — + 1 X X
22. Tìm các giới hạn sau: 3x-5
23. lim X—»2 (x-2)2 . . , 2x-7 2x-7 t>) lim ■ ; c) lim ——7-. X-.1- X - 1 X -1 Ốịiảí lim(3x -5)= 1 > 0; lim(x - 2)2= 0 và (x - 2)2 > 0, Vx 2

    X—»2 ’ x-»2 7 3x-5 => lim—- - = +0O

    “2(x-2)2 lim (2x - 7) = -5 lim -X - 7 = +00. x-»r X-»J- ' x“i X -1 ,. / _ 2x — 7 lim (2x - 7) = -5 0 => lim ——— = -00 x-»i+ X-»1+ x-r X -1
24. Cho hàm số f(x) = * + 2 , có đồ thị như hình dưới. X2 - 9 Quan sát đồ thị và nêu nhận xét vể hàm số đã cho khi X -> -a>, X -> 3' và X -» -3‘. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau: lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-»; -3), x-»-x lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3), x->3’ • lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3). ỐỊiải
25. lim f(x) = 0, lim f(x) = -00, lim f(x) = +oc. x->-=0 x-»3“ x->-3+ *1 '1 2Ì <x + X2 J X2 1-1 l X2 J x“b-+-2i 1+4
26. lim f(x) = lim ——-4- = lim ——= 0 X—>—00 X-»-cc 9 ( 9 I X—>—co - y x 1--J lim f(x) = lim x->3_ = +» =-00 ; lim fíx) = lim . x~3* (x - 3)(x + 3) x”-3* x-»-3+(x - 3)(x + 3) Tính: a) lĩm (X -Xc + X-1); C) lim vx -2X + Õ X-++X X->-X t>) lim (—2x3 + 3x2 - 5) d) lim + 1 . X—»-x X—>+« 5 - 2x ốịlẦi lim (x4 - X2 + X - 1) = lim X4 11 -1= +C0 X—»+co X—>+cc ỵ x XJ X? J (vì lim X4 = +00 và lim I 1 - + “3 - Ậ I = 1 > 0) X->+cc X—>+ce Ỳ X* X X4 / lim (-2x3 + 3x2 - 5) = lim xs(-2 + — - --) = +00 X->-co X->-00 X (vì lim X3 = -00 và lim (-2 + — - --) = -2-00 X lim 7x2 - 2x + 5 = lim |x| /1- — + -- =+00 X—00 x->-oo Y X x I 2 5- (vì lim Ixl = +00 và lim 1 - — + —r = 1 > 0) X-+-CŨ X—>—00 ỵ X X = -l. .„ 77TĨ.X x ? ■ x‘ •1 .... fĩ -2 x^»+M 5 - 2x x-»+<o (5
27. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A'B’ của nó tới quang tâm o cùa thấu kính. Công thức thấu kinh là 4 + 37= / ■ d d' f X - 2 í d d' 1« - *1« Tìm biểu thức xác định hàm số d' = <p(d). Tim lim (d) và lim <p(d). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được. d->f* d->f" d~>+' éỹlải
28. Từ hệ thức 3- + 37 = 3 suy ra: d' = tp(d) = tá J d d' f d-f
29. • lim <p(d) = lim J .r+ ' ' .f+ fd d->r ' ’ d->f+ d - f = +00. Kết quả này nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực. nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực. d-*+co nghĩa là: nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).
30. BÀI TẬP LÀM THỀM
31. Tính các giới hạn sau: X3 -4x2 +X + 2
32. lim X->1 X - 3x + 2
33. lim x-»0 2x 5/1 +- X — 1 c lim ; x-ii/x-1 -Hướng ìẫn: a) X3 - 4x2 + X + 2 = (x - l)(x2 - 3x - 2). Đáp số: 7.
34. lim x-»ỏ
35. Đáp sô': ;
36. Đặt t = . Đáp số: . 3 Đặt t = 3/l + x và áp dụng: tn - 1 = (t - l)(tn_1 + tn’2 +...+ t + 1). Đáp số: . n
37. Tính các giới hạn: Đáp số: a) X -1 lim——— X-»1 x" -1 n(n-l) —— • X -nx + n-1 b) lim- —— X-»1 x-1 Vx2 +1
38. lim ịx-Vx2 +5x ); X—>+cc \ / Tính các giới hạn:
39. .Iim - X'Ạ+Kx + 1 + Vx2 +1 lim ỉ7x2 +1 - >Jx3 -ì) . X—>+cc \ / Đáp số: a) — ; 2 Tìm các giới hạn sau:
40. lim (-3x3 + 4x2 - 2x + 1); X—»-oo . 5x~1. lim X-»1 1-x ĐS: a) +oo; b) +oo; Tlm các giới hạn sau: , 3x 2
41. lim - ; ; X_>_1(x + 1) (x-2)
43. lim A?2x4 -2x-1 X—>—00 .. 5x-1 lim--—-. X—>1 1-X
44. -oo; d) +oo;
45. lim- ——- — . *->-1(x+ 1)(X2 -2x + 3) ĐS: a) +oo;
46. -00.