Phương trình tích luyện tập

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Bài 4: Phương trình tích - SGK Toán lớp 8 tập 2 – Giải bài tập Bài 4: Phương trình tích - SGK Toán lớp 8 tập 2. Nhằm cung cấp một nguồn tài liệu giúp học sinh tham khảo, ôn luyện và nắm vững hơn kiến thức trên lớp, chúng tôi mang đến cho các bạn lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 8 tập 2. Chúc các bạn học tập tốt, nếu cần hỗ trợ, vui lòng gửi email về địa chỉ: [email protected]

Phương trình tích luyện tập

Giải bài tập SGK Toán 8. Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học

ADSENSE

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Kiến thức cơ bản

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 4 Chương 3 Đại số 8

3.1 Trắc nghiệm về Phương trình tích

3.2. Bài tập SGK về Phương trình tích

4. Hỏi đáp Bài 4 Chương 3 Đại số 8

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Kiến thức cơ bản

Ta sử dụng, kết quả:

\(A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.\)

Với phương trình

\(A(x).B(x)....M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\......\\M(x) = 0\end{array} \right.\)

Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. (x – 1) (3 – 2x) = 0

b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0

Giải

a. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(x = 1,x = \frac{3}{2}\)

b. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}5x - 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x - 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x =  - \frac{1}{4}\\x = 8\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x = \frac{3}{5},x =  - \frac{1}{4}\,,x = 8,x =  - 3\)


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:  

a. \(2x(x + 1) = {x^2} - 1\)

b. \(3{x^3} = {x^2} + 3x - 1\)

Giải

a.  Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2x(x+1) =(x-1) (x+1)

\( \Leftrightarrow \) 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(2x – x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(x+1) = 0

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{x^2} + 2x - {x^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

b.  Biến đổi phương trình về dạng:

\(3{x^3} - {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}(3x - 1) - (3x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (3x - 1)({x^2} - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là \(x =  - 1,x = 1,x = \frac{1}{3}\)


Ví dụ 3: Cho phương trình \((x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) = 0\)

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Giải

a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

\( \Leftrightarrow (2 - 3m)( - 2 + 2m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3m = 0\\ - 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta lần lượt thực hiện:

* Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 - 3.\frac{2}{3})(3x - 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(3x - \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x - \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\)

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

\( \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho phương trình \(2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0\)

a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a.

b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Giải

a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

\(2{( - 1)^3} + a( - 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - 2 - a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1.

b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: \(2{x^3} + x + 3 = 0\)    (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức \(2{x^3} + x + 3\) thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép phân tích:

\(2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1\)

\( = 2({x^3} + 1) + (x + 1)\)

\( = 2(x + 1)({x^2} - x + 1) + (x + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 2 + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Cách 2: Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức \(2{x^3} + x + 3\) sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + x + 3\) ra nháp), từ đó ta được: \(2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x + 1)(2{x^2} - 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được x = -1

Giải (2), ta có nhận xét: \(2{x^3} - 2x + 3\, = 2({x^2} - x + 1) > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1


Bài 2: Giải phương trình \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = 0.\) Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1.

Giải

Thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\) cho x – 1, ta được:

\(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = (x - 1)(2{x^2} + 3x - 2) = (x - 1)(2{x^2} + 4x - x - 2)\)

\( = (x - 1){\rm{[}}2x(x + 2) - (x + 2){\rm{]}} = (x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

Khi đó, phương trình có dạng: \((x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1,x = \frac{1}{2},x =  - 2\)


Bài 3: Giải các phương trình

a. \({x^2} - 9x + 20 = 0\)

b. \({x^3} - 4{x^2} + 5x = 0\)

Giải

a.  Biến đổi: \({x^2} - 9x + 20 = {x^2} - 4x - 5x + 20 = x(x - 4) - 5(x - 4) = (x - 4)(x - 5)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x - 4)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b. Biến đổi: \({x^3} - 4{x^2} + 5x = x({x^2} - 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1]\)

Khi đó phương trình có dạng: \(x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .

3. Luyện tập Bài 4 Chương 3 Đại số 8

Qua bài giảng Phương trình tích này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Biết cách giải dạng phương trình tích
  • Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

3.1 Trắc nghiệm về Phương trình tích

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

  • Câu 1: Phương trình (4 + 2x)(x - 1) = 0 có nghiệm là

    • A. x = 1; x = 2
    • B. x = =2; x = 1
    • C. x = -1; x = 2
    • D. x = 1; x = 3
  • Câu 2: Các nghiệm của phương trình (2 + 6x) (-x2 - 4) = 0 là:

    • A. x =2
    • B. x = -2
    • C. \(x =  - \frac{1}{2};x = 2\)
    • D. \(x =  - \frac{1}{3}\)
  • Câu 3: Phương trình (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 có số nghiệm là:

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 3
    • D. 4

Câu 4-9: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 

3.2. Bài tập SGK về Phương trình tích

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Chương 3 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.