Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm

Thầy cô ơi dạy em cách giải bài này với ạ. Em không biết gì hết!

Page 2

Thầy/ cô có thể chỉ cho em cách làm cái này không ạ?

Lời giải từ gia sư QANDA

Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!

quynhnhu49990 rất mong câu trả lời từ bạn. Viết trả lời

XEM GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - TẠI ĐÂY

Chương 2MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ1. CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ.1.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận tối đaBài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầulà QD = D(P) ( P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC = TC(Q) ( Q là sản lượng).Hãy xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.Giải quyết bài toán. Với một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xínghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho QD = Q . Do đó, ta cóD(P) = Q ⇔ P = D−1 (Q) , mặt khác doanh thu của xí nghiệp làTR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q và lợi nhuận thu được của xí nghiệp làπ(Q) = TR(Q) − TC(Q) = D−1 (Q) × Q − TC(Q) .Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q sao cho π đạt giá trị lớn nhất.Chú ý rằng để phù hợp với thực tế thì tại Q = Q0 ta phải có lợi nhuận, đơn giá vàtổng chi phí đều dương.Ví dụ 1. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu làQD = 656 −1P và hàm tổng chi phí TC(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 40000 . Hãy2xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.GiảiVới một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theomột đơn giá P sao cho QD = Q . Do đó, ta cóQD = Q ⇔ 656 −1P = Q ⇔ P = 1312 − 2Q ,242Mặt khác doanh thu của xí nghiệp làTR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q = (1312 − 2Q) × Q = −2Q 2 + 1312Qvà lợi nhuận thu được của xí nghiệp làπ(Q) = TR(Q) − TC(Q)= −2Q 2 + 1312Q − (Q3 − 77Q2 + 1000Q + 40000)= −Q3 + 75Q2 + 312Q − 40000Bây giờ ta tìm Q > 0 sao cho π đạt giá giạ lớn nhất. Ta cóπ / (Q) = −3Q2 + 150Q2 + 312Suy ra, π / (Q) = 0 ⇔ −3Q 2 + 150Q + 312 = 0 ⇔ Q = −2 (loaïi) hay Q = 52 .Mặt khác, π / / (Q) = −6Q + 150 nên π / / (52) = −162 < 0 . Vậy π(Q) đạt cực đạitại Q = 52 .Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau :Lợi nhuận : π = 38416 ,Đơn giá : P = 1208 ,Tổng chi phí : TC = 24400 .Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượngQ = 52 . Khi đó lợi nhuận tương ứng là π = 38416 .1.2. Bài toán thuế doanh thuBài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầulà QD = D(P) ( P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC = TC(Q) ( Q là sản lượng). Hãyxác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xínghiệp.Giải quyết bài toán. Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, xí nghiệp địnhmức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượngQ , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao choQD = Q . Do đó, ta có43D(P) = Q ⇔ P = D−1 (Q) , mặt khác doanh thu của xí nghiệp làTR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q và lợi nhuận thu được của xí nghiệp làπ(Q) = TR(Q) − TC(Q) = D−1 (Q) × Q − TC(Q) .Trong đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp làT(t) = Q × t .Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q = Q(t) sao cho π(Q) đạt giá trị lớn nhất.Khi đó với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là T(t) = Q(t) × t . Ta cần tìm giá trị t > 0sao cho T(t) = Q(t) × t đạt cực đại.Chú ý rằng để phù hợp với thực tế thì tại t > 0 tìm được ta phải có mức sản lượngvà đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí đều dương.Ví dụ 2. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu làQD = 2000 − P và hàm tổng chi phí TC(Q) = Q2 + 1000Q + 50 . Hãy xác định mứcthuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp.GiảiVới một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theomột đơn giá P sao cho QD = Q . Do đó, ta cóQD = Q ⇔ 2000 − P = Q ⇔ P = 2000 − Q .Mặt khác doanh thu của xí nghiệp làTR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q = (2000 − Q) × Q = −Q2 + 2000QTiền thuế của xí nghiệp là : T(t) = Q × t ,và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là :π(Q) = TR(Q) − TC(Q) − Qt= −Q2 + 2000Q − (Q2 + 1000Q + 50) − Qt= −2Q 2 + (1000 − t)Q − 50Bây giờ ta tìm Q > 0 sao cho π đạt giá giạ lớn nhất. Ta có44π / (Q) = −4Q + 1000 − tSuy ra, π / (Q) = 0 ⇔ −4Q + (1000 − t) = 0 ⇔ Q = (1000 − t) / 4 . Khi đó tiềnthuế xí nghiệp phải nộp là :T(t) = Q × t = (1000t − t 2 ) / 4 , ta cần xác định t > 0 sao cho T(t) đạt cực đại.Ta có, T / (t) = (1000 − 2t) / 4 , suy ra T / (t) = 0 ⇔ 1000 − 2t = 0 ⇔ t = 500 .Vì T / / (t) = −2 < 0 nên T(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = 500Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau :Sản lượng : Q = 125 , Lợi nhuận : π = 31200 ,Đơn giá : P = 1875 , Tổng chi phí : TC = 14067 .Tiền thuế thu được là : T = 62500 . Khi định mức thuế trên một đơn vị sảnphẩm là t = 500 .1.3. Bài toán thuế nhập khẩuBài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nộiđịa lần lượt là QS = S(P) và QD = D(P) ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sảnphẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhậpkhẩu) là P1 < P0 , trong đó P0 là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cungbằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩmtrên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ côngty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giábán trên thị trường quốc tế).Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mứcthuế t phải thoả điều kiện t > 0 và t + P1 < P0 . Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sảnphẩm trên để bán với đơn giáP thoả t + P1 < P < P0 với số lượng làQD − QS = D(P) − S(P) . Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là :π(P) = (P − P1 − t) [ D(P) − S(P)] .45Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác địnhP sao cho π(P) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P = P(t) và tiền thuế công ty phải nộp là :T(t) = t × [ D(P(t)) − S(P(t))] .Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t > 0 sao cho T(t)đạt cực đại. Mức thuế phải thoả t + P1 < P0 và để phù hợp với thực tế ta phải có các đạilượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.Ví dụ 3. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địalần lượt là QS = P − 200 và QD = 4200 − P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loạisản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuếnhập khẩu) là P1 = 1600 . Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xácđịnh mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuếnhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thịtrường quốc tế).GiảiTrước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta cóQD = QS ⇔ P − 200 = 4200 − P ⇔ P = 2200 ( P0 = 2200 )Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện :1600 + t < 2200 (*)Khi đóLượng hàng mà công ty nhập về là :QD − QS = (4200 − P) − (P − 200) = 4400 − 2P .Lợi nhuận mà công ty thu được là :π(P) = (P − P1 − t) QD − QS = (P − 1600 − t)(4400 − 2P)= −2P 2 + 2(3800 + t)P − 4400(1600 + t).Đơn giá P được định ra sao cho π(P) đạt cực đại. Ta có46π / (P) = −4P + 2(3800 + t) , suy raπ / (P) = 0 ⇔ −4P + 2(3800 + t) = 0 ⇔ P = 1900 +t, và vì π / / (P) = −4 < 02nên π(P) đạt cực đại tại P = 1900 + (1 / 2)t . Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là :T(t) = t QD − QS  = t(4400 − 2P) = t(600 − t) . Ta cần xác định t > 0 sao choT(t) đạt giá trị lớn nhất. Ta cóT / (t) = 600 − 2t , suy ra T / (t) = 0 ⇔ 600 − 2t = 0 ⇔ t = 300 .Vì T / / (t) = −2 < 0 nên T(t) đạt cực đại tại t = 300 , như vậy với T(t) = 90000 . Thoảmãn (*) , và ta có các số liệu phù hợp sau :Đơn giá : P = 2025 > 0 ,Lượng cung : QS = 1850 > 0 ,Lượng cầu : QD = 2150 > 0 .Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trênmột đơn vị sản phẩm là t = 300 . Khi đó tiền thuế thu được là T = 90000 .1.4. Bài toán thuế xuất khẩuBài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nộiđịa lần lượt là QS = S(P) và QD = D(P) ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sảnphẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuấtkhẩu) là P1 > P0 , trong đó P0 là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cungbằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩmtrên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công tynhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bántrên thị trường quốc tế).Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mứcthuế t phải thoả điều kiện t > 0 và P1 − t > P0 . Do được độc quyền, công ty sẽ mua sảnphẩm trên với đơn giá P thoả P0 < P < P1 − t với số lượng là QS − QD = S(P) − D(P) .Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là :47π(P) = (P1 − P − t) [S(P) − D(P)] .Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xácđịnh P sao cho π(P) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P = P(t) và tiền thuế công ty phải nộplà :T(t) = t × [S(P(t)) − D(P(t))] .Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t > 0 sao cho T(t)đạt cực đại. Mức thuế phải thoả P1 − t > P0 và để phù hợp với thực tế ta phải có các đạilượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.Ví dụ 4. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địalần lượt là QS = P − 200 và QD = 4200 − P ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loạisản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuấtkhẩu) là P1 = 3200 . Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xácđịnh mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuếnhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thịtrường quốc tế).GiảiTrước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta cóQD = QS ⇔ P − 200 = 4200 − P ⇔ P = 2200 ( P0 = 2200 )Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện :t > 0;3200 − t > 2200 (*)Khi đóLượng hàng mà công ty xuất khẩu là :QS − QD = (P − 200) − (4200 − P) = 2P − 4400 .Lợi nhuận mà công ty thu được là :π(P) = (P1 − P − t) QS − QD = (3200 − P − t)(2P − 4400)= −2P 2 + 2(5400 − t)P − 4400(3200 − t).48Đơn giá P được định ra sao cho π(P) đạt cực đại. Ta cóπ / (P) = −4P + 2(5400 − t) , suy raπ / (P) = 0 ⇔ −4P + 2(5400 − t) = 0 ⇔ P = 2700 −t, và vì π / / (P) = −4 < 02nên π(P) đạt cực đại tại P = 2700 − (1 / 2)t . Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là :T(t) = t QS − QD  = t(2P − 4400) = t(1000 − t) . Ta cần xác định t > 0 saocho T(t) đạt giá trị lớn nhất. Ta cóT / (t) = 1000 − 2t , suy ra T / (t) = 0 ⇔ 1000 − 2t = 0 ⇔ t = 500 .Vì T / / (t) = −2 < 0 nên T(t) đạt cực đại tại t = 500 , như vậy với T(t) = 250000 .Thoả mãn (*) , và ta có các số liệu phù hợp sau :Đơn giá : P = 2450 > 0 ,Lượng cung : QS = 2250 > 0 ,Lượng cầu : QD = 1750 > 0 .Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trênmột đơn vị sản phẩm là t = 500 . Khi đó tiền thuế thu được là T = 250000 .1.5. Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo.Bài toán. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Đơn giá hai loại sản phẩm trênthị trường là P1 , P2 và hàm tổng chi phí là : TC = TC(Q1 , Q2 ) ( Q1 , Q2 là các sảnlượng). Hãy định các mức sản lượng Q1 và Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.Giải quyết bài toán. Điều kiện về mức sản lượng Q1 , Q2 là Q1 , Q2 > 0 . Khi đó,ta cóDoanh thu là : TR(Q1 , Q2 ) = P1Q1 + P2Q2 .Lợi nhuận là : π(Q1 , Q2 ) = TR − TC = P1Q1 + P2Q2 − TC(Q1 , Q2 ) .49Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng Q1 , Q2 sao cho tại đóπ(Q1 , Q2 ) đạt cực đại. Lưu ý cần kiểm tra lại các đại lượng khác như chi phí, lợi nhuậnphải dương để phù hợp với thực tế.Ví dụ 5. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Đơn giá hai loại sản phẩm trên thịtrường là P1 = 56 và P2 = 40 . Hàm tổng chi phí là : TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + Q22 . Hãyđịnh các mức sản lượng Q1 và Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.GiảiĐiều kiện về mức sản lượng Q1 , Q2 là Q1 , Q2 > 0 . Khi đó, ta cóDoanh thu là : TR = P1Q1 + P2Q2 = 56Q1 + 40Q2 .Lợi nhuận là : π = TR − TC = 56Q1 + 40Q2 − 2Q12 − 2Q1Q2 − Q22 .Để đạt lợi nhuận cao nhất, ta cần xác định các mức sản lượng Q1 , Q2 sao cho tạiđó π(Q1 , Q2 ) đạt cực đại.Lưu ý đây là bài toán cực trị hàm hai biến theo Q1 , Q2 .Trước hết ta tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của π(Q1 , Q2 ) , ta có∂π(Q , Q ) = 56 − 4Q1 − 2Q2∂Q1 1 2∂π(Q , Q ) = 40 − 2Q1 − 2Q2∂Q2 1 2∂ 2π∂Q,Q=()122∂Q∂Q1 ∂π ∂( 56 − 4Q1 − 2Q2 ) = −4=∂Q1  ∂Q11 ∂ 2π( Q1 , Q2 ) = ∂Q∂2∂Q 22 ∂π ∂( 40 − 2Q1 − 2Q2 ) = −2= ∂Q 2  ∂Q 2∂2π∂  ∂π ∂Q1 , Q2 ) =( 40 − 2Q1 − 2Q2 ) = −2(=∂Q1∂Q2∂Q1  ∂Q2  ∂Q150Để khảo sát cực trị ta tìm các điểm dừng, bằng cách giải hệ sau : ∂π ∂Q (Q1 , Q 2 ) = 56 − 4Q1 − 2Q 2 = 0 1⇔ ∂π (Q , Q ) = 40 − 2Q − 2Q = 012 ∂Q2 1 2Q1 = 8Q2 = 12Vậy π có một điểm dừng là (Q1 , Q 2 ) = (8,12) .Xét tại điểm dừng (Q1 , Q 2 ) = (8,12) , ta có A = −4 < 0; C = −2; B = −2 ,∆ = AC − B2 = 4 > 0 nên π đạt cực đại tại (Q1 , Q 2 ) = (8,12) . Khi đóChi phí : TC = 464 , lợi nhuận : π = 464Kết luận : Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng của hai loại sản phẩmlần lược là : Q1 = 8 và Q2 = 12 .1.6. Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện sản xuất độc quyền.Bài toán. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu củahai loại sản phẩm trên lần lượt là QD = D1 (P1 , P2 ) và QD = D2 (P1 , P2 ) ( P1 , P2 đơn12giá) và hàm tổng chi phí là : TC = TC(Q1 , Q2 ) ( Q1 , Q2 là các sản lượng). Hãy định cácmức sản lượng Q1 và Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.Giải quyết bài toán. Điều kiện về mức sản lượng Q1 , Q2 là Q1 , Q2 > 0 . Do sảnxuất độc quyền với các mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp sẽ bán vớicác đơn giá P1 , P2 sao cho :Q D = Q1 1D (P , P ) = Q1⇔ 1 1 2Q D2 = Q2D2 (P1 , P2 ) = Q2P = P1 (Q1 , Q2 )Giải hệ trên ta được  1.P=P(Q,Q) 2212Khi đó, ta cóDoanh thu là :51TR(Q1 , Q2 ) = P1 (Q1 , Q2 ) × Q1 + P2 (Q1 , Q2 ) × Q 2 .Lợi nhuận là :π(Q1 , Q2 ) = TR − TC = P1 (Q1 , Q2 ) ⋅ Q1 + P2 (Q1 , Q2 ) ⋅ Q 2 − TC(Q1 , Q2 )Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng Q1 , Q2 sao cho tại đóπ(Q1 , Q2 ) đạt cực đại. Lưu ý cần kiểm tra lại các đại lượng khác như chi phí, lợi nhuậnphải dương để phù hợp với thực tế.Ví dụ 6. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loạisản phẩm trên lần lượt là :QD =11230 − 5P1 + P21350 + P1 − 3P2và QD =.21414Với hàm tổng chi phí là : TC = Q12 + Q1Q2 + Q22 . Hãy định các mức sản lượng Q1và Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.GiảiĐiều kiện về mức sản lượng Q1 , Q2 là Q1 , Q2 > 0 . Do sản xuất độc quyền với cácmức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp sẽ bán với các đơn giá P1 , P2 saocho : 1230 − 5P1 + P2= Q1Q D = Q1114⇔Q=Q D2 1350 + P1 − 3P2 = Q2214−5P1⇔P1P =⇔ 1P1 =+ P2= 14Q1− 1230− 3P2= 14Q 2− 1350360 − 3Q1− Q2570 − Q1− 5Q2Khi đó, ta cóDoanh thu là :52TR(Q1 , Q2 ) = P1 (Q1 , Q2 ) × Q1 + P2 (Q1 , Q 2 ) × Q 2= (360 − 3Q1 − Q 2 ) × Q1 + (570 − Q1 − 5Q 2 ) × Q 2= −3Q12 − 5Q22 − 2Q1Q 2 + 360Q1 + 570Q 2Lợi nhuận là :π(Q1 , Q2 ) = TR(Q1 , Q 2 ) − TC(Q1 , Q2 )= −3Q12 − 5Q22 − 2Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 − (Q12 + Q1Q 2 + Q 22 )= −4Q12 − 6Q 22 − 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định các mức sản lượng Q1 , Q2 sao cho tại đóπ(Q1 , Q2 ) đạt cực đại.Lưu ý đây là bài toán cực trị hàm hai biến theo Q1 , Q2 .Trước hết ta tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của π(Q1 , Q2 ) , ta có∂π(Q , Q ) = −8Q1 − 3Q 2 + 360∂Q1 1 2∂π(Q , Q ) = −12Q 2 − 3Q1 + 570∂Q 2 1 2∂ 2π∂Q12∂ 2π∂Q 22( Q1 , Q2 ) = ∂Q∂ ∂π ∂( −8Q1 − 3Q2 + 360) = −8=∂Q1  ∂Q11 ( Q1 , Q2 ) = ∂Q∂2 ∂π ∂( −12Q2 − 3Q1 + 570) = −12=∂Q∂Q 22∂2π∂  ∂π ∂Q1 , Q2 ) =( −12Q2 − 3Q1 + 570) = −3(=∂Q1∂Q2∂Q1  ∂Q2  ∂Q1Để khảo sát cực trị ta tìm các điểm dừng, bằng cách giải hệ sau : ∂π ∂Q (Q1 , Q 2 ) = −8Q1 − 3Q 2 + 360 = 0Q = 30 1⇔ 1Q 2 = 40 ∂π (Q , Q ) = −12Q − 3Q + 570 = 01212 ∂Q253vậy π có một điểm dừng là (Q1 , Q 2 ) = (30, 40) .Xét tại điểm dừng (Q1 , Q 2 ) = (30, 40) , ta có A = −8 < 0; C = −12; B = −3;∆ = AC − B2 = 87 > 0 , nên π đạt cực đại tại (Q1 , Q 2 ) = (30, 40) . Khi đóChi phí : TC = 3700 ,Lợi nhuận : π = 16800Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng của hai loại sản phẩmlần lược là : Q1 = 30 và Q2 = 40 .1.7. Bài toán người tiêu dùngBài toán. Một người dành một số tiền M để mua hai loại sản phẩm có đơn giá lầnlượt là P1 và P2 . Hàm hữu dụng ứng với hai loại sản phẩm trên là TU = TU(x1 , x2 )( x1 , x2 lần lượt là số lượng các sản phẩm). Hãy xác định số lượng các loại sản phẩm trênsao cho hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất.Giải quyết bài toán. Gọi x1 , x2 lần lượt là số lượng sản phẩm. Với điều kiệnx1 , x2 > 0 . Khi đó x1P1 + x2P2 = M , do đó để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất, ta cầntìm cực đại của hàm hữu dụng TU = TU(x1 , x2 ) với điều kiện x1P1 + x2P2 = M .Lưu ý rằng đây là bài toán cực trị có ràng buộc.Ví dụ 7. Một người muốn dùng số tiền 4000000 đồng để mua hai mặt hàng có đơn giáP1 = 400000 đồng và P2 = 500000 đồng. Hàm hữu dụng của hai mặt hàng trên làTU = (x1 + 5)(x2 + 4) ( x1 , x2 lần lượt là số lượng của hai mặt hàng). Hãy xác định sốlượng cần mua của hai loại mặt hàng trên để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất.GiảiVới x1 , x2 lần lượt là số lượng của hai mặt hàng, theo đề bài ta có điều kiện ràngbuộc cho x1 , x2 bởi400000x1 + 500000x2 = 4000000 ⇔ 4x1 + 5x2 = 40 (*) .54Ta cần tìm x1 , x2 > 0 để hàm hữu dụng TU = (x1 + 5)(x2 + 4) đạt cực đại vớiràng buộc (*) .TU = (x1 + 5)(x2 + 4) , với ràng buộc g(x1 , x2 ) = 4x1 + 5x2 − 40Hàm Lagrange: L(x1 , x2 , λ) = TU(x1 , x2 ) + λg(x1 , x2 )L(x1 , x2 , λ) = (x1 + 5)(x2 + 4) + λ (4x1 + 5x2 − 40)Ta có đạo hàm riêng cấp 1 của L như sau: ∂L ∂x (x1 , x2 , λ) = x2 + 4 + 4λ 1 ∂L(x1 , x2 , λ) = x1 + 5 + 5λ ∂x2 ∂L (x , x , λ) = 4x1 + 5x2 − 40 ∂λ 1 2Tìm điểm dừng của L bằng cách giải hệ phương trình sau x 2 + 4 + 4λ = 0⇔ x1 + 5 + 5λ = 04x1 + 5x2 − 40 = 0 x1 = 5 x2 = 4λ = −2Vậy L có một điểm dừng là (x1 , x2 , λ) = (5, 4, −2)Tại (x1 , x2 , λ) = (5, 4, 2) ta xét∂ 2L∂ 2Ld L = 2 (dx1 ) + 2dx1dx2 + 2 (dx2 )2∂x1∂x2∂x1∂x22∂ 2L2= 2dx1dx2(1)Với dx, dy thoả mãn điều kiện sau :dg =∂g∂gdx1 +dx = 0 ⇔ 4dx1 + 5dx2 = 0∂x1∂x2 2⇔ dx1 = −5dx thay vào (1) ta được4 255 55d 2L = 2  − dx2  dx2 = − (dx2 )2 < 0 . 42Vậy TU đạt cực đại tại (x1 , x2 ) = (5, 4) và TU(5, 4) = 80 .Kết luận: Để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất, thì người đó cần hai mặt hàng trên với sốlượng lần lượt là 5 và 4. Khi đó giá trị hàm hữu dụng là TU(5, 4) = 80 .2. MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH (MÔ HÌNH VÀO – RA, INPUT - OUTPUT)2.1. Vài nét giới thiệu về bảng vào-ra (I/O)Bảng vào-ra (Input-outphut tabales- I/O) lần đầu tiên được Wasily Leontief đưa ravào năm 1927.Thực chất của bảng này là phương pháp “sổ kép”, ghi lại sự phân phối sản phẩm củacác ngành trong nền kinh tế quốc dân, và quá trình hình thành sản phẩm của mỗi ngành.Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và chocác ngành khác như là các yếu tố đầu vào, và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng vàxuất khẩu.Đồng thời mỗi ngành lại tiêu thụ sản phẩm của các ngành khác, như là yếu tố đầu vàocho quá trình sản xuất của mình.Ngoài ra mỗi ngành còn phải sử dụng lao động, thuế với nhà nước, thu lợi nhuận chochính mình...Mô hình I/O đồng thời phân tích các quan hệ kinh tế giữa các ngành theo các nộidung sau:• Giá trị sản phẩm của mỗi ngành, được phân phối cho ai? Và phân phối nhưthế nào?• Giá trị sản phẩm của mỗi ngành, được hình thành như thế nào?• Phân tích tác động dây chuyền trong nền kinh tế• ...2.2. Cấu trúc bảng vào-ra2.2.1. Ngành thuần túy.Nền kinh tế quốc dân là một thể thống nhất gồm n ngành sản xuất thuần túy.56Các đơn vị được xếp cùng một ngành, là sản xuất các sản phẩm có công dụng giốngnhau, có thể thay thế hoàn toàn cho nhau.Thí dụ 8.1. Nông nghiệp và lâm nghiệp2. Thủy sản (Nuôi trồng và khai thác)3. Khai mỏ, khai khoáng4. Chế biến5. Sản xuất và phân phối điện6. Xây dựng7. Thương nghiệp và sửa chữa vật phẩm tiêu dùng8. Khách sạn9. Vận tải, kho bãi và thông tin liên lạc10. Tài chính, tín dụng11. Hoạt động khoa học công nghệ.12. Kinh doanh tài sản và dịch vụ tư vấn13. Quản lí nhà nước, an ninh quốc phòng14. Giáo dục, đào tạo15. Y tế và hoạt động cứu trợ xã hội16. Văn hóa, thể thao17. Hoạt động Đảng, đoàn thể, hiệp hội18. Hoạt động phục vụ cá nhân và cộng đồng19. Hoạt động làm thuê công việc gia đình trong các hộ tư nhân20. Hoạt động của các tổ chức và doàn thể quốc tế2.2.2. Giá trị sản xuất (GO)Giá trị sản xuất là một chỉ tiêu tổng hợp, được tính bằng giá trị sản lượng của tất cảcác ngành. Khi tính riêng cho từng ngành, ta có giá trị sản xuất của ngành.Ví dụ 9.• Đối với ngành sản xuất hàng hóa bán trên thị trường:Giá trị sản xuất = Doanh thu bán hàng + giá trị hàng sử dụng khác + giá trị thay đổitồn kho.57• Đối với thương nghiệp:Giá trị sản xuất = Doanh thu bán hàng + giá trị hàng hóa sử dụng khác + giá trịthay đổi tồn kho − nguyên giá háng bán.• Đối với ngành dịch vụ:Giá trị sản xuất = doanh thu• Đối với các ngành nhận vốn từ ngân sách:Giá trị sản xuất = Tổng các nguồn kinh phí do ngân sách cấp − trừ khoản chi cótính chất đầu tư tích lũy tài sản.2.2.3. Nhu cầu chi phí trung gianGiá trị sản phẩm của mỗi ngành làm ra, chỉ dùng cho mục đích sản xuất của ngànhmình, và cho các ngành khác được gọi là chi phí trung gian. Giá trị sản phẩm của cácngành làm ra phục vụ cho nhu cầu trung gian được sử dụng hết trong quá trình sản xuất.Nhu cầu trung gian không bao gồm khấu hao tài sản cố định. Khấu hao tài sản cố định làmột yếu tố của phần giá trị gia tăng.2.2.4. Nhu cầu cuối cùngHàng hóa và dịch vụ của các ngành sau khi dùng một phần cho nhu cầu trung gian,phần còn lại dùng cho nhu cầu cuối cùng. Bao gồm:Tiêu dùng cuối cùng: là loại tiêu dùng nhằm đáp ứng nhu cầu ăn mặc, ở, đi lại.., kýhiệu là: TDCCTích lũy tài sản (đầu tư) bao gồm tích lũy tài sản cố định, hàng tồn kho, tích lũy tàisản quý hiếm, ký hiệu là: TLTSXuất khẩu hàng hóa và dịch vụ, ký hiệu là: XK2.2.5. Giá trị gia tăng (đầu vào các yếu tố sơ cấp)Là phần giá trị mới do người lao động tạo ra, sau khi trừ đi nhu cầu trung gian, dùngđể chi trả: tiền công người lao động, thuế, nhập khẩu, lợi nhuận.2.2.6. Các giả thiết cơ bản cho bảng I/OĐồng nhất về mặt công nghệ: Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm duy nhất, vàsử dụng các yếu tố đầu vào cũng duy nhất.58Đồng nhất về mặt sản phẩm: Sản phẩm của các ngành không thể thay thế nhau, trongphạm vi từng ngành thì các sản phẩm có thể thay thế hoàn toàn.Công nghệ tuyến tính và cố định: Quá trình sản xuất được giả thiết là có các định mứckinh tế, kỹ thuật không đổi, và tổng chi phí của mỗi ngành là một hàm tuyến tính của cácyếu tố sản xuất.Hiệu quả dây chuyền: Hiệu quả sản xuất trong một ngành là do hiệu quả sản xuấttrong ngành này và hiệu quả của các ngành khác tạo ra.2.3. Bảng I/O dạng hiện vật2.3.1. Mô hình I/O dạng hiện vậtGọi: Qi : sản lượng của ngành thứ i,q ij : số lượng sản phẩm ngành j mua từ ngành i,q i : sản phẩm cuối cùng của ngành i,Q0 : tổng số lao động,q 0 j : lượng lao động được sử dụng trong ngành j,q 0 : số lao động sử dụng trong lĩnh vực khác.Bảng I/O dạng hiện vậtSố thứSảnSản phẩm trung gianSản phẩmtựlượng1Q1q11q12…q1nq12Q2q 21q 22…q 2nq2…..................nQnq n1q n2…q nnqnQ0q 01q 02…q 0nq0cuối cùng2.3.2. Điều kiện của bảng I/O dạng hiện vậtĐiều kiện cân đối về quá trình phân phối sản phẩm:nQi = ∑ q ij + q i , ∀i = 1, n(1)j=159Điều kiện cân đối về quá trình phân bố lao động xã hội:nQ 0 = ∑ q 0j + q 0 , ∀j = 1, n(2)j=1n  q Từ hệ (1) suy ra Qi = ∑  ij Q j + q i , ∀i = 1, n (3) j=1 Q j Đặt αij =qijQj, ∀i, j gọi là hệ số chi phí trực tiếp dạng hiện vật. Nó cho biết để cómột đơn vị sản phẩm ngành j thì ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này mộtlượng sản phẩm là α ij đơn vị.Ta gọi α = ( αij )n× n: ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng hiện vật hay còn gọi là matrận hệ số kỹ thuật.Từ (3) ta có hệ phương trình sau Q1Q 2 ⋮Q n= α11Q1= α 21Q1+ α12Q 2+ α 22Q 2+ ⋯ + α1n Q n+ ⋯ + α 2n Q n+ q1+ q2⋮⋮= α n1Q1⋮⋮+ α n 2Q 2⋮ ⋮ ⋮⋮+ ⋯ + α nn Q n⋮ ⋮+ qn Q1  q1 Q q 2 Đặt Q =là vectơ sản lượng; q =  2  là vectơ sản phẩm cuối ..  ..    Qn  qn Hệ phương trình trên được viết lại như sau(I − α)Q = qTrong đó θ = ( I − α )(4) ⇔ Q = θq (5)−1( )n×n= θij: gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật.Hệ số θij cho biết: để sản xuất một đơn vị sản phẩm cuối cùng của ngành j, thì ngành icần phải cung cấp cho ngành j một lượng sản phẩm là θij .Đặt: β0 j =q0 jQj, ∀j và β = ( β01 , β02 ,..., β0n ) vectơ hệ số sử dụng lao động.60Hệ số β0 j : Hệ số chi phí lao động ngành j, cho biết để tạo ra một đơn vị sản phẩmngành j, ngành này cần β0 j đơn vị lao động.Ví dụ 10. Cho bảng I/O dạng hiện vật năm t gồm 3 ngành như sau:Sản lượngSản phẩm trung gianSản phẩmcuối cùng10020108625010101614401010812Lao động10104a) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật.b) Giải thích ý nghĩa kinh tế của α 21 .c) Tìm vectơ hệ số sử dụng lao động.Giảia) Ma trận hệ số kỹ thuậtTính các hệ sốα11 =qq11 20q108== 0, 2; α12 = 12 == 0, 2; α13 = 13 == 0, 2Q1 100Q 2 50Q3 40α 21 =qq 21 10q1016== 0,1; α 22 = 22 == 0, 2; α 23 = 23 == 0, 4Q1 100Q 2 50Q3 40α 31 =q 31 10qq108== 0,1; α 32 = 32 == 0, 2; α 33 = 33 == 0, 2Q1 100Q 2 50Q3 40Ta có 0, 2 0, 2 0, 2 α =  0,1 0, 2 0, 4  0,1 0, 2 0, 2 61b) α 21 = 0,1 : cho biết để ngành thứ 1 sản xuất được 1 đơn vị sản phẩm, thì ngành thứ2 phải cung cấp cho nó 0,1 đơn vị sản phẩm dưới dạng tư liệu sản xuất.c) Véctơ hệ số sử dụng lao động:β01 =q 01 10== 0,1Q1 100β02 =q 02 10== 0, 2Q 2 50β03 =q 034== 0,1Q3 40β = ( 0,1;0, 2;0,1)2.3.3. Xác định giá sản phẩmVới một nền kinh tế có ma trận hệ số kỹ thuật α = ( α ij )n×n , gọi Pj là giá một đơn vịsản phẩm ngành j.nChi phí nguyên vật liệu:∑ P .αi =1iij;∀j = 1, n .Giá trị gia tăng tính trên một đơn vị sản phẩm (Chi phí dùng để chi trả cho việc sửdụng các yếu đầu vào sơ cấp) là: w jnKhi đó ta có phương trình giá của sản phẩm: Pj = ∑ Pi . αij + w ji =1Suy ra hệ phương trình sau P1P 2⋮PnĐặt:= α11P1+α12 P2= α 21P1 + α 22 P2⋮⋮⋮⋮= α n1P1 + α n 2 P2+ ⋯ +α1n Pn+ ⋯ + α 2n p n⋮ ⋮ ⋮⋮+ ⋯ + α nn Pn P1  w1  α11 α12 ⋯ α1n αP w α 22 ⋯ α 2n 2221P=; w=;α= ⋮⋮ ⋮ ⋮⋮⋮    Pn w n  α n1 α n 2 ⋯ α nn Hệ phương trình trên được viết dưới dạng ma trận như sauPT ⋅ ( I − α ) = w T62+w1+ w2⋮⋮+ wnNhư vậy ta có giá sản phẩm của các ngành được xác định là:PT = w T ⋅ ( I − α )−1Giá sẽ được xác định thông qua các yếu tố đầu vào w TNếu ở năm (t + 1) có sự thay đổi của vectơ w, chẳng hạn là sự thay đổi của mức tiềncông tính trên 1 sản phẩm của ngành là:∆w = w t +1 − w tKhi đó mức thay đổi giá sẽ là∆P T = ∆w T ⋅ ( I − α )−1Ví dụ 11. Với các ngành được cho như trong ví dụ 10, choWtT = ( 0,05 0,1 0,15 ) và WtT+1 = ( 0,1 0,05 0,3)a) Hãy tìm ma trận chi phí toàn bộ và giải thích ý nghĩa của phần tử nằm ở dòng 2cột 3.b) Xác định vectơ giá sản phẩm của ngành vào năm t.c) Xác định mức giá thay đổi vào của năm (t + 1) so với năm t?Giảia) Ma trận hệ số chi phí toàn bộ 0,8 −0, 2 −0, 2 −1(I − α) =  −0,1 0,8 −0, 4  −0,1 −0, 2 0,8 −1 1,386 0, 495 0,594 =  0, 297 1,535 0,842  0, 248 0, 446 1,535 θ23 = 0,842 có ý nghĩa: Để tạo ra 1 đơn vị sản phẩm cuối cùng ngành 3 thì ngành 2phải cung cấp θ23 = 0,842 đơn vị sản phẩm.b) Vectơ giá sản phẩm của các ngành vào năm t sẽ là: 1,386 0, 495 0,594 P = w ⋅ ( I − α ) = ( 0, 05 0,1 0,15 ) ⋅  0, 297 1,535 0,842  0, 248 0, 446 1,535 T⇔ P = ( 0,136 0, 245 0,344 )TTt−1c) Mức thay đổi các yếu tố đầu vào sơ cấp:∆w T = w Tt +1 − w Tt = ( 0, 05 −0,05 0,15 )Mức thay đổi giá sản phẩm của các ngành sẽ là:63 1,386 0, 495 0,594 ∆P = ∆w . (I − α) = ( 0,05 −0,05 0,15 ) .  0, 297 1,535 0,842  0, 248 0, 446 1,535 T∆P = ( 0,092 0,015 0, 218 )T−1T2.4. Bảng I/O dạng giá trị2.4.1. Mô hình I/O dạng giá trịNhu cầu cuối cùngCácngànhGiá trị sảnxuấtNhu cầu trung gianTổngTiêudùng12⋮nX1X2⋮Xnx11x 21⋮x n1x12 ⋯ x1nx 22 ⋯ x 2n⋮x n2⋮⋮⋯ x nnTíchlũy tàisảnNhậpkhẩukhẩu−f14−f 24x1x2⋮xnTổngn∑xj =11j⋮n∑xnjj =1TổngXuấtf11f 21f12f 22⋮⋮f13f 23⋮f n1f n2f n3⋮−f n 4f1f2f3−f 4Cácyếu tốđầu vàonTổng∑ x i1 ⋯i =1n∑xi =1inTổngsơ cấpLaođộngKhấuhaoThuếLợinhuậnTổngGTSXnY1Y2Y3Y4Y1 + ... + Y4y11y12 ⋯ y1ny 21y 22 ⋯ y 2n1jj =1n∑y2jj =1y31y32 ⋯ y3nn∑yj =1y 41y 42 ⋯ y 4n4∑ yi1 ⋯∑y4∑yi =13jnj =1i =1X1 + ... + X n∑yinX1 ⋯⋯⋯⋯⋯ X n644jTrong đóXi : Giá trị sản xuất của ngành thứ ix ij : Giá trị sản phẩm mà ngành j mua từ ngành ix i : Giá trị sử dụng cuối cùng của ngành ifik : Giá trị sử dụng cuối cùng của ngành i dùng cho mục đích tiêu dùng thứ kYh : Giá trị yếu tố đầu vào sơ cấp thứ hy hj : Giá trị yếu tố đầu vào sơ cấp thứ h được sử dụng trong ngành jPhương trình phân phối giá trị sản phẩm:nnj =1j=1Xi = ∑ x ij + f i1 + f i2 + f i3 − f i4 = ∑ x ij + x iGiá trị sản xuất = Chi phí trung gian + Tiêu dùng cuối cùng ++ Đầu tư +Xuất khẩu - Nhập khẩu.Phương trình hình thành cơ cấu giá trị sản phẩm:n4i =1h =1X j = ∑ x ij + ∑ y hjBảng I/O cho ta biết quá trình hình thành giá trị sản phẩm:nn4∑ x = ∑∑ yi =1ij = 1 h =1hjnGDP = ∑ x ii =1Tổng giá trị nhu cầu cuối cùng bằng GDP tính theo phương pháp sử dụng sản phẩmCó những bảng vào ra dạng giá trị tách riêng sản phẩm nhập khẩu: Với bảng vào ranày ta giả sử nền kinh tế nhập khẩu không cạnh tranh, tức là các sản phẩm trong nước đãsản xuất thì không nhập khẩu nữa.65Nhu cầu cuối cùngngànhGiá trị sảnxuấtNhu cầu trung gianTổngTiêudùngTíchlũyTSXuấtTổngkhẩun12⋮nX1X2x11x 21⋮Xn⋮x n1Các yếu tốđầu vào scx12 ⋯ x1nx 22 ⋯ x 2n⋮x n2nTổng∑ x i1 ⋯i =1⋮⋮⋯ x nn∑xj =11j⋮n∑xnjj =1f11f 21f12f 22⋮⋮f13f 23⋮f n1f n2f n3⋮xnf1f2f3TổngZ1Z2Z3V1V2V3n∑xi =1inTổngnNhập khẩuY1y11y12 ⋯ y1n∑y1jj =1nLao độngY2y 21y 22 ⋯ y 2n∑y2jj =1n∑yKhấu haoY3y31y32 ⋯ y3nThuếY4y 41y 42 ⋯ y 4n∑yLợi nhuậnY5y51y52 ⋯ y5n∑yj =13jnj =14jn5j =15j5TổngY1 + ... + Y5∑yGiá trị SXX1 + ... + X nX1 ⋯⋯⋯⋯⋯ X ni =1i1⋯x1x2∑yi =166in