Nếu đang tìm kiếm một tài liệu học tập về phần hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, các em hãy tham khảo ngay tài liệu dưới đây với hệ thống lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cùng các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm được trọn vẹn phần kiến thức này. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.
Cùng tham khảo nhé!
I. Lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung thì được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng và
Trường hợp 1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ;
Trường hợp 2. Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ;
Hệ phương trình vô nghiệm ;
Hệ phương trình có vô số nghiệm .
II. Các dạng toán thường gặp về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Hệ phương trình vô nghiệm
- Hệ phương trình có vô số nghiệm
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp:
Cặp số là nghiệm của hệ phương trình khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d:ax + by = c và d':a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).
III. Bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho phương trình 3x – 2y = 5
a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất
b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm
c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm
Lời giải:
Ta có
a) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc khác .
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng
Khi đó ta có hệ phương trình
và hệ này có nghiệm duy nhất.
b) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được môt hệ vô nghiệm. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc bằng và tung độ gốc khác .
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng
Khi đó ta có hệ phương trình
và hệ này vô nghiệm.
c) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc bằng và tung độ gốc bằng .
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng
Khi đó ta có hệ phương trình
và hệ này có vô số nghiệm.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề Toán 9 chương 3 bài 2 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
*********************
Hy vọng với hệ thống kiến thức lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn: \[ax+by=c\] với \[a,b,c\in \mathbb{R}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\]
• Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
• Nếu \[a\ne 0\], \[b\ne 0\] thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số \[y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\]
• Nếu \[a\ne 0\], \[b=0\] thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu \[a=0\], \[b\ne 0\] thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
b. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
• (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
• (d) = (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
• (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
• Hệ phương trình tương đương
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Phương pháp thế
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
• Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
d. Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Quy tắc cộng
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
A.2 Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với \[{{S}^{2}}\ge 4P\]) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+SX+P=0\]
A.3 Kiến thức bổ sung
A.3.1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi
b. Cách giải
• Đặt \[S=x+y,P=x.y\], Đk: \[{{S}^{2}}\ge 4P\]
• Giải hệ để tìm S và P
• Với mỗi cặp (S,P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: \[{{t}^{2}}-St+P=0\]
c. Ví dụ giải hệ phương trình:
A.3.2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
a. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
b. Cách giải
• Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
• Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
• Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
• Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
Giải hệ phương trình
A.3.3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 có dạng:
Trong đó: f(x;y) và g(x;y) là phương trình đẳng cấp bậc 2; với a và b là hằng số
b. Cách giải
• Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
• Nếu x = 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
• Khử x rồi giải hệ tìm t
• Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
• Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
c. Ví dụ
Giải hệ phương trình:
CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1. Giải hệ phương trình cơ bản và đưa về dạng cơ bản
1. Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
2. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
Bài tập:
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x
• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
ii) Nếu a ≠ 0: (1) trở thành ax = b, thay vào biểu thức của x ta tìm được y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
\[4x-m\left( mx-2m \right)=m+6\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-4 \right)x=\left( 2m+3 \right)\left( m-2 \right)\] (3)
i) Nếu \[{{m}^{2}}-4\ne 0\] hay \[m\ne \pm 2\] thì \[x=\frac{\left( 2m+3 \right)\left( m-2 \right)}{{{m}^{2}}-4}=\frac{2m+3}{m+2}\]
Khi đó \[y=-\frac{m}{m+2}.\] Hệ có nghiệm duy nhất: \[\left( \frac{2m+3}{m+2};-\frac{m}{m+2} \right)\]
ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx – 2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu \[m\ne \pm 2\] thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = \[\left( \frac{2m+3}{m+2};-\frac{m}{m+2} \right)\]
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
Dạng 4. Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải.
• Giải hệ phương trình theo tham số
• Viết x, y của hệ về dạng: \[n+\frac{k}{f\left( m \right)}\] với n, k nguyên
• Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ 1. Xác định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Giải.
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \[{{m}^{2}}-4\ne 0\] hay \[m\ne \pm 2\]
Vậy với \[m\ne \pm 2\] hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ϵ Ư(3) = {1;-1;3;-3}
Vậy: m + 2 = ±1, ±3 ⇒ m = -1;-3;1;-5
Bài tập.
Bài 1. Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2.
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
HD: Thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
Bài 3. Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
Bài 4. Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
HD:
– Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là:
2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x – y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5. Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
Cho hệ phương trình:
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: \[2x+y+\frac{38}{{{m}^{2}}-4}=3\]
HD: Giải hệ phương trình theo m (m ≠ ± 2) sau đó thế vào hệ thức.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi \[m=\sqrt{2}\]
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2. Cho hệ phương trình
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
\[x-3y=\frac{28}{{{m}^{2}}+3}-3\]
Bài 6. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi \[m=\sqrt{2}\]
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức \[x+y=1-\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+3}\]
Bài 7. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = (1,4;6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7