Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng  Giải: Ví dụ 4: Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: (vì Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 File PDF Xem thêm Dùng bất đẳng thức quen thuộc chứng minh bất đẳng thức Related1. Phương pháp biến đổi tương đương Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ b) $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$ Giải
a) Ta có: $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca $ $\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$ . Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng với mọi $a,b,c$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$ b) Áp dụng câu (a) liên tiếp ta có: $a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$ $\hspace{2,6cm} \ge ab\cdot bc+bc\cdot ca+ca\cdot ab=abc(a+b+c)$. Dấu ‘=’ xảy ra khi $a=b=c.$ Ví dụ 2: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2.$ Giải
Ta có $2x^4+1-2x^3-x^2=1-x^2-2x^3(1-x)$ $\hspace{5,4cm} =(1-x)(1+x)-2x^3(1-x)$ $\hspace{5,4cm} = (1-x)(x+1-2x^3)$ $\hspace{5,4cm} =(1-x)[x(1-x^2)+1-x^3]$ $\hspace{5,4cm} =(1-x)^2[(1+x)^2+x^2] \ge 0. \forall x \in \mathbb{R}.$ Từ đó suy ra $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Dấu “=” xảy ra khi $x=1.$ Ví dụ 3: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$ Giải
Ta xét hai trường hợp $x<1$ và $x \ge 1.$
Vì $x<1$ nên $1-x>0, x^4-x^9>0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$
Vì $x \ge 1$ nên $x^4-x \ge 0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$ Ví dụ 4: (PTNK chuyên toán 1998) Cho $x, y, z, p, q, r$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = p + q + r=1$ và $p,q,r \leq \dfrac{1}{2}$. a) Chứng minh rằng nếu $x \leq y \leq z$ thì $px + qy + rz \geq \dfrac{x+y}{2}$ b) Chứng minh rằng $px + qy + rz \geq 8xyz$ Giải
a) Ta có $px+ qy + rz \geq \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \dfrac{1}{2}x + (q+r)y \\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \left( q+r-\dfrac{1}{2}\right) y + \dfrac{1}{2}(x+y)\\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) (x-y) + \dfrac{1}{2}(x+y) \\ \geq \dfrac{1}{2}(x+y)$ Vì $p – \dfrac{1}{2}\leq 0, x – y \leq 0$ nên $(p-\dfrac{1}{2})(x-y) \geq 0$. b) Vai trò của $x, y, z$ như nhau, ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$. Áp dụng câu a, ta cần chứng minh $x+y \geq 16xyz$. Ta có $4xy \leq (x+y)^2$, suy ra $16xyz \leq 4z(x+y)^2 = 4z(1-z)(x+y)$. Mà $4z(1-z) \leq (z+1-z)^2 = 1$. Do đó $16xyz \leq x+y$ (điều cần chứng minh). Ví dụ 5: (PTNK Chuyên toán 2013) Cho $x, y$ là hai số không âm thỏa $x^3+y^3 \le x- y$. a) Chứng minh rằng $y \leq x \leq 1$. b) Chứng minh rằng $x^3+y^3 \leq x^2 + y^2 \leq 1$. Giải
a) Ta có $x – y \geq x^3 + y^3 \geq 0$, suy ra $x \geq y$. Ta có $x \geq y + y^3 + x^3 \geq x^3$, suy ra $x(1-x)(1+x) \geq 0$. Suy ra $0\leq x \leq 1$. Do đó $0 \leq y \leq x \leq 1$. b) Từ câu a ta có $0 \leq y \leq x \leq 1$, suy ra $x^3 \leq x^2, y^3 \leq y^2$. Suy ra $x^3+y^3 \leq x^2+y^2$. Ta có $x – y \geq x^3+y^3 \geq x^3-y^3 \geq 0$. Suy ra $x^2+y^2+xy \leq 1$, suy ra $x^2+y^2 \leq 1$. Vậy $x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq 1$. Ví dụ 6: Cho các số $x, y, z$ thỏa $|x| \leq 1, |y| \leq 1, |z| \leq 1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-z^2} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^2} $ Giải
Bình phương hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức tương đương: $ 3-x^2-y^2-z^2 + 2\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + 2\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} + 2\sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2} \leq 9-(x+y+z)^2\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} + \sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2} \leq 3-xy-yz-xz $ Để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh $\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leq 1-xy (*)$. Thật vậy do $1-xy\geq 0$ nên (*) tương đương với $(1-x^2)(1-y^2) \leq (1-xy)^2 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$ (đúng). 2. Bài tập Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) $a^2+b^2+1 \ge ab+a+b$ b) $a^2+b^2+c^2+d^2 +e^2 \ge a(b+c+d+e)$ c) $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$ Bài 2: Cho $x,y >0$. Chứng minh $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} \ge x+y$ Bài 3: Với mọi $x, y \ne 0$. Chứng minh a) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ b) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4 \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$. Bài 4: Cho $x,y \ge 1$. Chứng minh $\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy}$. Bài 5: Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \ge \dfrac{1}{1+xy}$. Bài 6: Cho $a>0$. Chứng minh $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a} \ge \dfrac{11}{2}$. Bài 7: Cho $ab \ne 0$. Chứng minh $\dfrac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge 3$. Bài 8: Cho $a,b>0$. Chứng minh $\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}$. Bài 9: Cho $a^2+b^2 \ne 0$. Chứng minh$\dfrac{2ab}{a^2+4b^2}+\dfrac{b^2}{3a^2+2b^2} \le \dfrac{3}{5}$. Bài 10: Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{a}{b}<1$ thì $\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}$. Từ đó suy ra a) $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$ b) $1<\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}<2$ c) $2< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}<3$. Related |
