Sách bài tập đại số tuyến tính pdf năm 2024

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập Đại số tuyến tính: Phần 1

1. NGUYỄN DUY THUẬN
2. TS. NGUYỄN DUY THUẬN B À I T Ậ P ĐẠI SÔ TUYẾN TÍNH (Sách dùng cho các trường Cao đẳng và Đại học) DẠI HỌC THAI NGUYÊN TRUNG TÂMHỌC LIÊU NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
3. Mục lục Trang Lòi nói đầu 5 Kí hiệu 7 Chương I. ĐỊNH THỨC 11 §1. Phép thế li §2. Định nghĩa và tính chất của định thức 15 §3. Khai triển định thức 22 §4. Phương pháp tính định thức 28 §5. Hệ phương trình Cramer 37 Chương li. KHÔNG GIAN VECTƠ 42 §1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản 42 §2. Không gian con - Không gian thương 46 §3. Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính 52 §4. Cơ sở của không gian vectơ 58 §5. Số chiều của không gian vectơ 62 §6. Toa độ của một vectơ 67 §7. Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận 73 Chướng IM. ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 83 §1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Sự xác định một ánh xạ tuyến tính 83 §2. Ảnh, hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính 88 §3. Các phép toán trẽn các ánh xạ tuyến tính 91. §4. Không gian đối ngẫu 99 Chương IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH 101 §1. Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp Gauss 101 §2. Điều kiện để hệ phương-trình tuyến tinh có nghiệm 108 §3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 118 3
4. Chương V. MA TRẬN 125 §1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính 125 §2. Các phép toán trên các ma trận 130 §3. Đại số cấc ma trận vuông cấp n Mat„(K) 140 §4. Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở - Ma trận đồng dạng 148 §5. Vectơ riêng - Giá trị riêng 151 §6. Chéo hoa ma trận 158 Chương VI. DẠNG SONG TUYÊN TÍNH - DẠNG TOÀN PHƯƠNG 165 §1. Dạng tuyến tinh và dạng song tuyến tính 165 §2. Dạng toàn phương 172 §3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 176 §4. Không gian vectơ ơclit 178 §5. Sơ lược về không gian unita 192 Lài giải - hướng dẫn - trả lời 195 4
5. Lòi nói đ ầ u Trong các môn toán ở truồng đại học thì Đại số tuyến tính không phải là môn học khó nhất. Tuy vậy, đối vói sinh viên thì nó cũng là một môn khó vì thường sinh viên được học môn này ở năm thứ nhất, khi mà họ vừa mới bưóc chân từ truồng trung học vào trường đại học, phải bắt đầu làm quen vói những môn học mới lạ với khối lượng kiến thức đồ sộ và vói những phương pháp tính toán và tư duy hoàn toàn mới mẻ. Họ không những phải làm những phép tính cồng kềnh, với những phường pháp tính toán đòi hỏi nhiều kĩ thuật mà còn phải tập luyện một phương pháp tư duy chặt chẽ và tinh tế, một phương pháp học tập, nghiên cứu một cách khoa học và sáng tạo. Những cuốn sách bài tập tốt sẽ giúp đỡ họ rất nhiều để vượt qua những khó khăn trong học tập, trong việc tiếp nhận, đào sâu, củng cố kiến thức và trong việc rèn luyện óc tư duy sáng tạo của họ. Mục tiêu biên soạn cuốn sách này là như thê. Nội dung cuốn sách này được biên soạn sát vối nội dung kiến thức về Đại số tuyên tính mà sinh viên được học ở các trường đại học và cao đẳng hiện nay, đặc biệt là các trưòng đại học và cao đẳng sư phạm. Trong cuốn sách có 520 bài tập đáp ứng tất cả các nội dung về Đại số tuyến tính. Các bài tập rất đa dạng, bao gồm đủ các thế loại: có những bài tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và cũng có nhiều bài có tính lí thuyết giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện tư duy sáng tạo. Việc sắp xếp thứ tự các bài tập cũng được cân nhắc một cách kĩ lưỡng: từ dễ đến khó, từ những bài tập củng cố đến những bài tập đào sâu kiến thức rồi đến những bài tập rèn luyện tư duy sáng tạo, rất thuận tiện cho việc sử dụng của nhiều đối tượng sinh viên. Trong sô các bài tập có nhiêu bài tập nâng cao nhằm giúp các sinh viên có khả năng có thể có một tư liệu học tập tốt. Đối với sinh viên, cuốn sách này có thể giúp các bạn từng bưốc nâng cao trình độ của mình. 5
6. Đối với các thầy cô giáo, cuốn sách này có thể là một tư liệu tốt giúp các bạn chuẩn bị bài giảng. Các bạn có thể dùng nó để thiết kế những bài tập lổn và cũng có thể khai thácỏ đây những đề tài luận văn tốt nghiệp. Phần "Lời giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa ra những huống dẫn bổ ích giúp bạn đọc tìm ra phương hướng giải quyết bài toán, đồng thòi có nhiều phân tích giúp bạn đọc trau dồi được kinh nghiệm, biết cách suy nghĩ để vận dụng kiến thức và phát triển khả năng tư duy. Đối vối những bài tập khó tác giả có đưa ra những phương pháp giải cùng với những lí giải giúp bạn đọc hiểu rằng cần suy nghĩ như thế nào để đưa ra cách giải ấy. Cuối cùng xin lưu ý rằng trong cuốn sách này chỉ xét không gian vectơ trên các trường số. Chữ K dùng để kí hiệu chung cho trường số hữu tỉ Q, truồng số thực R và truồng số phức c. Tác giả hi vọng rằng cuốn sách thực sự hữu ích đối vối một đối tượng rộng lớn các bạn đọc. Tuy đã có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, song không sao tránh được mọi sai sót. Rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn. TÁC GIẢ 6
7. C á c kí hiệu x„ Tập hợp {Ì, 2,..., n} gồm n số tự nhiên từ Ì đến n ' Ì 2 ... n Phép thế ơ biến phần tử i thành ơ(i) ơ= ,0*1) ơ(2)... ơ(n) s„ Tập hợp các phép thế trên tập x„ sgn(ơ) Dấu của phép thế ơ n Tổng a, + a +... + a 2 n Tổng các số a,, vối j thuộc tập chỉ số J n Tích a,a ...a 2 n 1=1 Tích các thừa soa,, vối j thuộc tập chỉ số J A = nì Ma trận A có m dòng, n cột, với các thành phần ở dòng thứ i, cột thứ j . A = (a )„ s Ma trận vuông cấp n Mat„(K) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các thành phần thuộc trường K •A Ma trận chuyển vị của ma trận A À-' Ma trận nghịch đảo của ma trận A Định thức của ma trận A |A| ì Ma trận đơn vị Mij Định thức con bù của thành phần a,j trong ma trận vuông (a,j) Au Phần bù đại số của thành phần a„
8. Mi' ị' Định thức con xác định bồi các dòng i,,..., i, và các cột j r - í -ì, Mi,..,, Đinh thức con bù của đinh thức con Mí ~ị 1,-1, Ki Phần bù đại số của định thức con M* f hạng(A) Hạng của ma trận A A+B Tổng của hai ma trận A và B AB Tích của hai ma trận A và B ã Vectó, là một phần tử của không gian vectđ -ã Vectơ đối của ã õ Vectơ không A= {ã,, ă ,..., ã J 2 Hệ vectơ gồm các vectơ ã,, ă 2 ã hạng(A) Hạng của hệ vectơ A (E) = {ẽ „ Ẽ ,..., s j 2 Cơ sỏ (é) của không gian vectd dim V K Số chiều của K - không gian vectơ V f: V-> w Anh xạ tuyên tính từ không gian V đến không gian w f(X) Anh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f Imf Ánh của không gian V hay ảnh của ánh xạ tuyên tính f f-'00 Anh ngược của tập Y " Kerfhay f-'(0) Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f Hom (V, W)K Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến w f+g Tông của hai ánh xạ tuyến tính f và g g.f Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g ă| Tích vô hướng của hai vectơ Síp ã trực giao vói p H1G Không gian H trực giao vài không gian G
9. Chuẩn của ã Hình chiếu của ã lên không gian w. Môđun của số phức z Số phức liên hợp của số phức z Chứng minh điều kiện cần Chứng minh điều kiện đủ
10. Chương Ì ĐỊNH THỨC §1. PHÉP THÊ 1.1. Định nghĩa phép thế • Cho tập X = li, 2, n ni. Một song ánh or x„ ->X được gọi là một n phép thế. Nó được biểu diễn như sau: Ì 2 3 n (1). {cs(l) ơ(2) ơ(3) ơ(n)J Tập hợp các phép thê trên tập X được kí hiệu bởi s„ và gồm nỉ n phần tử. • Một phép thế T trên tập X (n > 1), được gọi là một chuyển trí hai m phần tử i, j thuộc X nếu ĩ(i) = j, ĩ(j) = ivà ĩ(k) = k, với mọi k e x„ k * ì, k *ị. n Nó còn được kí hiệu bởi (í, j). • Phép thể p trẽn tập x„ (n > 1), được gọi là một chu trình (hay một vòng xích) r phần tử, nếu nó có dạng: p= nói cách khác: pd,) = i , pti-ỷ = í* 2 pdr-n = i„ (XỤ = i„ p(ij) = ij với mọi j e li, 2, ri. Khi đó phép thế này còn được kí hiệu bởi (i,, i , i _ , , i ). 2 r r Mỗi sối,, i , . . . , i,-1, i được gọi là một phần tử của vòng xích. 2 r Hai vòng xích được gọi là độc lập nếu chúng không có phần tử chung. Ta quy ước gọi phép thế đồng nhất là vòng xích Ì phần tử. Một chuyển trí là một vòng xích 2 phần tử. li
11. '1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ví dụ: 1) p là vòng xích 5 ,1 2 7 5 3 4 6 8 9 phần tử, p = (3, 7, 6, 4, 5). 2) p = (3, Ì, 8, 5) là một vòng xích 4 phần tử và p(3) = Ì, p(l) = 8, p(8) = 5, p(5) = 3. 1.2. Nghịch thế - Phép thế chẵn, phép thế lẻ • Giả sử a là một phép thế trên tập X . Với í, j e x„ i *j, ta nói cặp n (a(i),a(j)) là một nghịch thế của ơnếu í aỢ). • Ta gọi phép thế ơ là một phép thế chẵn nếu nó có một số chẵn nghịch thế. ơđược gọi là phép thếlẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế. Ta gán cho mỗi phép thế chẩn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lè một giá trị bằng -1. Giá trị này của phép thế ơ được gọi là dấu của G và được kí hiệu bởi sgn(ơ). Ì nếu a chẵn, Như vậy, theo định nghĩa, sgn(à) • -Ì nêu ơ lẻ > Mọi phép chuyển trí đều là phép thểu. > sgn(ơụ) = sgn(ơ)sgn(ụ). BÀI TẬP Trong các bài tập dưới đây ta viết gọn ơ(X„) = ; 1 2 3 4' chẳng hạn ơ : được viết gọn là ơ(X ) = < Ì, 4, 2 3 > 4 1 4 2 3 , 12
12. 1. Hãy biểu diễn các phép thế X, n, ơ sau đây đuôi dạng (1), biết rằng: a) \(X ) = < Ì, 3, 5, 6, 4, 7, 2 >; 7 b) n(X ) = < 4, 7, 2, 6, 5, Ì, 3 >; 7 c) ơ(X ) = < 2, 5, Ì, 3, 7, 6, 4 >. 7 2. Với các phép thế X, ịi, ơ đã cho trong bài tập Ì, hãy biểu diễn các phép thế Xu, Xa, a\, ơn, ịiX, \ụa đuối dạng (1). 3. Hâỵ biểu diễn mỗi tích những vòng xích sau đây dưới dạng (1): a) (Ì, 4, 5)(2, 6, 8)(3, 7); b) (2, 4, 6)(5, 3, 8, 1)(7)(9); c) (3, 2, 1)(6, 5, 4) ... (3k, 3k - Ì, 3k - 2). 4. Ánh xạ ngược của phép thế ơ được kí hiệu bởi ơ" . Cho hai vòng xích 1 ơ = (b, a, d), ịi = (c, a, e). Chứng tỏ rằng ữ~ ịi~ G\x = (a, b, c). l l 5. Cho các phép thế 1 2 3 4 5 6^1 (1 2 3 4 5 >n = 4 2 6 5 Ì 3j ụ 2 6 3 5 ' (Ì 2 3 4 5 6 N p = 14 2 5 Ì 3 6j ^ hãy tìm phép thế ơ trong mỗi trương hợp sau: a) Xaịi - p; b) ịíX = ơp; c) pịxa = Ằ; ả) aX = vĩ. 6 Mót phép thế có thể phân tích thành tích của những vòng xích độc lập. Chảng hạn, phép thế 'Ì 2 3 4 5Ì (3, 5)(1, 4, 2). 4 1 5 2 3; 13
13. Hãy chứng minh rằng mỗi phép thế trên tập x„ đều là tích của nhũng vòng xích độc lập. 7. Hãy phân tích các phép thế trong bài tập Ì thành tích của những vòng xích độc lập. 8. Chứng minh rằng mọi phép thế đều phân tích được thành tích của những chuyển trí. 9. Tính số nghịch thế của các phép thế X, m ơ trong bài tập 1. Phân tích mỗi phép thế thành tích của những chuyển trí. 10. Tính số nghịch thế của các phép thế trong bài tập 2. Kiểm tra các đẳng thức: sgn(X(i) = sgn(X)sgn(n), sgn(A-ơ) = sgn(A.)sgn(ơ) sgn(^ơ) = sgn(X)sgn(n)sgn(ơ). li. Tính số nghịch thế của phép thế ơ biết rằng ơ(X„) = (n, n - Ì, n - 2, .... 2, 1). 12. Xác định dấu của các phép thế X, ịi, p, ơ, biết rằng chúng được biểu diễn bởi những vòng xích như sau: a)MX ) = (l,3, 2, 6, 4, 5); 6 b) (1(X,) = (4, 7, 2, 1)(6, 5, 7, 3); c) p(X ) = (5, 4, 3X2, 1); 5 d) ơ(X ) = (l,3, 5)(8, 6, 4, 2); 8 13. B iết rằng ơ(X„) = (i„i , 2 i„_„ i„), |i(X ) = (i„, i„_„ n i , i,). Hãy tính 2 sgn(n) theo sgn(ơ). 14. Chứng minh rằng một phép thế là chẵn (lẻ) khi và chỉ khi nó là tích của một số chẵn (lẻ) chuyển trí. 14
14. §2. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 2.1. Ma trận • Một bảng gồm mn số được viết thành m dòng, n cột như sau (1) a ;i a„... a K được gọi là một ma trận kiểu (m, ri). Mỗi số (ly được gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j. Ta thuồng kí hiệu ma trận bôi các chữ in hoa A, B,.... Có thê viết ma trận (1) một cách đơn giản bởi A = (aij)( . , hoặc A = (a;j) m n Nếu m = n thì ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n và viết là A = (a^„. • Ta gọi ma trận 1 U Q ... c . 21 u Vin 2n in inn ) a a a là ma trận chuyển vị của ma trận (1) và kí hiệu là 'A. 15
15. 2.2. Định thức • Với ma trận vuông a n i2 ij in a a a A= (2) a., a„ a : a ; li i2 ij " ta gọi tống D = X sgn(a)a a , ...a , ...a „ „lơ(1) 2( (2) ic (i) n ( ) là định thức của ma trận A và kí hiệu bởi (3) a i i i2 a a u a „ a„, a_, a_, a. hay |A|, /lay det(A). Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi ày là một thành phần, các thành phần au, ai2,..., a tạo thành dòng thứ i, các thành phần a,j, a j , a „ j in 2 tạo thành cột thứ j của định thức. Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A| là một định thức cấp n. Tính chất 1. Nếu định thức 16
16. mà mọi thành phần ở dòng thứ ì đều có dạng a = ajj + a-j thì s an • V a,„ an a . . •• U" •• am 12 a D = ai, a - ...a .. •a' a r m + a» a*2- • i ••• aL a a • n2 • a„n a n. a„2" • Ky TínA c/ỉấí 2. ATếu mọi thành phần ở dòng thứ í của định thức có thừa số chung c thì có thể đặt c ra ngoài dấu định thức. Tính chất 3. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu. Tính chất 4. Nếu định thức có hai dòng giống nhau thì định thứcấy bằng 0. Tính chất 5. Nếu định thức có hai dòng mà các thành phần (cùng cột), tương ứng tỉ lệ thì định thứcấy bằng 0. Tính chất 6. Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một sốc rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới. bằng định thức đã cho. Tính chất 7. Với 'A là ma trận chuyển vị của ma trận A ta có: 'A =|A| BÃI TẬP 15. Xét xem mỗi tích sau có phải là một hạng tử của một định thức cấp 5 hay không, nếu phải hãy xác định dấu của nó: a) aníÌ24 35 -li 52! a a a b) ai5 24 3i 42 53ỉ a a a a c) aa24a35a44a2; 1 3 5 d) a a a 3a a 14 22 3 25 51 e) a a23344553- 1 2 1 a a ĐẠIHỌCTHÁỈ NGUYÊN 17 TRUNG TẤM HÓC mu
17. 16. Xác định ị, k để mỗi tích sau là một hạng tử của một định thức cấp 5: a) Ễll2 2j 35 4k 5lỉ a a a a b) an 22 3j 44 5kí a a a a c) a,5a a a a ; 2j 3k 41 52 d) aijâ24a3 a a i . 5 4Ị 5 t 17. Xác định í, k để mỗi tích trong bài tập 16 là một hạng tử của một định thức cấp 5 và: a) ai a a3 a a với dấu +; 2 2j 5 4t 51 b) a a a a a với dấu - ; 11 22 3j 44 5t c) ai a a3 a a vối dấu - ; 5 2j k 41 52 d) a a 4a a a với dấu +, lj 2 35 41 5k 18. Trong mỗi trường hợp sau hãy điền vào chỗ trống những phần tử a,, thích hợp để được những hạng tử của một định thức cấp 5: a)... a3ỄỈ3iâ42"- ĩ 2 b) a ...a ... a ; 13 32 51 c a a a * ) i5 22 -" 44 •••> a d) a ì I&2335 19. Xác định dấu của hai hạng tử a a 2 ... a„„ và a a„. 12 ••• 2, n - l^ln . n 2 nl a trong định thức cấp n. 20. Dùng định nghĩa của định thức để chứng minh: 0 a, ^2, n-1 "2, n a) a a 2 ••• a -1.n-1 u 2 0 0 0 00 18