Chuyên đề Toán học lớp 10: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
- I. Lý thuyết & Phương pháp giải
- II. Ví dụ minh họa
I. Lý thuyết & Phương pháp giải
Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)
- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0 (**)
- Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:
+ Để (*) vô nghiệm ⇔
+ Để (*) có 1 nghiệm
⇔
+ Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔
+ Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.
+ Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0
Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b
Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d
Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e
⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)x
Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d
Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình
⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)
Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = c
Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2
Loại 5. x4 = ax2 + bx + c (1)
Phương pháp giải: Tạo ra dạng A2 = B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x2 + k2, tức phương trình (1) tương đương:
(x2)2 + 2kx2 + k2 = (2k+a)x2 + bx + c + k2 ⇔ (x2 + k)2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2
Cần vế phải có dạng bình phương
⇒
Loại 6. x4 + ax3 = bx2 + cx + d (2)
Phương pháp giải: Tạo A2 = B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x2 + (a/2)x + k)2 = x4 + ax3 + (2k + a2/4)x2 + kax + k2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a2/4)x2 + kax + k2, thì phương trình
(2)⇔ (x2 + (a/2)x + k)2 = (2k + (a2/4) + b)x2 + (ka + c)x + k2 + d
Lúc này cần số k thỏa:
Lưu ý: Với sự hỗ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.
Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
+ Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1
+ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai
Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo
II. Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2(x2 + 1/x2) - 5(x + 1/x) + 6 = 0
Đặt t = x + 1/x, ⇒ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2 = t2 - 2
Ta có phương trình: 2(t2 - 2) - 5t + 6 = 0 ⇔ 2t2 - 5t + 2 = 0 ⇔
+ t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x2 - x + 2 = 0 (vô nghiệm)
+ t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24
Hướng dẫn:
Phương trình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24
Đặt t = x2 + 3x, phương trình trở thành
t(t+2) = 24 ⇔ t2 + 2t - 24 = 0 ⇔
+ t = -6 ⇒ x2 + 3x = -6 ⇔ x2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)
+ t = 4 ⇒ x2 + 3x = 4 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 và x = 1
Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2
Hướng dẫn:
Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 (*)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x2 ta có
(*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3
Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành
4(y+1)y = 3 ⇔ 4y2 + 4y - 3 = 0 ⇔
Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 = 0
⇔
Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x2 + 35x + 120 = 0
⇔
Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và
Bài 4: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 2
Hướng dẫn:
Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)4 + (t+1)4 = 2 ⇔ t4 + 6t2 = 0 ⇔ t2(t2 + 6) = 0 ⇔ t = 0
Suy ra x = -2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2
Bài 5: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3
Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u2 + uv = 12v2
⇔(u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v
+) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = 3x2 - 12x + 12
⇔2x2 - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2
+) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = -4x2 + 16x - 16
⇔ 5x2 - 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2
Với nội dung bài Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trên đây chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững khái niệm, phương pháp giải các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai...
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 10: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 10, Giải bài tập Toán lớp 10, Giải VBT Toán lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc
Học tốt toán 9
Phương trình quy về phương trình bậc hai là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi học kì 2 và thi vào 10 tham khảo. Tài liệu tóm tắt toàn bộ kiến thức lý thuyết, các dạng bài tập kèm theo đáp án về phương trình bậc 2.
Tài liệu Phương trình quy về phương trình bậc hai được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm tài liệu: Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9.
1. Phương trình trùng phương
- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4+ bx2 + c - 0 (a ≠ 0).
- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠0).
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.
Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
3. Phương trình đưa về dạng tích
Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp
- Phương trình bậc bốn dạng
- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng:
- Phương trình hồi quy có dạng
- Phương trình bậc bốn dạng
- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:
II. Bài tập và các dạng toán
Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương:
ax4+ bx2 + c = 0 (a ≠ 0).
Bước 1. Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã cho.
1.1. Giải các phương trình sau:
a) x4 + 5x2 - 6 = 0;
b) ( x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0.
1.2. Giải các phương trình sau:
a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0;
b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0;
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.
Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
2.1. Giải các phương trình sau:
2.2. Giải các phương trình sau:
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng tích
Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Chuyên vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
3.1. Giải các phương trình sau:
a) x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0;
b) (x - 1)3 + 3 + x3 + (x + 1)3- (x + 2)3= 0;
3.2. Giải các phương trình sau:
a) 2x3 -7x2 + 4x + 1 = 0;
b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
Dạng 4. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải:
Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);
Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giả phương trình theo ẩn mới;
Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác địnl và kết luận.
4.1. Giải các phương trình sau:
a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;
b) (x2 + 16x + 60)(x2 +17x + 60) = 6x2
4.2. Giải các phương trình sau:
Dạng 5. Phương trình chứa biếu thức trong dấu căn
Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế
5.1. Giải các phương trình sau:
5.12. Giải các phương trình sau:
Dạng 6. Một số dạng khác
Phương pháp giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình.
6. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức:
7. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá:
8. Giải các phương trình sau:
III. Bài tập về nhà
10. Giải các phương trình sau:
11. Giải các phương trình sau:
12. Giải các phương trình sau:
13. Giải các phương trình sau:
IV. Hướng dẫn đáp án
1.1.
a) Đặt
Giải ra ta được
Từ đó tìm được
b) Đặt
...............
Nội dung vẫn còn tải file tài liệu để xem chi tiết