Phương trình tương đương là hệ phương trình có các nghiệm giống nhau. Nhận dạng và giải các phương trình tương đương là một kỹ năng có giá trị, không chỉ trong lớp đại số mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Hãy xem các ví dụ về phương trình tương đương, cách giải chúng cho một hoặc nhiều biến và cách bạn có thể sử dụng kỹ năng này bên ngoài lớp học.
- Phương trình tương đương là phương trình đại số có nghiệm hoặc nghiệm trùng nhau.
- Cộng hoặc trừ cùng một số hoặc biểu thức cho cả hai vế của một phương trình sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
- Nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác không sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
Các ví dụ đơn giản nhất về phương trình tương đương không có bất kỳ biến nào. Ví dụ, ba phương trình này tương đương với nhau:
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
- 5 + 0 = 5
Công nhận các phương trình này là tương đương là rất tốt, nhưng không đặc biệt hữu ích. Thông thường, một bài toán phương trình tương đương yêu cầu bạn giải một biến để xem nó có giống (cùng gốc ) với biến trong phương trình khác hay không.
Ví dụ, các phương trình sau là tương đương:
Trong cả hai trường hợp, x = 5. Làm sao chúng ta biết được điều này? Làm thế nào để bạn giải quyết điều này cho phương trình "-2x = -10"? Bước đầu tiên là biết các quy tắc của phương trình tương đương:
- Cộng hoặc trừ cùng một số hoặc biểu thức cho cả hai vế của một phương trình sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
- Nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác không sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
- Nâng cả hai vế của phương trình lên cùng một lũy thừa hoặc lấy cùng một căn lẻ sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
- Nếu cả hai vế của một phương trình đều không âm , thì việc nâng cả hai vế của một phương trình lên cùng một lũy thừa hoặc lấy cùng một căn số chẵn sẽ cho một phương trình tương đương.
Áp dụng các quy tắc này vào thực tế, hãy xác định xem hai phương trình này có tương đương hay không:
Để giải quyết điều này, bạn cần tìm "x" cho mỗi phương trình . Nếu "x" giống nhau cho cả hai phương trình, thì chúng tương đương. Nếu "x" khác (tức là các phương trình có nghiệm nguyên khác nhau) thì các phương trình đó không tương đương. Đối với phương trình đầu tiên:
- x + 2 = 7
- x + 2 - 2 = 7 - 2 (trừ cả hai vế bằng cùng một số)
- x = 5
Đối với phương trình thứ hai:
- 2x + 1 = 11
- 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (trừ cả hai vế cho cùng một số)
- 2x = 10
- 2x / 2 = 10/2 (chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số)
- x = 5
Vì vậy, có, hai phương trình tương đương vì x = 5 trong mỗi trường hợp.
Bạn có thể sử dụng các phương trình tương đương trong cuộc sống hàng ngày. Nó đặc biệt hữu ích khi mua sắm. Ví dụ, bạn thích một chiếc áo sơ mi cụ thể. Một công ty cung cấp chiếc áo với giá 6 đô la và phí vận chuyển là 12 đô la, trong khi một công ty khác cung cấp chiếc áo với giá 7,50 đô la và phí vận chuyển là 9 đô la. Áo sơ mi nào có giá tốt nhất? Bạn sẽ phải mua bao nhiêu chiếc áo sơ mi (có thể bạn muốn mua cho bạn bè) với giá như nhau cho cả hai công ty?
Để giải quyết vấn đề này, hãy đặt "x" là số áo. Để bắt đầu, hãy đặt x = 1 cho lần mua một chiếc áo sơ mi. Đối với công ty số 1:
- Giá = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18
Đối với công ty số 2:
- Giá = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 đô la
Vì vậy, nếu bạn đang mua một chiếc áo sơ mi, công ty thứ hai sẽ cung cấp một thỏa thuận tốt hơn.
Để tìm điểm tại đó các giá bằng nhau, đặt "x" là số áo nhưng lập hai phương trình bằng nhau. Giải cho "x" để tìm số lượng áo bạn phải mua:
- 6x + 12 = 7,5x + 9
- 6x - 7,5x = 9 - 12 ( trừ các số hoặc biểu thức giống nhau cho mỗi bên)
- -1,5x = -3
- 1.5x = 3 (chia cả hai vế cho cùng một số, -1)
- x = 3 / 1,5 (chia cả hai bên cho 1,5)
- x = 2
Nếu bạn mua hai chiếc áo, giá như nhau, không cần biết bạn lấy ở đâu. Bạn có thể sử dụng cùng một phép toán để xác định công ty nào mang lại cho bạn thỏa thuận tốt hơn với các đơn đặt hàng lớn hơn và cũng để tính toán số tiền bạn sẽ tiết kiệm được khi sử dụng công ty này so với công ty khác. Hãy xem, đại số rất hữu ích!
Nếu bạn có hai phương trình và hai ẩn số (x và y), bạn có thể xác định xem hai bộ phương trình tuyến tính có tương đương hay không.
Ví dụ: nếu bạn đưa ra các phương trình:
- -3x + 12y = 15
- 7x - 10y = -2
Bạn có thể xác định xem hệ thống sau có tương đương hay không:
Để giải bài toán này , hãy tìm "x" và "y" cho mỗi hệ phương trình. Nếu các giá trị bằng nhau thì các hệ phương trình là tương đương.
Bắt đầu với bộ đầu tiên. Để giải hai phương trình có hai biến , tách một biến và cắm nghiệm của nó vào phương trình khác. Để tách biến "y":
- -3x + 12y = 15
- -3x = 15 - 12y
- x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (thêm vào "x" trong phương trình thứ hai)
- 7x - 10y = -2
- 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
- -35 + 28y - 10y = -2
- 18 năm = 33
- y = 33/18 = 11/6
Bây giờ, hãy cắm lại "y" vào một trong hai phương trình để giải cho "x":
- 7x - 10y = -2
- 7x = -2 + 10 (11/6)
Làm việc này, cuối cùng bạn sẽ nhận được x = 7/3.
Để trả lời câu hỏi, bạn có thể áp dụng các nguyên tắc tương tự cho tập phương trình thứ hai để giải cho "x" và "y" để thấy rằng đúng, chúng thực sự tương đương. Rất dễ bị sa lầy vào đại số, vì vậy bạn nên kiểm tra công việc của mình bằng công cụ giải phương trình trực tuyến .
Tuy nhiên, một học sinh thông minh sẽ nhận thấy hai bộ phương trình tương đương nhau mà không cần thực hiện bất kỳ phép tính khó nào. Sự khác biệt duy nhất giữa phương trình đầu tiên trong mỗi tập hợp là phương trình đầu tiên gấp ba lần phương trình thứ hai (tương đương). Phương trình thứ hai hoàn toàn giống nhau.
18:42:1519/02/2019
Có khá nhiều dạng bài tập toán về đơn thức và đa thức, vì vậy trong bài viết chúng ta cùng ôn lại một số dạng toán thường gặp của đơn thức, đa thức. Đối với mỗi dạng toán sẽ có phương pháp làm và bài tập cùng hướng dẫn để các em dễ hiểu và vận dụng giải toán sau này.
A. Tóm tắt lý thuyết về đơn thức, đa thức
I. Lý thuyết về đơn thức
1. Đơn thức
- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
* Ví dụ: 2, 3xy2,
2. Đơn thức thu gọn
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến chỉ được viết một lần). Số nói trên gọi là hệ số (viết phía trước đơn thức) phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức (viết phía sau hệ số, các biến thường viết theo thứ tự của bảng chữ cái).
* Các bước thu gọn một đơn thức
- Bước 1: Xác định dấu duy nhất thay thế cho các dấu có trong đơn thức. Dấu duy nhất là dấu "+" nếu đơn thức không chứa dấu "-" nào hay chứa một số chẵn lần dấu "-". Dấu duy nhất là dấu "-" trong trường hợp ngược lại.
- Bước 2: Nhóm các thừa số là số hay là các hằng số và nhân chúng với nhau.
- Bước 3: Nhóm các biến, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí hiệu lũy thừa để viết tích các chữ cái giống nhau.
3. Bậc của đơn thức thu gọn
- Bậc của đơn thức có hệ số khác không là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
- Số thực khác 0 là đơn thức bậc không. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.
4. Nhân đơn thức
- Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
II. Tóm tắt lý thuyết về đa thức
1. Khái niệm đa thức
- Đa thức là một đơn thức hoặc một tổng của hai hay nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Nhận xét:
- Mỗi đa thức là một biểu thức nguyên.
- Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
2. Thu gọn các số hạng đồng dạng trong đa thức:
- Nếu trong đa thức có chứa các số hạng đồng dạng thì ta thu gọn các số hạng đồng dạng đó để được một đa thức thu gọn.
- Đa thức được gọi là đã thu gọn nếu trong đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.
3. Bậc của đa thức
- Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
B. Các dạng bài tập toán về đơn thức, đa thức
- Dạng 1: Đọc và viết biểu thức đại số
* Phương pháp:
- Ta đọc phép toán trước (nhân chia trước, cộng trừ sau), đọc các thừa số sau:
+ Lưu ý: x2 đọc là bình phương của x, x3 là lập phương của x.
+ Ví dụ: x - 5 đọc là: hiệu của x và 5;
2.(x+5) đọc là: Tích của 2 với tổng của x và 5
Bài 1: Viết biểu thức đại số:
1) Tổng các lập phương của a và b
2) Bình phương của tổng 3 số a, b, c
3) Tích của tổng 2 số a và 3 với hiệu 2 số b và 3
4) Tích của tổng 2 số a và b và hiệu các bình phương của 2 số đó
* Hướng dẫn:
1) a3 + b3 2) (a+b+c)2
3) (a+3)(b-3) 4) (a-b)(a2-b2)
Bài 2: Đọc các biểu thức sau:
a) 5x2 b) (x+3)2
* Hướng dẫn:
a) Tích của 5 và x bình phương
b) Bình phương của tổng x và 3
- Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số
* Phương pháp:
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số;
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số;
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức số.
+ Lưu ý:
|a|=|b| khi a = b hoặc a = -b
|a|+|b| = 0 khi a = b = 0
|a|+|b| ≤ 0 khi a = b = 0
|a|+b2n ≤ 0 khi a = b = 0
|a|=b (ĐK: b≥0) ⇒ a = b hoặc a = -b.
+ Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 3x3y + 6x2y2 + 3xy3 với x = -1 ; y = 2
- Biểu thức đã ở dạng rút gọn nên ta thay các giá trị x = -1 và y = 2 vào biểu thức được:
3.(-1)3.2 + 6.(-1)2.22 + 3.(-1).23 = -6 + 24 + (-24) = -6
b) x2 + 5x – 1 lần lượt tại x = -2, x = 1
- Biểu thức đã ở dạng rút gọn, lần lượt thay x = -2, rồi x = 1 vào biểu tức ta được:
(-2)2 + 5.(-2) - 1 = 4 - 10 - 1 = -7
(1)2 + 5.(1) - 1 = 1 + 5 - 1 = 5
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) -3x2y + x2y - xy2 + 2 với x = -1 : y = 2
b) xy + x2y2 + x3y3 + x4y4 tại x = 2 và y = -1
* Hướng dẫn
a) -3.(-1)2.2 + (-1)2.2 - (-1).22 + 2 = -6 + 2 + 4 + 2 = 2
b) 2.(-1) + 22.(-1)2 + 23.(-1)3 + 24.(-1)4 = -2 + 4 - 8 + 16 = 10
Bài 2: Cho đa thức
a) P(x) = x4 + 2x2 + 2; tính P(-1).
b) Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 - 4x + 2; tính Q(1).
* Hướng dẫn
a) P(-1) = (-1)4 + 2.(-1)2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5
b) Q(1) = (1)4 + 4 .(1)3 + 2.(1)2 - 4.1 + 2 = 1 + 4 + 2 - 4 + 2 = 5
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:
1) A = x2 - 3x + 2 biết |x - 2| = 1
2) B = 4xy - y2 biết 2|x-1| + (y-2)2 ≤ 0
* Hướng dẫn
1) |x - 2| = 1 ⇒ x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 ⇒ x = 3 hoặc x = 1
Với x = 3, ta có: A = 32 - 3.3 + 2 = 2
Với x = 1, ta có: A = 12 - 3.1 + 2 = 0
2) Vì |x-1|≥0 và (y-2)2≥0 nên 2|x-1| + (y-2)2 ≤ 0 ⇔ x-1=0 và y-2=0 ⇔ x=1 và y=2
Với x=1 và y=2, ta có: B = 4.1.2 - 22 = 4
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
1) A = x5 - 2019x4 + 2019x3 - 2019x2 + 2019x - 2020 tại x=2018
B = 2x5 + 3y3 biết (x-1)20 + (y-2)30 = 0
* Hướng dẫn:
1) A = x5 - 2018x4 - x4 + 2018x3 + x3 - 2018x2 - x2 + 2018x + x - 2020
= x4(x-2018) - x3(x-2018) + x2(x-2018) - x(x-2018) + x - 2020
Tại x = 2018, ta có: A = 2018 - 2020 = -2
2) Vì (x-1)20≥0 , (y-2)30≥0 nên (x-1)20 + (y-2)30 = 0 khi x-1=0 và y-2=0 ⇔ x=1 và y=2
Tại x=1 và y=2, ta có: B = 2.15 + 3.23 = 2 + 24 = 26
- Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN)
* Phương pháp:
- Đưa về dạng f2(x) + a hoặc -f2(x) + a rồi đánh giá
- Nếu biểu thức có dạng: ax2 + bx + c =
+ Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau
1) A = (x-1)2 - 10;
2) B = -|x-1| - 2(2y-1)2 + 100
* Hướng dẫn
1) Vì (x-1)2 ≥ 0 nên (x-1)2 - 10 ≥ -10. Vậy GTNN của A = -10 khi (x-1)2=0 khi x=1
2) Vì -|x-1|≤0 và -(2y-1)2≤0 nên -|x-1| - 2(2y-1)2 + 100 ≤ 100. Vậy GTLN của B = 100 khi |x-1|=0 và (2y-1)2=0 khi x =1 và y = 1/2.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) (x-2)2 + 2019
b) (x-3)2 + (y-2)2 - 2018
c) -(3-x)100 - 3(y+2)200 + 2020
d) (x+1)2 + 100
e) (x2+3)2 + 125
f) -(x-20)200 -2(y+5)100 + 2019
* Hướng dẫn:
a) GTNN: 2019 khi x = 2
b) GTNN: -2018 khi x=3 và y=2
c) GTLN: 2020 khi x=3 và y=-2
d) GTNN: 100 khi x = -1
e) GTNN: 134 khi x = 0
f) GTLN: 2019 khi x=20 và y=-5.
- Dạng 4: Bài tập đơn thức (nhận biết, rút gọn, tìm bậc, hệ số của đơn thức)
* Phương pháp:
- Nhận biết đơn thức: Trong biểu thức không có phép toán tổng hoặc hiệu
- rút gọn đơn thức:
Bước 1: Dùng quy tắc nhân đơn thức để thu gọn: nhân hệ số với nhau, biến với nhau
Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn (bậc là tổng số mũ của phần biến).
* Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có cùng phần biến nhưng khác nhau hệ số
Lưu ý: Để chứng minh các đơn thức cùng dương hoặc cùng âm, hoặc không thể cùng dương, cùng âm ta lấy tích của chúng rồi đánh giá kết quả.
+ Ví dụ 1: Sắp xếp các đơn thức sau theo nhóm các đơn thức đồng dạng: 3xy; 3xy2; -9xy;
* Hướng dẫn: Các nhóm đơn thức đồng dạng là: 3xy; -9xy; 2019xy; và 3xy2;
+ Ví dụ 2: Cho các đơn thức:A = -5xy; B = 11xy2 ; C = x2y3
a) Tìm hệ số và bậc của D = A.B.C
b) Các đơn thức trên có thể cùng dương hay không?
* Hướng dẫn
a) D=-55.x4y6 hệ số là -55 bậc 10
b) D=-55.x4y6 ≤ 0 nên A,B,C không thể cùng dương.
Bài 1: Rút gọn đơn thức sau và tìm bậc, hệ số.
1) A =
2) B = -2xy2z.
3) C =
4) D=
5) E=
* Hướng dẫn
1) A = (-2/3).x3y4
2) B = (-3/2).x3y3z4
3) C = (-1/4).xy3z
4) D =
5) E=
- Dạng 5: Bài tập đa thức (nhận biết, rút gọn, tìm bậc, hệ số, nhân chia đa thức)
* Phương pháp
- Nhận biết đa thức: Trong biểu thức chứa phép toán tổng hiệu
- Để nhân đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia
- Để chia đa thức: ta phải vẽ cột chia đa thức
- Rút gọn hay thu gọn đa thức:
Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Bước 2: Bậc của đa thức là bậc cao nhất của đơn thức
+ Ví dụ: Thu gọn đa thức sau và tìm bậc:
A = 15x2y3 + 7x2 - 8x3y2 - 12x2 + 11x3y2 -12x2y3
* Hướng dẫn:
A =15x2y3 - 12x2y3+ 7x2 - 12x2 + 11x3y2 - 8x3y2 = 3x2y3 - 5x2 +3x3y2 (A có bậc 5)
Bài 1: Tính tổng của 2 đa thức sau và tìm bậc của đa thức thu được
1) 4x2 - 5xy + 3y2 và 3x2 + 2xy - y2
2) x3 - 2x2y +
* Hướng dẫn:
1) 7x2 - 3xy +2y2 có bậc của đa thức là 2
2) (-5/2)x2y +(4/3)xy2 - 2y4 - 1 có bậc của đa thức là 4
Bài 2: Tìm đa thức M biết rằng:
1) M + (5x2 - 2xy) = 6x2 + 9xy - y2
2) M + (2x2y - 2xy3) = 2x2y - 4xy3
3) (2xy2 + x2 - x2y) - M = -xy2 + x2y +1
* Hướng dẫn:
1) M = x2 + 11xy - y2
2) M = -2xy3
3) M = 3xy2 + x2 - 2x2y -1
• xem thêm: Phương pháp học bài nhanh thuộc và nhớ lâu