Nghiệm của phương trình 4 x

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Số nghiệm thực của phương trình ${4^{x - 1}} + {2^{x + 3}} - 4 = 0$ là

Phương pháp giải:

- Đặt ${2^x} = t > 0$, đưa phương trình đã cho ${4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)$về dạng phương trình bậc hai ẩn $t$ (2).

- Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ $ \Leftrightarrow $ Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt ${t_1},\,\,{t_2}$, tìm điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt: $\Delta > 0,\,\,S > 0,\,\,P > 0$.

- Áp dụng định lí Vi-ét tìm ${t_1} + {t_2}$, ${t_1}{t_2}$.

- Dựa vào giả thiết $\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4$ tìm tổng $S' = {x_1} + {x_2},\,\,P' = {x_1}{x_2}$.

- Tìm ${x_1},\,\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${S^2} - S'X + P' = 0$ (Định lí Vi-ét đảo).

- Thay vào tổng hai nghiệm $t$ tìm $m$, đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết:

Ta có: ${4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0$ (1)

Đặt ${2^x} = t > 0$, phương trình (1) trở thành : ${t^2} - \left( {m + 4} \right)t + 2 = 0$ (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ $ \Leftrightarrow $ Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt ${t_1},\,\,{t_2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8 > 0\\m + 4 > 0\\2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 - 4\\m < - 2\sqrt 2 - 4\end{array} \right.\\m > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\sqrt 2 - 4.$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = m + 4\\{t_1}{t_2} = 2\end{array} \right.$.

Ta có: ${x_1} = {\log _2}{t_1},\,\,{x_2} = {\log _2}{t_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left( {{t_1}.{t_2}} \right) = {\log _2}2 = 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = - 2\end{array}$

$ \Rightarrow $${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - X - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = - 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = - 1\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right.$.

Khi đó: ${t_1} + {t_2} = {2^2} + {2^{ - 1}} = \dfrac{9}{2}$$ \Leftrightarrow m + 4 = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy $m = \dfrac{1}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right).$

Chọn D.

Phương trình ${4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}$ có nghiệm là:

Tổng các nghiệm của phương trình ${3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81$

Tìm nghiệm của phương trình ${9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}$

Giải phương trình ${4^x} = {8^{x - 1}}$

Tìm tập nghiệm S của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272$

Giải phương trình $\sqrt {{3^x} + 6} = {3^x}$ có tập nghiệm bằng:

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?

Phương trình $\dfrac{b}{{x + 1}} = a$ có nghiệm duy nhất khi:

Phương trình $\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Giải phương trình: $\left| {5x - 1} \right| = 2$.