Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:

  • Nếu $\Delta’ \leq 0$ thì hàm số không có cực trị.
  • Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).

Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).

Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]

Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.

Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\)  đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.

2. Ví dụ minh hoạ

Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).

Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.

Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

Cách 1:

+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc 1 :

Quy tắc 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}}\right)$ (với ${x_1} \ne {x_2};{y_1} \ne {y_2}$) là :$\dfrac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$

Cách 2:

Muốn tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ta lấy \(y\) chia cho \(y’\) và lấy phần dư.

Cách 3: Sử dụng MTCT cho hàm bậc 3 (Chỉ sử dụng khi đã được học chương số phức)

Bước 1: Tính y' và y''

Bước 2: Bấm máy và sử dụng chức năng CALC

Mode 2 và nhập: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$

Trong đó a là hệ số của $x^3$

Bấm tiếp: CALC + SHIFT+ "$i$"  "="

Với $i$ là đơn vị ảo (số phức) trên máy tính.

Bước 3: Kết luận

Kết quả nhận được có dạng $ a+bi $ thì phương trình đường thẳng cần tìm là $y=bx+a$

Hay nhất

Dùng casio, tìm được phương trình nối hai điểm cực trị của hàm số là

Vậy với m = 1 thì đường thẳng đã cho thỏa đề

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là gì? Lý thuyết và bài tập về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3 ra sao? Trong phạm vi bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giới thiệu đến quý vị và các bạn nội dung về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3.

Điều kiện cần và đủ để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Xét hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a\neq 0)\) có \(y’ = 3ax^{2} + 2bx + c\)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc 3

Hàm số bậc ba \(y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a\neq 0)\) có hai điểm cực trị là \(x_{1}, x_{2}\).

Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:

f(x) = Q(x).f’(x) + Ax + B

Suy ra, ta có: \(f(x)\left\{\begin{matrix} y_{1} = f(x_{1} = Ax_{1} + B)& \\ y_{2} = f(x_{2} = Ax_{2} + B) & \end{matrix}\right.\)

Suy ra, các điểm \((x_{1};y_{1}), (x_{2};y_{2})\) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

Ví dụ

Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=x^{3}-3x+2\)

Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

Giải:

Ta có: \(y^{‘}=3x^{2}-3\)

Hoành độ 2 điểm cực trị là nghiệm của phương trình:\(y^{‘}=0\)

\(y^{‘}=0\Leftrightarrow 3x^{2}-3=0\)

Vậy \(x_{1}=1, y_{1}=0\)

hoặc \(x_{2}=-1 , y_{2}=4\)

Vậy hai điểm cực trị là \(M_{1}=(1;0)\), \(M_{2}=(-1;4)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm cực trị là:

\(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)=\(\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-0}{4-0}\)

<=>\(\Leftrightarrow 2x+y-2=0\)

Như vậy, qua nội dung bài viết trên đây, DINHNGHIA.VN đã giới thiệu đến các bạn chủ đề phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3. Hy vọng kiến thức trong bài viết đã cung cấp cho bạn những lý thuyết và bài tập hữu ích về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

Please follow and like us:

Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số