Các bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng năm 2024

650 câu trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có lời giải chi tiết và đáp án rất hay được viết dưới dạng file word gồm 82 trang. Bài tập gồm các dạng toán: vectơ chỉ phương – vectơ pháp tuyến; viết phương trình đường thẳng; vị trí tương đối của hai đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng; khoảng cách; cho phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính; lập phương trình đường tròn; tìm tham số m để là phương trình đường tròn; phương trình tiếp tuyến của đường tròn; phương trình đường elip. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Nội dung chính Show

△! Nhận xét: M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃t ∈ R :
△! Nhận xét:
§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Định nghĩa 2. Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có véc-tơ chỉ phương −→u = (u 1 ; u 2 ). Phương trình

tham số của ∆ :

ß x = x 0 + tu 1 y = y 0 + tu 2 ( 1 ) (t là tham số).

△! Nhận xét: M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃t ∈ R :

ß x = x 0 + tu 1 y = y 0 + tu 2

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Định nghĩa 3. Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có véc-tơ chỉ phương −→u = (u 1 ; u 2 ), trong đó u 1 và u 2 6 = 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là

x − x 0 a

\=

y − y 0 b

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa 4. Véc-tơ −→n gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu −→n 6 =

−→

0 và giá của −→n vuông góc với ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa 5. Phương trình Ax + By + C = 0 (với A 2 + B 2 6 = 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

△! Nhận xét:

Nếu đường thẳng ∆ có phương tình Ax + By = C thì đường thẳng ∆ có véc-tơ pháp tuyến −→n = (A; B), véc-tơ chỉ phương là −→u = (B; −A) hoặc

−→

u′ = (−B; A).

171 172 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Nếu đường thẳng ∆ đi qua M (x 0 ; y 0 ) và có một véc-tơ pháp tuyến −→n = (A; B) thì phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) = 0.
Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (với a 6 = 0 ) thì phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x a

+

y b

\= 1. Đây gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k thì phương trình đường thẳng ∆ là: y − y 0 = k (x − x 0 ). Đây là phương trình đường thẳng theo hệ số góc.
Nếu đường thẳng ∆ có véc-tơ chỉ phương −→u = (u 1 ; u 2 ) thì nó có hệ số góc là k =

u 2 u 1

. Ngược lại, nếu

đường thẳng ∆ có hệ số góc k =

a b

thì một véc-tơ chỉ phương của nó là −→u = (1; k).

II. Các dạng toán

Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng

Để lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M (x 0 ; y 0 ) ∈ ∆ và một véc-tơ chỉ phương −→u = (u 1 ; u 2 ).

Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ :

ß x = x 0 + tu 1 y = y 0 + tu 2

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua M(1; 2) và có vec-tơ chỉ phương −→u = (−1; 3).

Lời giải. Phương trình tham số đường thẳng ∆:

ß x = 1 − t y = 2 + 3 t

.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua A (1; 2) , B (3; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng d.

Lời giải. Đường thẳng d qua A (1; 2) và nhận

−→

AB = (2; − 1 ) làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số đường thẳng d:

ß x = 1 + 2 t y = 2 − t

.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua M(−2; 3) và song song với đường thẳng EF. Biết E(0; − 1 ), F(−3; 0).Viết phương trình đường thẳng d.

Lời giải.

−→

EF = (−3; 1).

Phương trình tham số đường thẳng d:

ß x = − 2 − 3 t y = 3 + t

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; − 4 ), B( 0 , 6 ). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải. Ta có:

−→

AB = (−3; 10).

Đường thẳng (AB) qua A(3; − 4 ) và nhận

−→

AB = (−3; 10) làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng (AB):

ß x = 3 − 3 t y = − 4 + 10 t

.

174 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

®

x = − 2 t y = 1 + t

và ∆′ :

®

x = − 2 − t′ y = t′

.Viết phương

trình tham số của đường thẳng d đối xứng với ∆′ qua ∆.

®

x = l y = 22 − 7 l

. B.

®

x = 22 − 7 l y = l

. C.

®

x = − 6 + 3 l y = 4

. D.

®

x = − 6 + 7 l y = 4 + l

.

Lời giải. Chọn đáp án B

Gọi M = ∆ ∩ ∆′ ⇒ M(−6; 4) Có A(−2; 0) ∈ ∆′ khác M. Tìm tọa độ hình chiếu của A lên ∆ là H

Å

− 6

5 ; 8 5

ã .

Tọa độ điểm đối xứng của A qua ∆ là A′

Å

−

2 5; 16 5

ã .

Vậy đường thẳng cần tìm là

®

x = 22 − 7 l y = l

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 5. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:

®

x = 1 + 2 t y = − 3 − t

.

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆. b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N (4; 2) và vuông góc với ∆. Lời giải. a) Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là −→u = (2; − 1 ) nên có véc-tơ pháp tuyến là −→n = (1; 2). Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A (1; − 3 ) nằm trên ∆. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là:

(x − 1 ) + 2. [y − (− 3 )] = 0 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 b) Đường thẳng l vuông góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến là −→nl = (2; − 1 ). Phương trình tổng quát của đường thẳng l là: 2 (x − 4 ) − 1 (y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y − 6 = 0

Bài 6. Trong mặt phảng Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc bằng − 3 và A (1; 2) nằm trên d. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d. Lời giải. Đường thẳng dcó hệ số góc bằng − 3 nên có vec-tơ pháp tuyến là (3; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2) và có vec-tơ pháp tuyến là (3; 1) nên có phương trình tổng quát là: 3 (x − 1 ) + 1 (y − 2 ) = 0 ⇔ 3 x + y − 5 = 0

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A (2; − 5 ) và nó tạo với trục Ox một góc 60 ◦.

Lời giải. Hệ số góc của đường thẳng d là k = tan 60◦ =

√ 3 3.

Phương trình đường thẳng d là: y =

√

3

(x − 2 ) − 5 ⇔ √ 3 x − 3 y − 15 − 2

√

3 = 0

Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y = 2 x + 1 , viết phương trình đường thẳng d′ đi qua điểm B là điểm đối xứng của điểm A (0; − 5 ) qua đường thẳng d và song song với đường thẳng y = − 3 x + 2.

Lời giải. Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên ta có: kAB. 2 = − 1 ⇔ kAB = −

1

2 .

Phương trình đường thẳng AB là: y = −

1

2

(x − 0 ) − 5 ⇔ y = −

1

2

x − 5.

Vì A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d nên trung điểm N của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.

Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:







y = 2 x + 1

y = −

1

2

x − 5

⇒ N

Å

−

12 5 ;

−

19

5

ã . Từ đó ta tính

1.. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 175

được A

Å

−

24 5 ;

−

13

5

ã . Đường thẳng d′ song song với đường thẳng y = − 3 x + 2 nên kd′ = − 3.

Phương trình đường thẳng d′ là: y = − 3

Å

x +

24

5

ã −

13

5

⇔ y = − 3 x − 17

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − 3 y + 1 = 0 và điểm A (−1; 3).Viết phương trình đường thẳng d′ đi qua A và cách điểm B (2; 5) khoảng cách bằng 3.

Lời giải. Phương trình d′ có dạng: ax + by = c = 0. Do A ∈ d′ nên: (− 1 ) a + 3 b + c = 0 ⇔ c = a − 3 b (1).

Hơn nữa d (B, d′) = 3 ⇔ |

2 a + 5 b + c| √ a 2 + b 2

\= 3 (2).

Thay (1) vào (2) ta có:

| 3 a + 2 b| √ a 2 + b 2

\= 3 ⇔ 5 b 2 − 12 ab = 0 ⇔





b = 0

b =

12 a 5 Với b = 0 thay vào (1) ta có c = a ⇒ d′ : ax + a = 0 ⇔ d′ : x + 1 = 0

Với b =

12 a 5

ta chọn a = 5 , b = 12 thay vào (1) ta được: c = 5 − 3. 12 = − 31 ⇒ d′ : 5x + 12 y − 31 = 0

Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 5) và cách đều A (−1; 2) và B (5; 4).

Lời giải. Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là ax + by + c = 0

(

a 2 + b 2 6 = −

)

(1).

Do M (2; 5) ∈ d nên ta có: 2 a + 5 b + c = 0 ⇔ c = − 2 a − 5 b. Thay c = − 2 a − 5 b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2 a − 5 b = 0 (2). Vì d cách đều hai điểm A và B nên: |(− 1 ) a + 2 b − 2 a − 5 b| √ a 2 + b 2

\=

| 5 a + 4 b − 2 a − 5 b| √ a 2 + b 2

⇔ | 3 a + 3 b| = | 3 a − b| ⇔ 9 a 2 + 18 ab + 9 b 2 = 9 a 2 − 6 ab +

b 2 ⇔ 8 b 2 + 24 ab = 0 ⇔

ñ b = 0 b = − 3 a

.

Trường hợp 1: Với b = 0 thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: ax + 0 y − 2 a − 5. 0 = 0 ⇔ ax − 2 a = 0 ⇔ x − 2 = 0 Trường hợp 2: Với b = − 3 a ta chọn a = 1 , b = − 3 thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: 1 x − 3 y − 2 − 5. (− 3 ) = 0 ⇔ x − 3 y + 13 = 0

Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng

Cho các đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và ∆′ : A′x + B′y + C′ = 0. Khi đó ta có −→n = (A, B) và −→ n′ = (A′, B′) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của ∆ và ∆′.

Để xét vị trí tương đối của ∆ và ∆′ trước hết ta dựa vào các véc-tơ −→n và

−→

n′ . Nếu các véc-tơ −→n và

−→

n′ không cộng tuyến thì ∆ và ∆′ cắt nhau. Nếu véc-tơ −→n và

−→

n′ cộng tuyến, nghĩa là

A

A′

\=

B

B′

thì ∆ và ∆′ là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Cụ thể ta có: ∆ cắt ∆′ khi và chỉ khi

A

A′

6 =

B

B′

, hơn nữa nếu AA′ + BB′ = 0 thì ∆⊥∆′.

∆ ≡ ∆′ khi và chỉ khi

A

A′

\=

B

B′

\=

C

C′

.

∆ ‖ ∆′ khi và chỉ khi

A

A′

\=

B

B′

6 =

C

C′

.

Nếu ∆ cắt ∆′ và gọi φ là góc giữa các đường thẳng ∆, ∆′ thì cos φ = | cos(−→n.

−→

n′ )|

Chú ý rằng việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng được xét qua số điểm chung của ∆ và ∆′. Việc xét vị trí tương đối và tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau cũng được thực hiện qua các véc-tơ chỉ phương của ∆ và ∆′.

1.. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 177

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 11. Tìmm sao cho hai đường thẳng ∆ : x + 5 my − 4 = 0 và ∆′ : 2x + 3 y − 2 = 0 song song với nhau.

Lời giải. ∆ ‖ ∆′ ⇔

1

2 \=

5 m 3

⇔ m =

3

10 .

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 đường thẳng d 1 : 2 x + y − 4 = 0 , d 2 : 5 x − 2 y + 3 = 0 , d 3 : mx + 3 y − 2 = 0. a) Xét vị trí tương đối giữa d 1 và d 2. b) Tìm giá trị của tham số m để 3 đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải. a) Nhận thấy

2

5

6 \=

1 − 2

, từ đó suy ra các đường thẳng d 1 , d 2 cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d 1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:

® 2 x + y − 4 = 0 5 x − 2 y + 3 = 0

⇔







x =

5

9

y =

26

9 .

Vậy d 1 và d 2 cắt nhau tại điểm M

Å

5 9; 26 9

ã .

Vì d 1 , d 2 , d 3 đồng quy nên M ∈ d 3 , ta có: m.

5

9 + 3.

26

9

− 2 = 0 ⇔ m = − 12

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆ 1 : x + 2 y − √ 2 = 0 và ∆ 2 : x − y = 0. Tính côsin của góc giữa các đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2.

Lời giải. Ta có −→n = (1; 2) và

−→

n′ = (1; − 1 ) là véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng ∆ và ∆′. Gọi φ là góc giữa các đường thẳng ∆ và ∆′. Khi đó

cos φ = | cos(−→n ,

→−

n′ )| =

√

10 .

Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆ : 3x+ 5 y+ 15 = 0 và ∆′ :

®

x = 10 − 3 t y = 1 + 5 t

.

Tính góc φ giữa ∆ 1 và ∆ 2. Lời giải. Ta có −→n = (3; 5) là một véc-tơ pháp tuyến của ∆. −→ u′ = (−3; 5) là một véc-tơ chỉ phương của ∆′, suy ra ∆′ có véc-tơ pháp tuyến

−→

n′ = (5; 3).

Do −→n.

−→

n′ = 0 ⇒ ∆⊥∆′.

Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng ∆ : x + 2 y − 5 = 0 , ∆′ : 3x + my − 1 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng ∆, ∆′ bằng 45 ◦. Lời giải. ∆ : x + 2 y − 5 = 0 có véc-tơ pháp tuyến −→n = (1; 2),

∆′ : 3x + my − 1 = 0 có véc-tơ pháp tuyến

−→

n′ = (3; m).

Theo bài ra ta có: cos 45◦ =

∣

∣−→n .

−→

n′

∣

|−→n |.

∣

−→

n′

∣

\=

| 3 + 2 m| √ 5

√

32 + m 2

.

Từ đó suy ra

ñ m = 1 m = − 9

Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x 0 ; y 0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức

d (M, ∆) =

|Ax 0 + By 0 +C| √ A 2 + B 2

178 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Ví dụ 12. Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng (D) : 4x + 3 y − 2 = 0.

Lời giải. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có

d(M, D) =

| 4 · 1 + 3 · 2 − 2 |

√

42 + 32

\=

8

5 .

Ví dụ 13. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆ : 2x+y− 1 = 0 và có khoảng cách đến (D) : 4x+ 3 y − 10 = 0 bằng 2.

Lời giải. Giả sử có điểm M ∈ ∆, khi đó M(m; 1 − 2 m).

Theo đề d(M, ∆) = 2 ⇔ |

4 m + 3 ( 1 − 2 m) − 10 | √ 42 + 32

\= 2 ⇔ | − 2 m − 7 | = 10

⇔

ñ 2 m + 7 = 10 2 m + 7 = − 10

⇔







m =

3

2

m = −

17

2 .

Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện là M 1

Å

3 2;

− 2

ã và M 2

Å

−

17 2 ; 18

ã .

Ví dụ 14. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A( 1 , − 3 ) và có khoảng cách đến điểm M 0 ( 2 , 4 ) bằng 1.

Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; − 3 ) có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k(x − 1 ) ⇔ kx − y − k − 3 = 0.

Theo đề ta có d(M 0 , ∆) =

| 2 k − 4 − k − 3 | √ k 2 + 1

\= 1 ⇔ |k − 7 | =

√

k 2 + 1 ⇔ (k − 7 ) 2 = k 2 + 1

⇔ k 2 − 14 k + 49 = k 2 + 1 ⇔ 14 k = 48 ⇔ k =

24

7 .

Vậy phương trình ∆ : 24x − 7 y − 45 = 0.

Ví dụ 15. Viết phương trình của đường thẳng (D) song song với (D′) : 3x + 4 y − 1 = 0 và cách (D′) một đoạn bằng 2.

Lời giải. Đường thẳng (D) ‖ (D′) nên phương trình đường thẳng (D) : 3x + 4 y + c = 0. Lấy điểm M(−1; 1) ∈ (D′), theo đề ta có:

d(D, D′) = d(M, D) = 2 ⇔ | −

3 + 4 + c| 5

\= 2 ⇔ |c + 1 | = 10 ⇔

ñ c = 9 c = − 11

.

Với c = 9 ta có D : 3x + 4 y + 9 = 0. Với c = − 11 ta có D : 3x + 4 y − 11 = 0.

Ví dụ 16. Cho điểm A(− 1 , 2 ) và hai đường (∆) : x − y − 1 = 0 , (∆′) : x + 2 y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng (∆) một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (∆′) bằng AM.

Lời giải. Ta có M ∈ ∆, suy ra M(m, m − 1 ). −→ AM = (m + 1; m − 3 ) ⇒ AM =

√

(m + 1 ) 2 + (m − 3 ) 2 =

√

2 m 2 − 4 m + 10.

Theo đề

|m + 2 (m − 1 ) − 5 | √ 5

\=

√

2 m 2 − 4 m + 10 ⇔ | 3 m − 7 | =

√

5 ( 2 m 2 − 4 m + 10 )

⇔ ( 3 m − 7 ) 2 = 10 m 2 − 20 m + 50 ⇔ m 2 + 22 m + 1 = 0 ⇔ m = − 11 ± 2

√

30.

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 1 (− 11 − 2

√

30; − 12 − 2

√

30 ) và M 2 (− 11 + 2

√

30; − 12 + 2

√

30 ).

Ví dụ 17. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M( 1 , 1 ) một khoảng bằng 2 và cách điểm M′( 2 , 3 ) một khoảng bằng 4.

180 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của góc do ∆ 1 và ∆ 2 tạo thành

Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai điểm M(xM; yM), N(xN ; yN ) 6 ∈ ∆. Khi đó:

M, N nằm cùng phía so với ∆ khi và chỉ khi (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0.

M, N nằm khác phía so với ∆ khi và chỉ khi (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0.

Để viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC‘ ta có nhiều cách. Dưới đây là 3 cách thường sử dụng: Cách 1: Dựa vào tính chất đường phân giác là tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB : ax + by + c = 0 và AC : mx + ny + p = 0 , ta có:

|ax + by + c| √ a 2 + b 2

\=

|mx + ny + p| √ m 2 + n 2

Hai đường thu được là phân giác trong và phân giác ngoài của góc ABC‘. Sau đó, ta cần dựa vào vị trí tương đối của hai điểm B,C với hai đường vừa tìm được để phân biệt phân giác trong, phân giác ngoài. Cụ thể, nếu B,C ở cùng một phía thì đó là phân giác ngoài, ở khác phía thì là phân giác trong.

Cách 2: Lấy B′,C′ lần lượt thuộc AB, AC sao cho:

−→ AB′ =

1 AB

.

−→

AB;

−→

AC′ =

1 AC

.

−→

AC.

Giả sử

−→

AD =

−→

AB′ +

−→

AC′ Khi đó tứ giác AB′DC′ là hình thoi. Do đó,

−→

AD là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm.

A

B

B′

C

C′

D

Cách 3: Giả sử −→u = (a; b) là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm. Ta có:

cos(

−→

AB, −→u ) = cos(

−→

AC, −→u ) ⇔

−→

AB.−→u ∣ ∣ ∣

−→

AB

∣

\=

−→

AC.−→u ∣ ∣ ∣

−→

AC

∣

Ví dụ 18. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC biết A(1; 1), B(4; 5), C(−4; − 11 ).

Lời giải. Cách 1. Ta có phương trình các cạnh:

AB : 4x − 3 y − 1 = 0; AC : 12x − 5 y − 7 = 0

Phương trình hai đường phân giác góc A là:

 

4 x − 3 y − 1 5

\=

12 x − 5 y − 7 13 4 x − 3 y − 1 5

\= −

12 x − 5 y − 7 13

⇔

ñ 4 x + 7 y − 11 = 0 (d 1 ) 56 x − 32 y − 24 = 0 (d 2 )

Ta có:

( 4 xC + 7 yC − 11 ) ( 4 xB + 7 yB − 11 ) < 0

Do đó B,C khác phía so với (d 1 ) hay (d 1 ) là đường phân giác cần tìm.

Cách 2. Ta có

−→

AB = (3; 4); AB = 5;

−→

AB′ =

1

5 −→

AB =

Å

3 5 ; 4 5

1.. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 181

−→

AC = (−5; − 12 ); AC = 13;

−→

AC′ =

1

13 −→

AC =

Å

−

5 13 ;

−

12

13

Ta có:

−→

AB′ +

−→

AC′ =

Å

14 65;

−

8

65

ã .

Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là: −→u = (7; − 4 ). Do đó phương trình đường phân giác cần tìm là: 4 (x − 1 ) + 7 (y − 1 ) = 0 ⇔ 4 x + 7 y − 11 = 0

Cách 3. Giả sử −→u = (a; b) là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm.

Ta có

−→

AB.−→u ∣∣ ∣

−→

AB

∣∣

∣

\=

−→

AC.−→u ∣∣ ∣

−→

AC

∣∣

∣

⇔

3 a + 4 b 5

\=

− 5 a − 12 b 13

⇔ a = −

7

4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

Bài 16. Tính khoảng cách từ điểm M(3; 5) đến đường thẳng ∆ : x + y + 1 = 0.

Lời giải. Ta có d(M, ∆) =

| 3 + 5 + 1 |

√

12 + 12

\=

9 √

2 \=

9 √

2 .

Bài 17. Tính khoảng cách từ điểm M(4; − 5 ) đến đường thẳng ∆ :

®

x = 2 t y = 2 + 3 t

.

Lời giải. Viết phương trình dưới dạng tổng quát ∆ : 3x − 2 y + 4 = 0.

Khi đó d(M, ∆) =

| 3 · 4 − 2 · (− 5 ) + 4 |

√

32 + 22

\=

26 √

13 \= 2

√

13.

Bài 18. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: A(−2; 14), B(4; − 2 ),C(5; − 4 ).

Lời giải. Ta có

−→

BC = (1; − 2 ) ⇒ BC =

√

Phương trình đường thẳng BC đi qua B có dạng 2 (x − 4 ) + 1 (y + 2 ) = 0 ⇔ 2 x + y − 6 = 0.

Đường cao AH của tam giác ABC: AH =

| 2 (− 2 ) + 14 − 6 |

√

5 \=

4 √

5 .

Do đó SABC =

1

2 · AH · BD =

4 √

5 · √ 5

10

\= 2 (đvdt)

Bài 19. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng ∆ :

®

x = 3 t y = 2 + 4 t

,t ∈ R và cách

đường thẳng ∆ một khoảng bằng 3. Lời giải. Vì (D) ‖ ∆ nên phương trình đường thẳng (D) có dạng: (D) : 4x − 3 y + c = 0. Chọn điểm M(0; 2) ∈ ∆, theo đề ta có

d(M, ∆) =

| 4 · 0 − 3 · 2 + c| 5

\= 3 ⇔ |c − 6 | = 15 ⇔

ñ c = 21 c = − 9

.

Vậy có hai phương trình thỏa mãn là (D 1 ) : 4x − 3 y + 21 = 0 và (D 2 ) : 4x − 3 y − 9 = 0.

Bài 20. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 3) và cách điểm B(−2; 1) một khoảng bằng 3. Lời giải. Giả sử −→n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường thẳng có dạng: a(x − 1 ) + b(y − 3 ) = 0 ⇔ ax + by − a − 3 b = 0

Khi đó:

d(B;∆) = 3 ⇔ | −

2 a + b − a − 3 b| √ a 2 + b 2

\= 3 ⇔ 5 a 2 − 12 ab = 0 ⇔





b = 0

b =

12

5 1.. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 183

Cạnh AB qua điểm P(9; 1) và song song với MN nên nhận véc-tơ

−−→

MN = (2; 10) làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình cạnh AB là:

x − 9 2

\=

y − 1 10

⇔ 5 x − y − 44 = 0. Tương tự, ta có phương trình cạnh BC là: x + y − 2 = 0. Phương trình cạnh AC là: x − 5 y + 44 = 0.

Gọi các đường trung trực kẻ từ M, N, P theo thứ tự là (dM), (dN ), (dP). Đường thẳng (dM) qua điểm M(−1; − 1 ) và vuông góc với PN nên nhận véc-tơ

−→

PN = (8; − 8 ) làm véc-tơ pháp tuyến. Ta có phương trình đường thẳng (dM) là: x − y = 0. Tương tự, (dN ) : 5x + y − 14 = 0. (dP) : x + 5 y − 14 = 0.

Ví dụ 21. Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(2; 2), các đường cao xuất phát từ các đỉnh B, C có phương trình lần lượt là x + y − 2 = 0 và 9 x − 3 y − 4 = 0. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải. Theo giả thiết ta có phương trình các đường cao: BH : x + y − 2 = 0 , CK : 9x − 3 y − 4 = 0.

Lập phương trình cạnh AC. Cạnh AC là đường thẳng qua A và vuông góc với BH nên phương trình AC có dạng: x − y + c = 0. Do A(2; 2) ∈ AC nên 2 − 2 + c = 0 ⇔ c = 0. Vậy phương trình AC là: x − y = 0.
Phương trình cạnh AB. Cạnh AB vuông góc với CK nên phương trình cạnh AB có dạng: 3 x + 9 y + m = 0. Do A(2; 2) ∈ AB ⇔ 3. 2 + 9. 2 + m = 0 ⇔ m = − 24. Phương trình cạnh AB là: 3 x + 9 y − 24 = 0 ⇔ x + 3 y − 8 = 0.
Phương trình cạnh BC: Ta có C = CK ∩ AC nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: ® x − y = 0 9 x − 3 y − 4 = 0

⇒ C

Å

2 3; 2 3

ã .

Lại có: B = AB ∩ BH nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình ® x + y − 2 = 0 x + 3 y − 8 = 0

⇔

®

x = − 1 y = 3

⇒ C(−1; 3).

Phương trình cạnh BC qua hai điểm B và C nên có phương trình: x − xC xB − xC

\=

y − yC yB − yC

⇔

x + 1 2 3

+ 1

\=

y − 3 2 3

− 3

⇔ 7 x + 5 y − 8 = 0.

Ví dụ 22. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5 x − 3 y + 2 = 0 , các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4 x − 3 y + 1 = 0 ; 7 x + 2 y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.

Lời giải. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

® 5 x − 3 y + 2 = 0 (AB) 4 x − 3 y + 1 = 0 (AH)

⇔

®

x = − 1 y = − 1

⇒ A(−1; − 1 )

184 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Cạnh AC qua A(−1; − 1 ) và vuông góc với BH : 7x + 2 y − 11 = 0 có phương trình:

2 (x + 1 ) − 7 (y + 1 ) = 0 ⇔ 2 x − 7 y − 5 = 0 (AC)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: ® 5 x − 3 y + 2 = 0 7 x + 2 y − 22 = 0

⇔

®

x = 2 y = 4

⇒ B(2; 4)

Cạnh BC qua B(2; 4) và vuông góc vớiAH : 4x − 3 y + 1 = 0 có phương trình:

3 (x − 2 ) + 4 (y − 6 ) = 0 ⇔ 3 x + 4 y − 22 = 0 (BC)

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: ® 2 x − 7 y − 5 = 0 3 x + 4 y − 22 = 0

⇔

®

x = 6 y = 1

⇒ C(6; 1)

Đường cao CH qua C(6; 1) và vuông góc với AB : 5x − 3 y + 2 = 0 có phương trình:

3 (x − 6 ) + 5 (y − 1 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y − 23 = 0

Ví dụ 23. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; − 1 ), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3 x − 4 y + 27 = 0 và x + 2 y − 5 = 0.

Lời giải. Cạnh BC là đường thẳng qua B(2; − 1 ) và vuông góc với phân giác 3 x − 4 y + 27 = 0 nên có phương trình: 4 (x − 2 ) + 3 (y + 1 ) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 5 = 0. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

® 4 x + 3 y − 5 = 0 x + 2 y − 5 = 0

⇔ C(−1; 3)

A

B H C

K

Đường phân giác ứng với phương trình x + 2 y − 5 = 0 có véc-tơ chỉ phương: −→v = (2; − 1 ).

Ta có: tan(

−÷→

CB, −→v ) = tan(

−→÷

v ,

−→

CA) (1)

Biết

−→

CB = (−3; 4),

−→

CA = (xA + 1; yA − 3 ).

Do đó ( 1 ) ⇔

3 − 8

− 6 − 4

\=

2 (yA − 3 ) + (xA + 1 ) 2 (xA + 1 ) − (yA − 3 )

⇔

1

2 \=

xA + 2 yA − 5 2 xA − yA + 5

⇔ yA = 3.

Ta có: yA − yC = 3. Vậy phương trình đường AC là y = 3. Thay yA = 3 vào 3 x − 4 y + 27 = 0 , ta có: A(−5; 3).

Suy ra

−→

AB = (7; − 4 ).

Phương trình cạnh AB là: 4 (x + 5 ) + 7 (y − 3 ) = 0 ⇔ 4 x + 7 y − 1 = 0.

Ví dụ 24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong (AD) : x−y = 0 , đường cao (CH) : 2x + y + 3 = 0 , cạnh AC qua M(0; − 1 ), AB = 2 AM. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.

Lời giải.

B D C

H

N

M

K

186 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

5 a + 7 b − 31 = 0

Tọa độ M là nghiệm của hệ:

®

5 a − 2 b = 4 5 a + 7 b = 31

⇔

®

a = 2 b = 3

⇒ B(2; 3)

Phương trình cạnh BC là BC : 3x + 2 y − 12 = 0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 23. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(−4; − 5 ) và hai đường cao có phương trình là: 5 x + 3 y − 4 = 0 và 3 x + 8 y + 13 = 0. Lời giải. Đáp số: AB : 3x − 5 y − 13 = 0 ; BC : 8x − 3 y + 17 = 0 ; AC : 5x + 2 y − 1 = 0.

Bài 24. Cho △ABC, biết đỉnh C(4; − 1 ), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình tương ứng là (d 1 ) : 2x − 3 y + 12 = 0 và (d 2 ) : 2x + 3 y = 0. Lập phương trình các cạnh của △ABC. Lời giải.

(d 1 ) (d 2 )

A B

H

C

M

Lập phương trình cạnh BC. Vì BC ⊥ (d 1 ) nên phương trình (BC) có dạng: − 3 x − 2 y + c = 0 (1) Vì C ∈ (BC) nên: (− 3 ). 4 − 2 .(− 1 ) + c = 0 ⇔ c = 10. Thay c = 10 vào ( 1 ) ta được phương trình (BC) : 3x + 2 y − 10 = 0.
Lập phương trình cạnh AC. Ta có điểm A = (d 1 ) ∩ (d 2 ) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ® 2 x − 3 y + 12 = 0 2 x + 3 y = 0

⇒ A(−3; 2)

Phương trình đường thẳng (AC) qua hai điểm A(−3; 2) và C(4; 1) là: x + 3 4 + 3

\=

y − 2 − 1 − 2

⇔ (AC) : 3x + 7 y − 5 = 0.

Lập phương trình cạnh AB. Gọi M là trung điểm của BC, khi đó điểm M = (d 2 ) ∩ (BC).

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

®

3 x + 2 y − 10 = 0 2 x + 3 y = 0

⇒ M(6; 4).

Tọa độ điểm B được xác định bởi: ® xB + xC = 2 xM yB + yC = 2 yM

⇔

®

xB = 2 xM − xC yB = 2 yM − yC

⇔

®

xB = 8 yB = − 7

Phương trình đường thẳng (AB) qua hai điểm A(−3; 2) và B(8; − 7 ) là: x − 8 − 3 − 8

\=

y + 7 2 + 7

⇔ 9 x + 11 y + 5 = 0

Bài 25. Cho tam giác ABC, biết A(1; 3) và hai trung tuyến có phương trình là x − 2 y + 1 = 0 và y − 1 = 0. Lập phương trình các cạnh của △ABC. Lời giải.

1.. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 187

(d 2 ) (d 1 )

A

B

C

G

A′

Để có được phương trình các cạnh của △ABC ta đi xác định tọa độ điểm B, C.

Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua trọng tâm G của △ABC, khi đó:

®

A′B ‖ (d 1 ) A′C ‖ (d 2 )

.

Suy ra: Điểm B là giao điểm của (A′B) và (d 2 ). Điểm (C) là giao điểm của (A′C) và (d 1 ). Vậy ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:

Gọi G là trọng tâm △ABC, khi đó tọa độ của G là nghiệm của hệ: ® x − 2 y + 1 = 0 y − 1 = 0

⇒ G(1; 1).

Điểm A′ là điểm đối xứng với A qua G, tọa độ của A′ được cho bởi: ® xA′ = 2 xG − xA yA′ = 2 yG − yA

⇒ A′(1; − 1 )

Tìm tọa độ điểm B. Đường thẳng A′B qua điểm A′(1; − 1 ) và song song với đường thẳng d 1 nên nhận véc-tơ

−→

CG = (2; 1)

làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng A′B là:

x − 1 2

\=

y + 1 1

⇔ x − 2 y − 3 = 0.

Điểm B = A′B ∩ d 2 , tọa độ điểm B là nghiệm hệ:

®

x − 2 y − 3 = 0 y − 1 = 0

⇒ B(5; 1).

Tương tự, ta có C(−3; − 1 ).
Phương trình đường thẳng AC qua hai điểm A(1; 3) và C(−3; − 1 ) là: x − 1 − 3 − 1

\=

y − 3 − 1 − 3

⇔ x − y + 2 = 0.

Tương tự ta có: phương trình cạnh AB là: x + 2 y − 7 = 0 ; Phương trình cạnh BC là: x − 4 y − 1 = 0.

Bài 26. Cho tam giác ABC có phân giác của góc A có phương trình là: d 1 : x + y + 2 = 0 ; đường cao vẽ từ B có phương trình là d 2 : 2x − y + 1 = 0 , cạnh AB qua M(1; − 1 ). Tìm phương trình cạnh AC của tam giác.

Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; − 1 ), đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3 y − 1 = 0. Lời giải. Phương trình đường thẳng d qua H(−1; − 1 ) và vuông góc với ∆ : x − y + 2 = 0 có dạng 1 (x + 1 ) + 1 (y + 1 ) = 0. Giao điểm I của d và ∆ là nghiệm của hệ phương trình: ® x + y + 2 = 0 x − y + 2 = 0

⇒ I(−2; 0)

2.. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 189

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

I. Tóm tắt lý thuyết

Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, phương trình đường tròn nhận điểm I(a; b) làm tâm và có bán kính R là

(x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2.

Dạng khác của phương trình đường tròn

Phương trình dạng x 2 + y 2 − 2 ax − 2 by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi

a 2 + b 2 − c > 0

Khi đó, tâm là I(a; b), bán kính là R =

√

a 2 + b 2 − c.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Sau đây, ta có 2 công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn (công thức tách đôi).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2 tại điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đường tròn là (x 0 − a).(x − a) + (y 0 − a).(y − a) = R 2.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn x 2 + y 2 − 2 ax − 2 by + c = 0 tại điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đường tròn là x 0 x + y 0 y − a(x 0 + x) − b(y 0 + y) + c = 0.

Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là

−→

IM = (x 0 − a; y 0 − a).

II. Các dạng toán

Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Phương pháp giải:

Cách 1. Đưa phương trình về dạng: (C) : x 2 + y 2 − 2 ax − 2 by + c = 0 (1). Xét dấu biểu thức P = a 2 + b 2 − c.
Nếu√ P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính R = a 2 + b 2 − c.
Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2. Đưa phương trình về dạng: (x − a) 2 + (y − b) 2 = P (2).
Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R =

√

P.

Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.

190 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Ví dụ 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).

x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 9 = 0 (1).

x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 13 = 0 (2).

2 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 4 y − 1 = 0 (3).

2 x 2 + y 2 + 2 x − 3 y + 9 = 0 (4).

Lời giải.

Phương trình (1) có dạng x 2 + y 2 − 2 ax − 2 by + c = 0 với a = −1; b = 2; c = 9. Ta có a 2 + b 2 − c = 1 + 4 − 9 < 0. Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

Ta có: a 2 + b 2 − c = 9 + 4 − 13 = 0. Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

Ta có: ( 3 ) ⇔ x 2 + y 2 − 3 x − 2 y −

1

2 \= 0 ⇔

Å

x −

3

2

ã 2 + (y − 1 ) 2 =

5

2 .

Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I

Å

3 2; 1

ã bán kính R =

√

10

2 .

Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x 2 và y 2 khác nhau.

Ví dụ 2. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).

x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 (1).

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x + 8 y + 14 = 0 (2).

Lời giải.

Ta có:







− 2 a = 2 − 2 b = − 6 c = − 15

⇒







a = − 1 b = 3 c = − 15

⇒ a 2 + b 2 − c = 25 > 0.

Vậy phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I (−1; 3) và bán kính R = 5.

Ta có: ( 2 ) ⇔ x 2 + y 2 + 2 x + 4 y + 7 = 0 ⇒







− 2 a = 2 − 2 b = 4 c = 7

⇒







a = − 1 b = − 2 c = 7

⇒ a 2 + b 2 − c = − 2 < 0.

Vậy phương trình (2) không là phương trình của đường tròn.

Ví dụ 3. Cho phương trình x 2 + y 2 − 2 mx − 4 (m − 2 )y + 6 − m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để ( 1 ) là phương trình đường tròn.

Lời giải. Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a 2 + b 2 − c > 0 , với a = m; b = 2 (m − 2 ); c = 6 − m.