Cho tam giác ABC vuông tại A. đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng :
- ΔABE = ΔHBE
- BE là đường trung trực của AH.
- EK = EC.
- AE < EC
GIẢI.
1. ΔABE = ΔHBE
Xét ΔABE và ΔHBE, ta có :
(gt)
( BE là đường phân giác BE).
BE là cạnh chung.
=> ΔABE = ΔHBE
2. BE là đường trung trực của AH :
BA =BH và EA = EH (ΔABE = ΔHBE)
=> BE là đường trung trực của AH .
3. EK = EC
Xét ΔKAE và ΔCHE, ta có :
(gt)
EA = EH (cmt)
( đối đỉnh).
=> ΔKAE và ΔCHE
=> EK = EC
4. EC > AC
Xét ΔKAE vuông tại A, ta có :
KE > AE (KE là cạnh huyền)
Mà : EK = EC (cmt)
=> EC > AC.
———————————————————————————-
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh : BC = DE.
b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.
d) Chứng minh : AM = DE/2.
a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :
(đối đỉnh)
AB = AD (gt)
AC = AD (gt)
=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)
=> BC = DE
Xét Δ ABD, ta có :
(Δ ABC vuông tại A)
=> AD AE
=>
=> Δ ABD vuông tại A.
mà : AB = AD (gt)
=> Δ ABD vuông cân tại A.
=>
cmtt :
=>
mà : ở vị trí so le trong
=> BD // CE
b) Xét Δ MNC, ta có :
NK MC = > NK là đường cao thứ 1.
MH NC = > MH là đường cao thứ 2.
NK cắt MH tại A.
=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.
=> MN AC tại I.
mà : AB AC
=> MN // AB.
c) Xét Δ AMC, ta có :
(đối đỉnh)
(Δ ABC = Δ AED)
=> (cùng phụ góc ABC)
=> Δ AMC cân tại M
=> AM = ME (1)
Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :
(MN AC tại I)
IM cạnh chung.
mặt khác : (so le trong)
(đồng vị)
mà : (cmt)
=>
=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
=> MA = MD (2)
từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD
ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)
=>MA = DE/2.
=========================================================
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Vẽ AK vuông góc BC ( K thuộc BC ). Trên tia đối của tia KA lấy điểm M sao cho KA = KM
1. Chứng minh: DKAB = D KMB. Tính số đo MÂB
2. Trên tia KB lấy điểm D sao cho KD = KC. Tia MD cắt AB tại N. Chứng minh: MN vuông góc AB
3. So sánh MD + DB với AB
Bài 2:
Cho ΔABC vuông taï A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA .
a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC .
b/ Vẽ DE vuông góc AC (E thuộc AC). Chứng minh : ΔADE = ΔCDE .
c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC.
d/ Vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Chứng minh :AH + BC > AB +AC
Bài 3:
Cho ABC cân tại A (A < 900). Vẽ tia phân giác AH của góc BAC (H thuộc BC); biết AB = 15cm, BH = 9cm.
a. CMR: Δ ABH = Δ ACH
b. Vẽ trung tuyến BD. BD cắt AH tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của ABC. Tính AG.
c. Qua H vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh: 3 điểm A ; G ; E thẳng hàng
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của BC lấy điểm M , trên tia đối của CB lấy N sao cho BM = CN , Vẽ BD vuông góc AM tại D , CE vuông góc AN tại E .
Cho biết AB= 10 cm , BH = 6 cm . Tính độ dài đoạn AH
a) Chứng minh : tam giác AMN cân.
b) Chứng minh : DB = CE
c) Gọi K là giao điểm của DB và EC . Chứng minh ΔADK = ΔAEK.
d) Chứng minh KD + KE < 2KA .
Bài 5:
Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M. (3,5 điểm)
a/ Chứng minh: ΔACM cân.
b/ Kẻ AH vuông góc BC ( HÎ BC), lấy điểm I Î AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM
c/ Kẻ CN vuông góc AM (N Î AM), nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều
d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.
Bài 6:
Cho Δ ABC vuông tại A. trên nửa mặt phẳng có bờ BE không chứa điểm A. Vẽ Bx sao cho góc ABC = góc CBx. Gọi K là giao điểm Bx và AC . Kẻ CH vuông góc Bx ( HÎ Bx) . Gọi N là giao điểm CH và AB
a) Chứng minh : Δ HBC = Δ ABC
b) Chứng minh BC là đường trung trực AH
c) Chứng minh CN = CK
d) Chứng minh CK > CA
Bài 7:
Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm ; AC = 8cm. Vẽ trung tuyến AM.
- Tính độ dài AM.
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: ΔAMB = ΔDMC
- Chứng minh: AC vuông góc DC
- Chứng minh: AM < (AB + AC ) : 2
Bài 8 :
tam giác ABC vuông tại A; phân giác BD. Kẻ DE vuông góc BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh :
a) BD là đường trung trực của AE
b) DF = DC
c) AD < DC
Bài 9 :
Cho tam giác vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA .
a.) Tính số đo góc ABD.
b.) Chứng minh rằng tam giác ABC bằng tam giác BAD .
c.) So sánh độ dài AM và BC .
===============================
ĐỀ THI :
Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II
Môn toán lớp 7 (90 phút)
Bài 1 (1,5 đ) :
Điểm kiểm tra một tiết môn toán lớp 7A một trường được ghi như sau :
8 | 7 | 5 | 6 | 6 | 4 | 5 | 2 | 6 | 3 |
7 | 2 | 3 | 7 | 6 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 |
6 | 5 | 8 | 10 | 7 | 6 | 9 | 2 | 10 | 9 |
a) Dấu hiệu ở đây là gì ? lớp có bao nhieu học sinh ?
b) Hãy lập bảng tần số và tính số trung bình cộng.
Bài 2 (1 đ) :
a) Cho biểu thức : A = 0,5x2y3 – 4xy + 5
b) Tính giá trị của A tại x = -2; y = 2/3
Bài 3(2 đ) :Cho hai đa thức :
P(x) = 7x3 – x2 + 5x – 2x3 + 6 – 8x
Q(x) = -2x + x3 – 4x2 + 3 – 5x2
a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính P(x) – Q(x); P(x) + Q(x).
Bài 4 (2 đ):
a) Tìm nghiệm của đa thức : 0,2x + 1/5
b) Tìm a để đa thức ax – 1,5 có nghiệm là -2
Bài 5 (3,5 đ):
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh : BC = DE.
b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.
d) Chứng minh : AM = DE/2.