TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN LÊ THỊ HẢI YẾN HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS. PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, khóa luận của tôi đến nay đã được hoàn thành. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phạm Thanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này. Tôi chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian tôi làm khóa luận. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Hải Yến Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm. Trong quá trình làm khóa luận tôi có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học Ơclit” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác. Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Hải Yến Mục lục Mở đầu 1 1 Không gian afin 1.1 Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin . . . . . . . . 1.3 Phẳng trong không gian afin . . . . . . . . 1.4 Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . . 1.5 Tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . . 1.6 Tập lồi trong không gian afin . . . . . . . . 1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không 1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin . . . . 1.9 Siêu mặt bậc hai afin . . . . . . . . . . . . 1.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . 2 Không gian Ơclit 2.1 Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . 2.2 Các phẳng trong không gian Ơclit . . . . 2.3 Góc và thể tích trong không gian Ơclit . . 2.4 Ánh xạ đẳng cự và phép biến đổi đẳng cự 2.5 Hình học Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Nhóm đồng dạng và hình học đồng dạng . 2.7 Siêu mặt bậc hai Ơclit . . . . . . . . . . 2.8 Các bất biến hàm bậc hai và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 9 12 14 18 20 21 22 25 32 . . . . . . . . 35 39 40 44 47 52 54 57 61 2.9 Siêu cầu trong không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . 66 2.10 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng. Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác. Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về chuyên ngành hình học, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trình toán phổ thông. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu hơn nữa về hình học afin và hình học Ơclit, tôi đã chọn đề tài “Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học Ơclit” làm khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn về hình học afin và hình học Ơclit. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu các bài tập hình học afin và hình học Ơclit. • Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin và hình học Ơclit. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống một số các bài tập cơ bản về hình học afin và hình học Ơclit. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu. Chương 1 Không gian afin Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ bản sau: 1.1. Không gian afin: Cho không gian véctơ V trên trường K, tập A 6= ∅ mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A −→ V. −−→ Kí hiệu ϕ(M, N ) = M N với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn: − i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi véctơ → u ∈ V, có duy nhất điểm N ∈ A −−→ → − sao cho M N = u . −−→ −−→ −−→ ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P . Không gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không gian véctơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K không gian afin A). Không gian véctơ liên kết V thường được kí hiệu là → − A. Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n. Khi trường K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực, khi K = C, ta nói A là không gian afin phức. 1.2. Độc lập afin: Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , ..., Am (m ≥ 1)của không −−−→ −−−→ −−−→ → − gian afin A gọi là độc lập nếu m véctơ A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am của A là hệ véctơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm một điểm A0 bất kì (tức trường hợp m = 0) luôn được xem là độc lập. 1.3. Mục tiêu afin: Cho không gian afin n chiều A liên kết với không 3 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN → − → − − − − gian véctơ A . Gọi ε = {→ e1 , → e2 , ..., → en } là một cơ sở của A và O là một − − − điểm thuộc A . Khi đó tập hợp {O; ε} hay {O; → e1 , → e2 , ..., → en } là một mục − tiêu afin của A . O gọi là điểm gốc của mục tiêu, → ei gọi là véctơ cơ sở thứ i của mục tiêu. 1.4. Tọa độ afin: Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin −−→ → − − − − {O; → e1 , → e2 , ..., → en }. Với mỗi điểm X ∈ A ta có véctơ OX ∈ A , và vì vậy có duy nhất n phần tử x1 , x2 , ..., xn của trường K sao cho −−→ − − − OX = x1 → e1 + x2 → e2 + ... + xn → en . Bộ n phần tử (x1 , x2 , ..., xn ) đó được gọi là tọa độ điểm X đối với mục tiêu đã chọn, kí hiệu: X(x1 , x2 , ..., xn ) hay X = (x1 , x2 , ..., xn ). 1.5. Phẳng trong không gian afin: Cho không gian afin A liên kết → − − với không gian véctơ A . Gọi I là một điểm của A và → α là một không → − gian véctơ con của A . Khi đó tập hợp: − → − − α = { M ∈ A IM ∈ → α} − được gọi là cái phẳng (gọi tắt là "phẳng") qua I và có phương là → α. → − Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là m - phẳng. 1.6. Vị trí tương đối của các phẳng: Trong không gian afin An − cho p - phẳng α và q - phẳng β (với p ≤ q ) lần lượt có phương là → α và → − β. a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung. − b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu → α là không gian con của → − β. c) Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau. 4 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của thuyết tập hợp và gọi là giao của hai cái phẳng α và β . e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β , α + β gọi là tổng của hai cái phẳng α và β . 1.7. Tâm tỉ cự: Cho k điểm P1 , P2 , ..., Pk của không gian afin A và k k P λi 6= 0. Khi đó có duy nhất số thuộc trường K: λ1 , λ2 , ..., λk sao cho i=1 điểm G sao cho k X −−→ → − λi GPi = 0 . i=1 Điểm G nói trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi . Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi . 1.8. Tập lồi trong không gian afin thực: Một tập X trong không gian afin thực gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm P, Q thuộc X thì đoạn thẳng P Q nằm hoàn toàn trong X . 1.9. Đơn hình m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm . Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao cho (với điểm O nào đó) m m X −−→ X −−→ OM = λi OPi với λi = 1. i=0 i=0 Bây giờ xét tập hợp gồm những điểm M sao cho m m X −−→ X −−→ OM = λi OPi với λi = 1 và λi ≥ 0, i = 0, 1, ..., m. i=0 i=0 Tập hợp đó được gọi là m - đơn hình với các đỉnh: P0 , P1 , ..., Pm và kí hiệu là S(P0 , P1 , ..., Pm ). 5 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN 1.10. Hình hộp m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm . Tập hợp những điểm M sao cho m −−→ −−→ P λi P0 Pi , với 0 ≤ λi ≤ 1 được gọi là m - hộp. P0 M = i=1 1.11. Ánh xạ afin: Cho hai không gian afin trên trường K là A và → − → − A0 liên kết với không gian véctơ A và A0 . Ánh xạ f : A −→ A0 được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến → − → − → − tính f : A −→ A0 , sao cho với mọi cặp điểm M, N ∈ A và ảnh −−−→ → − −−→ M 0 = f (M ), N 0 = f (N ) ta có M 0 N 0 = f (M N ). → − → − → − Ánh xạ tuyến tính f : A −→ A0 được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với f. 1.12. Tỉ số đơn: Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R −→ −→ là số λ thuộc trường K sao cho RP = λRQ, và kí hiệu là [P, Q, R]. 1.13. Đẳng cấu afin: Ánh xạ afin f : A −→ A0 giữa hai không gian afin A và A0 trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh. Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A0 nếu có đẳng f cấu afin f : A −→ A0 . Khi đó ta kí hiệu A ∼ A0 . 1.14. Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A −→ A từ không gian afin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin. 1.15. Tương đương afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X , H1 và H2 là hai hình nào đó của X . Khi đó hình H1 gọi là tương đương với hình H2 (đối với nhóm F , hay còn gọi là F - tương đương) nếu có phép biến đổi f ∈ F sao cho f (H1 ) = H2 , ta kí hiệu: H1 (F )H2 . ∼ 1.16. Bất biến afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X , và H là một hình trong X . Một tính chất nào đó của hình H sẽ gọi là bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H 0 tương đương với hình H (đối với nhóm F ) đều có tính chất đó. Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af (A) của không gian afin 6 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN A thường gọi là tính chất afin. 1.17. Siêu mặt bậc hai: Trong không gian afin An trên trường số − − − thực chọn mục tiêu afin {O;→ e1 , → e2 , ..., → en }. Cho phương trình bậc hai: n n P P (1) aij xi xj + 2 ai xi + a0 = 0 i=1 i,j=1 trong đó các hệ số aij , ai , a0 đều là số thực, các aij không đồng thời bằng không và aij = aji. Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ) của nó thỏa mãn phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình đó. Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) thì phương trình (1) gọi là phương trình của (S). Với n = 2 và n = 3, các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường bậc hai và mặt bậc hai. 1.18. Tâm của siêu mặt bậc hai: Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì phương trình của (S) có dạng: n X aij xi xj + a0 = 0 i,j=1 hay viết dưới dạng ma trận là xt Ax+a0 = 0 với A = (aij ). 1.19. Điểm kì dị của siêu mặt bậc hai: Một điểm I gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I ∈ (S) và I là tâm của (S). 7 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN BÀI TẬP 1.1 Không gian afin → − → − Bài tập 1.1.1. Cho (A,ϕ, A ) và (A0 ,ϕ0 , A0 ) là hai không gian afin trên trường K, xét ánh xạ: − → − → φ : ((A × A0 ) × (A × A0 )) −→ A × A0 ((M, M 0 ), (N, N 0 )) 7→ (ϕ(M, N ), ϕ0 (M 0 , N 0 )). → − → − Chứng minh rằng (A × A0 , φ, A × A0 ) là một không gian afin trên trường K (gọi là tích trực tiếp của hai không gian afin A và A0 ). Bài giải −0 → − → Ta có (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K vì nó thỏa mãn hai tiên đề sau, thật vậy: a) Tiên đề về phép đặt vectơ. → − − → − → − Với mọi (M, M 0 ) ∈ A × A0 và mọi (→ u , u0 ) ∈ A × A0 suy ra tồn tại duy nhất cặp điểm (N, N 0 ) ∈ A × A0 sao cho → − − ϕ(M, N ) = → u , ϕ0 (M 0 , N 0 ) = u0 ⇒ ((M, M 0 ), (N, N 0 )) 7→ (ϕ(M, N ), ϕ0 (M 0 , N 0 )). b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ. → − +) Vì (A, ϕ, A ) là không gian afin nên: ∀M, N, P ∈ A : ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ). → − +) Vì (A0 , ϕ0 , A0 ) là không gian afin nên: ∀M 0 , N 0 , P 0 ∈ A0 : ϕ0 (M 0 , N 0 ) + ϕ0 (N 0 , P 0 ) = ϕ0 (M 0 , P 0 ); ∀(M, M 0 ), (N, N 0 ), (P, P 0 ) ∈ A × A0 . Suy ra φ[(M, M 0 ), (N, N 0 )] + φ[(N, N 0 ), (P, P 0 )] = (ϕ(M, N ), ϕ0 (M 0 , N 0 )) + (ϕ(N, P ), ϕ0 (N 0 , P 0 )) = (ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ), ϕ0 (M 0 , N 0 ) + ϕ0 (N 0 , P 0 )) = (ϕ(M, P ), ϕ0 (M 0 , P 0 )) 0 8 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN = φ[(M, M 0 ), (P, P 0 )]. − → − → Vậy (A × A0 , φ, A × A0 ) là một không gian afin trên trường K. Bài tập 1.1.2. Chứng minh rằng nếu M0 , M1 , ..., Mm là hệ m + 1 điểm độc lập thì điều kiện cần và đủ để hệ m + 2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1 không độc lập là với điểm O tùy ý ta có: m m X X −−→ −−→ OM m+1 = λi OMi với λi = 1. i=0 i=0 Bài giải n−−−→ −−−→ −−−−→o Hệ M0 , M1 , ..., Mm độc lập khi và chỉ khi hệ véctơ M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mm độc lập tuyến tính. Hệ m+2 điểm M0 , M1 , ..., Mm , Mm+1 không độc lập. −−−→ −−−→ −−−−−−→ Suy ra { M0 M1 , M0 M2 , ..., M0 Mm+1 } phụ thuộc tuyến tính. Suy ra tồn tại các ti không đồng thời bằng không sao cho m −−−−−−→ P −−−→ M0 Mm+1 = ti .M0 Mi (với các điểm O tùy ý) i=1 m −−→ −−−−−→ P −−→ −−→ ⇒ M0 O + OMm+1 = ti .(M0 O + OMi ) i=1 m m P −−−−−→ −−→ P −−→ ⇒ OMm+1 = (1 − ti ).OM0 + ti OMi . Đặt λ0 = 1 − m P i=1 i=1 ti , λi = ti , i = 1, 2, ..., m ⇒ i=1 m P λi = 1. i=1 Suy ra có điều phải chứng minh. 1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin − − − Bài tập 1.2.1. Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin {O; → e1 , → e2 , → e3 } . → − → − → − → − → − → − Chứng tỏ rằng {O; e1 + e2 , e2 + e3 , e3 + e1 } cũng là mục tiêu afin. Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai. Bài giải − → − → − → − → − − − − Đặt e0 1 = → e1 + → e2 , e0 2 = → e2 + → e3 , e0 3 n= → e3 + − e1 o thì ma trận C chuyển − → − → − → − − − từ cơ sở ε = {→ e1 , → e2 , → e3 } sang hệ ε0 = e0 1 , e0 2 , e0 3 là 9 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN 1 0 1 C = 1 1 0 . Ta có det C = 2 6= 0. 0 1 1 0 Suy ra nε là một cơ sởocủa không gian afin A3 . → → − − → − Do đó O; e0 1 , e0 2 , e0 3 là mục tiêu afin. Cho (x1 , x2 , x3 ), (x01 , x02 , x03 ) lần lượt là tọa mục tiêu {O, ε} và {O, ε0 }. Công thức đổi mục tiêu x1 x0 1 0 x2 = C. x 2 ⇔ x3 x0 3 độ của điểm X trong hai x1 = x0 1 + x0 3 x2 = x0 1 + x0 2 . x3 = x0 2 + x0 3 Bài tập 1.2.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin − − − − {O; → e1 , → e2 , → e3 , ..., → en } (I) j − → P→ − Đặt e0 = e , j = 1, .., n. Chứng tỏ rằng với i ≤ j thì j i i=1 − → − → − → (II) {O; e0 1 , e0 2 , ..., e0 n } cũng là mục tiêu afin. Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II). Bài giải o n− → − → − → − − − e1 , → e2 , ..., → en } Ma trận tọa độ của hệ ε0 = e0 1 , e0 2 , ..., e0 n với cơ sở ε = {→ là 1 1 ... 1 0 1 ... 1 C= . Ta có det C = 1 6= 0 . ... ... ... ... 0 0 ... 1 n− o → − → − → 0 0 0 0 Do đó ε = e 1 , e 2 , ..., e n là một cơ sở. o n − → − → − → 0 0 0 Suy ra O; e 1 , e 2 , ..., e n là một mục tiêu afin. 10 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN Công thức đổi mục tiêu n P x0 i x = 1 i=1 n P 0 x0 i . x = 2 x = Cx ⇔ i=2 ............... xn = x0 n Bài tập 1.2.3. Trong không giannafin 2 chiều A2 trên trường số thực R o − → − → − − cho mục tiêu: {O, → e1 , → e2 } (I) và O0 , e0 1 , e0 2 (II). Đối với mục tiêu (I) ba điểm P, Q, R có tọa độ là P = (2, 1), Q = (1, 1), R = (1, −1). Đối với mục tiêu (II) chúng có tọa độ là P = (6, −2), Q = (4, −1), R = (2, −3). Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II). Bài giải +)Cách 1 : Ta viết được −−→0 −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ OO = OP − O0 P = OQ − O0 Q = OR − O0 R − → − → − − = 2→ e1 + → e2 − 6e0 1 + 2e0 2 − → − → − − =→ e1 + → e2 − 4e0 1 + e0 2 − → − → − − =→ e −→ e − 2e0 + 3e0 . 1 Giải ra được 2 1 2 − → 1− 1− e0 1 = → e1 + → e2 3 3 − → 1− 2− e0 2 = − → e1 + → e2 . 3 3 −→ 2− 1− − OO0 = − → e1 + → e2 3 3 1 1 2 x1 = x0 1 − x0 2 − 3 3 3 Suy ra công thức đổi tọa độ là 1 0 2 0 1 . x1 = x 1 + x 2 + 3 3 3 11 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN +)Cách 2 : Giả sử công thức đổi tọa độ là ( x1 = a1 x0 1 + a2 x0 2 + a0 . x2 = b1 x0 1 + b2 x0 2 + b0 ( 2 = 6a1 − 2a2 + a0 1 = 6b1 − 2b2 + b0 (1) (2) ( 1 = 4a1 − a2 + a0 1 = 4b1 − b2 + b0 (3) (4) Với điểm P ta có Với điểm Q ta có ( 1 = 2a1 − 3a2 + a0 (5) −1 = 2b1 − 3b2 + b0 (6) 1 2 Từ (1), (3), (5) ta có a1 = −a2 = , a0 = − . 3 3 1 2 1 Từ (2), (4), (6) ta có b1 = , b2 = , b0 = . 3 3 3 Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm. Với điểm R ta có 1.3 Phẳng trong không gian afin Bài tập 1.3.1. Trong không gian afin A cho m - phẳng α và điểm P ∈ / α. Chứng minh rằng có (m + 1) - phẳng duy nhất chứa α và P . Bài giải Ta có α là m - phẳng đi qua (m + 1) điểm độc lập A0 , A1 , ..., Am và → − điểm P ∈ / α. Gọi β là không gian véctơ (m + 1) chiều mà → − −−−→ −−−→ −−−→ −−→ β = hA0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P i. → − β là (m + 1) - phẳng đi qua A0 có phương là β . Rõ ràng β đi qua P . −−−→ −−−→ −−−→ − Ta có m - phẳng α đi qua A0 phương → α = hA0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am i nên α ⊂ β. Nếu có (m + 1) - phẳng β 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài thì khi đó → −0 → − −−−→ −−−→ −−−→ −−→ β = hA0 A1 , A0 A2 , ..., A0 Am , A0 P i = β , và đi qua A0 suy ra β = β 0 . 12 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN − − − Bài tập 1.3.2. Trong không gian afin An cho mục tiêu afin {O; → e1 , → e2 , ..., → en } −→ − và các điểm Pi với OP i = ai → ei (ai 6= 0)(i = 1, 2, ..., n). Chứng minh rằng n điểm P1 , P2 , ..., Pn độc lập và phương trình siêu phẳng đi qua n điểm ấy có thể viết dưới dạng: xn x1 x2 + + .... + = 1. a1 a2 an Bài giải −→ −−→ −−→ −−→ − Ta có OP i = ai → ei (ai 6= 0)(i = 1, 2, ..., n). P1 Pi = OPi − OP1 = − − − − − ai → ei − a1 → e1 , i = 2, ..., n. Đặt → µ i = ai → e i − a1 → e1 ta có n X n X → − − − − ti → µi = ti (ai → ei − a1 → e1 ) = 0 i=2 i=2 ai ti = 0, i = 2, ..., n n P ⇒ ⇒ t1 = .... = tn = 0. −ai ti = 0 i=2 n−−→ −−→ −−→o Hệ P1 P2 , P1 P3 , ..., P1 Pn độc lập tuyến tính nên P1 , P2 , ..., Pn xác định một siêu phẳng α có phương trình u1 x1 + u2 x2 + ... + un xn = b. Vì O ∈ / α nên suy ra b 6= 0 do đó ta có u2 un u1 (1) ⇔ x1 + x2 +....+ xn = 1. b b b Pi có tọa độ thứ i bằng ai còn các tọa độ khác bằng không nên 1 ui = . b ai x1 x2 xn Từ (2) suy ra + + ... + = 1. a1 a2 an (1) (2) Bài tập 1.3.3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và siêu phẳng cho bởi các phương trình sau đây: n X x1 − b1 x2 − b2 xn − bn = = ... = và ci xi + d = 0. a1 a2 an i=1 13 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN Bài giải Trong không gian afin A đường thẳng ∆ có phương trình x1 − b1 x2 − b2 xn − bn = = ... = a1 a2 an và siêu phẳng α có phương trình n P ci xi + d = 0. n (1) (2) i=1 Đặt xi − bi ⇒ xi = tai + bi ; i = 1, ..., n. ai Thế vào (2) ta được n n P P t c i ai + ci bi + d = 0. t= i=1 • n P (3) i=1 ci ai = 0. i=1 Nếu n P Nếu i=1 n P ci bi + d = 0 tức là (3) đúng với ∀t ⇒ ∆ ⊂ α. ci bi + d 6= 0 ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ ∆ không cắt α. i=1 n P • n P i=1 ci b i + d i=1 ci ai 6= 0 ⇒ t = − P n ⇒ ∆ cắt (α) tại M (x1 , ..., xm ) duy c i ai i=1 nhất, với xi = ai t + bi (i = 1, ..., n). 1.4 Vị trí tương đối của các phẳng Bài tập 1.4.1. Cho tập M gồm m + 1 điểm độc lập của không gian afin An (m < n). Gọi N và N 0 là hai tập con không rỗng của M và không giao nhau. Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và α0 sao cho N ⊂ α và N 0 ⊂ α0 . Bài giải 14 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN Không làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết: M là tập gồm m + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pm ; N là tập gồm r + 1 điểm P0 , P1 , ..., Pr ; N 0 là tập gồm m − r điểm Pr+1 , ..., Pm . Cả ba hệ điểm trên đều độc lập.n −−→ P −−→ ti P0 Pi ⇒ N ⊂ α; α = X : P0 X = i=1 P −−−−→ m−r−1 −−−−−−−→ β = Y : Pr+1 Y = 1k Pr+1 Pr+1+k ⇒ N 0 ⊂ β; k=1 → − → − có thể giả thiết dim α ≥ dim β . → − − + Nếu α//β ⇒ β ⊂ → α. −−−−−−−→ −−→ −−→ ⇒ Pr+1 Pr+1+k biểu thị tuyến tính qua P0 P1 , ..., P0 Pr −−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−→ ⇒ P0 Pr+1+k = Pr+1 Pr+1+k + P0 Pr+1 r −−→ −→ P t i P0 Pi . ⇒ P0 I = i=1 Suy ra hệ điểm P0 , P1 , ..., Pr , Pr+1 , Pr+1+k không độc lập. Điều này trái với giả thiết. Nếu α ∩ β 6= ∅. Lấy I ∈ α ∩ β , ta có r −−→ −→ P ti P0 Pi ; P0 I = i=1 m−r P −−−→ Pr+1 I = −−−−−−−→ 1k Pr+1 Pr+1+k . (1) (2) k=1 Lấy (1) trừ (2) suy ra r P −−−→ P −−→ m−r −−−−→ −−−−−−→ IPr+1 = ti P0 Pi − 1k (Pr+1 P0 + P0 Pr+1+k ). i=1 k=1 Suy ra hệ P0 , P1 , ..., Pm không độc lập (trái với giả thiết). Trường hợp tổng số điểm trong N và N 0 nhỏ hơn (m + 1) thì chứng minh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N 0 . Bài tập 1.4.2. Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian afin An . Chứng minh rằng: → − −→ → a) α∩β = ∅ khi và chỉ khi với mọi P ∈ α, mọi Q ∈ β có P Q ∈ /− α+β, → − −→ → hoặc khi và chỉ khi có P ∈ α, Q ∈ β để P Q ∈ /− α + β. 15 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân |
