Cách bấm máy vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SƯ PHẠMBỘ MÔN SP TOÁN HỌC------------LUẬN VĂN TỐT NGHIỆPGIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM PHƯƠNGTRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH CASIOVÀ MAPLEGiáo viên hướng dẫnTS. Nguyễn Thư HươngSinh viên thực hiệnNguyễn Chí TâmMSSV: 1110064Lớp: SP Toán K37Cần Thơ, 2015LỜI CẢM ƠNQua thời gian học tập tại Trường Đại học Cần Thơ đã giúp em tích lũy thêm nhiềukiến thức bổ ích, đặc biệt là những kiến thức của các Thầy Cô trong Bộ môn Toáncủa Khoa Sư phạm, với những kiến thức đó là hành trang để sau này để em nghiêncứu những vấn đề nhỏ và gần nhất đây là luận văn tốt nghiệp. Em xin gởi lời cảm ơnchân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Nguyễn Thư Hương đã tậntình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài luận văn này. Và em cũng xingởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thànhluận văn.Do thời gian và phần kiến thức của bản thân còn hạn chế nên khó tránh khỏithiếu sót. Hy vọng sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô và bạnbè.Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả mọi người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em thựchiện luận văn cuối khóa.Sinh viên thực hiệnNguyễn Chí TâmiMỤC LỤCTrangLỜI CẢM ƠN.....................................................................................................iMỤC LỤC............................................................................................................iiDANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................iiiDANH MỤC CÁC HÌNH.................................................................................iiiPHẦN MỞ ĐẦU..................................................................................................11. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...............................................................................12. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ..........................................................................13. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .......................................................................14. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU...............................................................15. NỘI DUNG LUẬN VĂN ...........................................................................1PHẦN NỘI DUNG........................................................................................3Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN..................................................................31.1 Khái nệm chung về phương trình vi phân....................................................31.2 Phương trình vi phân cấp một ......................................................................31.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy................................41.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một.................................51.3 Phương trình vi phân cấp hai........................................................................61.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai...............................61.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng.......71.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai......................81.4 Phương trình vi phân Euler.............................................................................91.5 Hệ phương trình vi phân.................................................................................. 10ii1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính............................................................... 111.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất......................................... 111.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất............................ 151.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng................................ 18Chương II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNGTRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN............................................. 222.1 Các phương pháp giải gần đúng cho phương trình vi phân........................ 222.1.1 Phương pháp Euler......................................................................................222.1.2 Phương pháp Euler cải tiến........................................................................272.1.3 Phương pháp Runge – Kutta......................................................................312.1.4 Phương pháp Adams...................................................................................402.2 Các phương pháp gi ải gần đúng cho hệ phương trình vi phân..................432.2.1 Phương pháp Euler.....................................................................................432.2.2 Phương pháp Runge-Kutta........................................................................44Chương III: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA..................................................473.1 Giải phương trình vi phân bằng máy tính fx- 570ES..........................473.2 Giải phương trình vi phân bằng Maple 16 ..............................................58PHẦN KẾT LUẬN.......................................................................................... .....81TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................82iiDANH MỤC CÁC BẢNGBảng 2.1 Công thức Runge-Kutta cho phương trình vi phân với trường hợpm=4....................................................................................................................... 37Bảng 2.2 Công thức Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân với trường hợpm=4........................................................................................................................ 46Bảng nghiệm 3.1.................................................................................................48Bảng nghiệm 3.2.................................................................................................49Bảng nghiệm 3.3.................................................................................................51Bảng nghiệm 3.4.................................................................................................53Bảng nghiệm 3.5.................................................................................................54Bảng nghiệm 3.6.................................................................................................56DANH MỤC CÁC HÌNHHình 2.1 Minh họa cho phương pháp Euler...................................................26Hình 2.2 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ nhất......................28Hình 2.3 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ hai.........................31Hình 2.4 Minh họa cho phương pháp Runge-Kutta cho trường hợp m=4..38iiiPHẦN MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIHiện nay, cùng sự phát triển của khoa học kỹ thuật và tất nhiên Toán học cũng ngàycàng phát triển mạnh mẽ, và đặc biệt hơn là sự phát triển của Toán Ứng dụng. Như tađã biết nhờ vào phương pháp giải tích ta giải được nghiệm đúng của phương trình viphân. Tuy nhiên, có nhiều trường hợp phương pháp giải tích không tìm được nghiệmđúng của phương trình vi phân. Do đó, ta cần tìm nghiệm gần đúng của nó. Giải gầnđúng phương trình vi phân là mảng đề tài quan trọng của Toán Ứng dụng. Và ngàynay với sự tiến bộ của công nghệ máy tính thì việc giải gần đúng phương trình vi phânđã trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn. Với sự yêu thích và gợi ý của CôNguyễn Thư Hương, em đã chọn được đề tài “ Giải gần đúng nghiệm phương trình viphân trên máy tính casio và maple” và hoàn thành đề tài.2. PHẠM VI NGHIÊN CỨULuận văn trình các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân thườngcó điều kiện ban đầu (bài toán Cauchy), ứng dụng máy tính Casio fx  570ES vàMaple 16 vào việc giải gần đúng cho phương trình trên.3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU-Nghiên cứu lý thuyết về việc giải gần đúng một số phương trình vi phân.-Nghiên cứu về việc ứng dụng máy tính vào việc giải gần đúng phương trình viphân.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU-Tổng hợp, phân tích một số nội dung lý thuyết phương trình vi phân và việc giảigần đúng phương trình vi phân.-Chứng minh làm rõ một số định lý quan trọng.-Đánh giá các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân.5. NỘI DUNG LUẬN VĂNLuận văn gồm ba chương:1Chương 1: Kiến thức cơ bảnTrình bày tổng hợp một số kiến thức về phương trình vi phân và hệ pương trình viphân.Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng cho phương trình và hệ phươngtrình vi phânTrình bày các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân như là:Phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất, Euler cải tiến thứ hai và phương phápRunge-Kutta.Chương 3: Các ví dụ số minh họaGiải một số ví dụ cho phương pháp được trình bày nêu trên nhờ vào máy tínhCasio fx  570ES và Maple 16 .2PHẦN NỘI DUNGChương I:KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1 Khái niệm chung về phương trình vi phân Định nghĩa 1.1Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x, ẩn hàm y và các đạohàm y, y,..., y  n của nó.Dạng tổng quát:F x, y, y,..., y  n  0,(1.1) Phương trình (1.1) có thể khuyết biến độc lập x và ẩn hàm y nhưng bắt buộcphải có đạo hàm của hàm ẩn. Cấp của phương trình vi phân bằng đạo hàm cấp cao nhất của hàm ẩn. Hàm y    x  được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó thỏa điềukiện:o Hàm y    x  liên tục và khả vi đến cấp n trên khoảng I nào đó.o x  I thì điểm x,   x  ,   x  ,...,   n  x   G với G là miền xác địnhcủa F.o F x,   x  ,   x  ,..., n x    0, x  I Đường biểu diễn nghiệm y    x  của (1.1) được gọi là đường cong tích phâncủa phương trình vi phân.1.2 Phương trình vi phân cấp một Định nghĩa 1.2Phương trình vi phân cấp một có dạng:3F  x, y, y   0,(1.2)trong F được xác định trên miền G nào đó, ở đây ta xét G 3.Nếu trong G phương trình (1.2) giải được y , thì phương trình (1.2) có dạng:y  f  x, y  ,Hàm y    x  là nghiệm của phương trình vi phân cấp một nếu:F  x,   x  ,   x    01.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán CauchyBài toán Cauchy: y  f  x, y  y  xo   y0 ,(1.3)trong đó f là hàm xác định trên miền G  G 2, x , y00cho trước.Ta sẽ chỉ điều kiện của hàm f để bài toán (1.3) có nghiệm duy nhất.Điều kiện Lipschitz:Hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschiz theo y trong miền G, nếu với bất kì hai điểm x, y1  ,  x, y2  thuộc miền G, ta luôn có:f  x, y1   f  x, y2   L y1  y2 ,trong đó L là hằng số và L  0 .Nhận xét 1.1:Hàm f có đạo hàm riêng theo biến y và giới nội (bị chặn) trong miền G thì sẽ thỏađiều kiện Lipschiz.4Thật vậyVì f y  x, y  bị chặn nên L  0 : f y  x, y   LTheo định lý giá trị trung gian thì:f  x, y1   f  x, y2   f y  x,   y1  y2  L y1  y2 ,với  nằm giữa y1 và y2 .Định lí 1.1 (định lí Picard):Giả sử trong miền G hàm f liên tục theo biến x và thỏa điều kiện Lipschiz theo biếny (hoặc f có đạo hàm theo y và giới nội). Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm của phươngtrình vi phân (1.3) và nghiệm này xác định trong một khoảng  x0  , x0    , trng đó  0.Định lí 1.2 (định lí Peano):Giả sử trong miền G hàm f giới nội và liên tục. Khi đó tồn tại ít nhất một đườngcong tích phân của phương trình (1.3).Nhận xét 1.2:Đường cong tích phân đi qua điểm  x0 , y0  trong một lân cận khá bé của x0 . Đâychính là cơ sở của phương pháp giải gần đúng của phương trình vi phân bằng phươngpháp đường gấp khúc Euler.1.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp mộtNghiệm tổng quát: Là nghiệm có dạng hàm y    x, C  và thỏa phương trình (1.2)với C là hằng số.Nghiệm riêng: Là nghiệm mà tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏamãn, tức C được xác định cụ thể.5Nghiệm kì dị: Là nghiệm mà tại mọi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toánCauchy bị phá vỡ.1.3 Phương trình vi phân cấp hai Định nghĩa 1.3Phương trình vi phân cấp hai có dạng:F  x, y, y, y   0 ,(1.4)trong đó F là hàm bắt buộc phải có y .Giả sử phương trình (1.4) có thể giải được y khi đó (1.4) được ghi dưới dạng:y  f  x, y, y  Định nghĩa 1.4Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng:y  p  x  y  q  x  y  f  x  ,(1.5)trong đó p  x  , q  x  , f  x  là các hàm theo biến x .Phương trình (1.5) nếu f  x   0 thì ta được phương trình vi phân tuyến tính thuầnnhất.Nếu f  x   0 thì phương trinh (1.5) được gọi là phương trình vi phân tuyến tínhkhông thuần nhất.1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp haiDạng:y  p  x  y  q  x  y  0Định lí 1.3: Cấu trúc nghiệm6(1.6)Giả sử y1  x  , y2  x  là nghiệm của phương trình (1.6) và y1  x  , y2  x  độc lập tuyếntính trên  a, b  . Khi đó nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:y  x   C1 y1  x   C2 y2  x  với C1 ,C2 là hằng số.Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.6): Tìm một nghiệm y1  x   0 . Nghiệm tổng quát của (1.6) được tìm theo công thức.ey  x   C1 y1  x   2dx  C2 y1  x  , C1 , C2 là hằng số.y1  x  p  x  dx1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằngay  by  cy  0,Dạng:(1.7)với a, b, c là hằng số và a  0.Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.7):Xét phương trình đặc trưng:a2  b  c  0(1.8) Nếu phương trình (1.8) có hai nghiệm phân biệt 1 và  2 thì nghiệm tổng quátcủa (1.7) có dạng:y  x   C1e x  C2e x , C1 , C2 là hằng số.12 Nếu phương trình (1.8) có nghiệm kép 1   2 thì nghiệm tổng quát của (1.7)có dạng:y  x    C1  xC2  e x , C1 , C2 là hằng số.1 Nếu phương trình (1.8) vô nghiệm thì nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng:y  x   ex  C1 cos x  C2 sin x  với C1 , C2 là hằng số, trong đób,2a7b 2  4ac2a.1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp haiy  p  x  y  q  x  y  f  x  ,Dạng:(1.9)trong đó p  x  , q  x  , f  x  là các hàm theo biến x có nhiều dạng khác nhau tùy vàobài toán.Nhận xét 1.3:Nếu ta tìm được nghiệm y1  x  , y2  x  của phương trình (1.6) hai nghiệm này độc lậptuyến tính trên  a, b  và nghiệm riêng y*  x  của (1.9) thì nghiệm tổng quát của (1.9)có dạng: y  x   C1y1 x  C 2y 2 x   y * xvới C1 , C2 là hằng số.Phương pháp nghiệm của phương trình (1.9):Ta sẽ đưa ra cách làm chung với hàm f tùy ý chứ không xét riêng các dạng củahàm f. Tìm nghiệm y1  x  , y2  x  độc lập tuyến tính của (1.6). Tìm nghiệm riêng (1.9) dưới dạng y*  x   C1 x  y1 x  C 2 x y 2 x  . Lấy đạo hàm hai vế nghiệm riêng:y*  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x  ,Ta chọn C1  x  , C2  x  sao cho: C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   0 .y*  x   C1  x  y1 x   C2  x  y2  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x  ,Vì y*  x  là nghiệm nên ta có: C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   f  x  . Tìm nghiệm C1  x  , C2  x  của hệ:C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   0,C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   f  x sau đó lấy nguyên hàm C1  x  , C2  x  .81.4 Phương trình vi phân Euler Dạng tổng quát:a0 x n y (n)  a1 x n1 y (n 1)  ...  an1 xy  an y  0trong đó a0 , a1 ,..., an là các hằng số. Xét dạng cấp hai:ax2 y  bxy  cy  0(1.10)Phương pháp tìm nghiệm phương trình (1.10):Ý tưởng là ta sẽ đưa về dạng phương trình tuyến tính với hệ số hằng bằng cách đặt:x  et nếu x  0(*)và x  e nếu x  0(**)tTa xét trường hợp (*), trường hợp (**) tương tự. Ta có:dt etdxdy dy dtdyy   et dx dx dxdt2 d y dy y  e 2t  2  dt  dt(***)Khi đó, ta thay (***) vào phương trình (1.10), ta được: d 2 y dy dya  e 2t  e 2t  2    b  et  e  t   cy  0dt dt dt d 2 y dy dy a  2    b   cy  0dt dt dtd2ydy a 2   b  a    cy  0dtdtĐặt: b  a  b1 , ta được:d2ydya 2  b1  cy  0dtdt9(1.11)Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Nên ta chỉ cần tìmnghiệm tổng quát của phương trình (1.11) sau đó ta thay t  ln x ta được nghiệmtổng quát của phương trình (1.10).1.5 Hệ phương trình vi phân Định nghĩa 1.5Hệ phương trình vi phân cấp một là hệ có dạng: F1  x, y1, y2 ,..., yn   0, F2  x, y1, y2 ,..., yn   0,.................................. F  x, y, y ,..., y   0.12n n(1.12)Trong trường hợp hệ (1.12) giải ra các đạo hàm ta có dạng hệ sau và hệ này đượcgọi là hệ chuẩn tắc. y1  f1  x, y1 , y2 ,..., yn  , y2  f 2  x, y1 , y2 ,..., yn  ,.................................... y  f  x, y , y ,..., y  .n12n n(1.13)y1 , y2 ,..., yn là các hàm theo x cần tìm.f1 , f 2 ,..., f n là các hàm cho trước xác định trong miền G của không gian n  1chiềun1. Số n được gọi là bậc của hệ (1.13). Hệ n hàm khả vi y1  x  , y2  x  ,..., yn  x  xác định trên khoảng  a, b  đượcgọi là nghiệm của hệ (1.12) tên khoảng đó nếu khi thay chúng vào hệ (1.12)ta được đồng nhất thức với mọi x  (a,b) .Tập hợp   x, y  x  , y  x  ,..., y  x  x   a, b  được gọi là đường cong tích12nphân.10Bài toán cauchy: Cho điểm  x0 , y10 , y20 ,..., yn0   G .Tìm nghiệm y1  x  , y2  x  ,..., yn  x  của hệ (1.12) thỏa điều kiện ban đầu:y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,..., yn  x0   yn0Cũng tương tự như bài toán cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 thì bài toánCauchy đối với hệ cũng có duy nhất nghiệm.1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhấtDạng: dy1 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ...  a1n  x  yn , dy2  a  x  y  a  x  y  ...  a  x  y ,2112222nn dx................................................................. dyn  a x y  a x y  ...  a x y .n1   1n2   2nn   n dx(1.14)Hệ (1.14) ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau:dY A x YdxTrong đó: dy1  dx  a11  x  a12  x  a1n  x   y1 y  dy2 axaxaxdY.222nY   2 ;  dx  ; A  x    21  dx ......................................  axaxax yn n2nn n1 dyn  x 11(1.15)Khi đó, nếu hệ phương trình có dạng: dy1 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ...  a1n  x  yn  f1  x  ,dy 2  a21  x  y1  a22  x  y2  ...  a2 n  x  yn  f 2  x  , dx................................................................................ dyn  a x y  a x y  ...  a x y  f xn1   1n2   2nn   nn  dx(1.16)thì ta gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.Ta đặt: f1  x  fx,F  x    2 f n  x  thì hệ (1.14) được viết dưới dạng ma trận:dY A x Y  F  x dx(1.17)với aij  x  , fi  x  i, j  1, 2,..., n là các hàm liên tục của x trong khoảng  a, b  . Rõràng trong đoạn bất kỳ  ,     a, b  thì hệ (1.17) thỏa mãn điều kiện tồn tại và duynhất nghiệm. Với hệ (1.17) nếu xác định giá trị ban đầu x , y , y ,..., y 001020nvớix0   a, b thì hệ sẽ tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng  a, b  .Để thuận lợi cho việc nghiên cứu các tính chất của hệ phương trình tuyến tính ta đưara định nghĩa toán tử vi phân tuyến tính như sau:L Y  dY A  x Y .dx12Khi đó hệ (1.14) có dạng: L Y   0 và hệ (1.18) có dạng: L Y   F  x  .Các tính chất của toán tử tuyến tính L :oL CY   CL Y  với C là hằng số tùy ý.o L Y1  Y2   L Y1   L Y2 .Hệ quả 1.1: Từ hai tính chất trên ta được:L  CiYj    Ci L Y j  ,trong đó Ci là các hằng số tùy ý.Định lý 1.4 (định lí về nghiệm tổng quát): Nếu Yi i  1,2,..., m  là nghiệm của hệphương trình L Y   0 thì Z   CiYi (với Ci là các hằng số tùy ý,  i  1, 2,..., m  )mi 1cũng là nghiệm của hệ phương trình đó.a) Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và các định lý liên quanGiả sử ta có các vector Y1 , Y2 ,..., Yn xác định trên  a, b  với: y1i  x  y2 i  x  Yi ,  i  1, 2,..., n  . yni  x  Khi đó ta nói các vector trên là phụ thuộc tuyến tính trên  a, b  nếu tồn tại cáci  i  1, 2,.., n  sao cho:1Y1   2Y2  ...   nYn  0,(1.18)với mọi x   a, b và có ít nhất một số  i  0 . Ngược lại, các vector trên được gọi làđộc lập tuyến tính trên  a, b  nếu đồng nhất thức (1.18) chỉ đúng khi  i  0 với mọii  1,2,...,n .13Ta thấy rằng đồng nhất thức (1.18) tương đương với hệ n đồng nhất thức sau:1 y11   2 y12  ...   n y1n  0 y   y  ...   y  0 1 212 22n 2n............................................1 yn1   2 yn 2  ...   n ynn  0.Do đó để có ít nhất một số  i  0 thì định thức:W Y1 , Y2 ,..., Yn  y11 y12y1ny21 y22y2 nyn1 yn 2ynn 0.Ta gọi định thức W Y1 , Y2 ,..., Yn  là định thức Wronski.Định lý 1.5: Nếu n vector Y1 , Y2 ,..., Yn phụ thuộc tuyến tính trên khoảng  a, b  thìW Y1 , Y2 ,..., Yn   0 trên khoảng đó.Định lý 1.6: Nếu định thức Wronski W Y1 , Y2 ,..., Yn  của nghiệm Y1 , Y2 ,..., Yn của hệphương trình L Y   0 , với các hệ số aij  x  liên tục trên  a, b  , bằng không ít nhấttại một điểm x  x0 thuộc khoảng  a, b  thì nghiệm Y1 , Y2 ,..., Yn phụ thuộc tuyến tínhtrên khoảng đó và do đó W Y1 , Y2 ,..., Yn   0 trên khoảng  a, b  .b) Hệ nghiệm cơ bản Định nghĩa 1.6:Hệ n nghiệm riêng độc lập tuyến tính Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  của hệ phương trìnhL Y   0 được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đó.Nhận xét 1.4: Đối với hệ phương trình L Y   0 thì luôn tồn tại hệ nghiệm cơ bảnvì ta chỉ cần chọn nghiệm riêng Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  sao cho W Y1 , Y2 ,..., Yn   0tại điểm x0 nào đó thuộc khoảng  a, b  .14Hệ nghiệm cơ bản Y1 , Y2 ,..., Yn sao cho yij  x    ij  i, j  1, 2,..., n  trong đó  ij là kíhiệu Kronecker: ij  1, i  j ij  0, i  j ,được gọi là hệ nghiệm chuẩn tắc.Định lý 1.7: Nếu Y1 , Y2 ,..., Yn (trong đó n là số phương trình của hệ) là hệ nghiệm cơbản của hệ L Y   0 thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình đó là:nY   CiYi ,i 1trong đó Ci  i  1, 2,...n  là các hằng số tùy ý.Công thức Ostrogradski-Louivile-Jacobi:xW  x   W  x0  e a11   a22  ... ann   dx0trong đó W  x   W Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x   và x0 thuộc khoảng  a, b  .1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhấtDạng:ndyi  aij  x  y j  f i  x ,  i  1, 2,..., n dx j 1(1.19)Dạng ma trận:dX A  x Y  F  x .dxa) Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất15Định lý 1.8: Nếu Y là nghiệm của hệ phương trình (1.19) và Y là nghiệm của hệphương trình thuần nhất L Y   0 thì tổng Y  Y1 là nghiệm của hệ (1.19).Chứng minh:Ta dễ dàng chứng minh định lý 1 dựa vào tính chất của toán tử tuyến tính:L Y  Y   L Y   L Y Mà: L Y   F  x  và L Y   0Do đó: L Y  Y   F  x  Định lý 1.9: Nghiệm tổng quát Y của phương trình tuyến tính không thuần nhất trênkhoảng  a, b  (các hệ số aij  x   i, j  1, 2,..., n  và các hàm số f i  x   i  1, 2,..., n  ởvế phải liên tục trên  a, b  ) bằng tổng của nghiệm tổng quát C Y của hệ L Y   0ni 1i itương ứng và nghiệm riêng Y của hệ không thuần nhất dang xét, tức là:nY   CiYi Y .i 1Định lý 1.10: (Nguyên lý chồng chất nghiệm).mTổng C Y củai 1i icác nghiệm Yi của hệ phương trình L Y   Fi  i  1, 2,..., m  là f1i  x  mfx 2i  .nghiệm của hệ phương trình L Y    Fi  x  , trong đó F  x   i 1 f ni  x  Thật vậy, ta có:mm  nL   Yi    L Yi    Fi (tính chất của toán tử L). i 1 i 1  i 116b) Phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệmPhương pháp gồm hai bước: Bước 1: Ta tìm nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất tương ứng. Ta được nghiệmnY   CiYitổng quát là:(1.20)i 1 Bước 2: Xem các Ci là các hàm của x: Ci  Ci  x  và chọn các Ci sao choY   Ci  x  Yi thỏa mãn hệ phương trình L Y   F  x ni 1Vậy ở bước 2 ta chỉ cần tìm được cách chọn Ci :Thật vậy:Ta lấy vi phân hai vế của (1.20) theo x, ta được:n dC x   Y  n C x  dYi  n dCi  x   Y  A x n C x  YdY i  i   iii idx i 1 dxdx i 1 dxi 1i 1nndY A Ci  x   Yi  F  Do i  AYi ; Y   Ci  x   Yi dxi 1i 1Do đó:ni 1dCi  x  Yi  FdxKhi đó, ta được hệ phương trình sau: n dCi  x  y1i  f1  x dxi 1 n dCi  x  y2 i  f 2  x  i 1 dx.................................. n dCi  x  yni  f n  x  . i 1 dxTa thấy rằng: định thức của hệ cũng là định thức Wronski W Y1 , Y2 ,..., Yn   0 nên hệcó duy nhất nghiệm:17ni 1dCi  x  Yi  i  x dx i  1, 2,..., n Lấy tích phân hai vế ta được:Ci  x    i  x dx  Ci  i  1, 2,..., n  , với Ci là hằng số tùy ý.Thay các Ci  x  vào (1.20) ta được:nnnY    i  x dx  Ci Yi    i  x dx Yi   CiY .i 1i 1i 11.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằngDạng:ndyi  aij y j  f i  x ,  i  1, 2,..., n dx j 1(1.21)Dạng ma trận:dY AY  F ,dx f1  x   a11 a12 a1n a afxa,221222n , F  x với A   và các aij là các hằng số....................... aaann  n1 n 2 f n  x  Nếu fi  x   0 với mọi i  1, 2,...,n thì hệ (1.21) được gọi là hệ thuần nhất với hệ sốhằng.Tức là hệ có dạng:18 dy1 dx  a11 y1  a12 y2  ...  a1n yn , dy2  a y  a y  ...  a y ,21 122 22n n dx............................................... dyn  a y  a y  ...  a y .n1 1n2 2nn n dx(1.22)Phương pháp giải hệ (1.22):Ta tìm nghiệm Y  x  dưới dạng:kx y1  1e  y   kx eY  x   2    2  ,     kx  yn   n e các aij  i  1, 2,..., n  là các hằng số cần tìm.Ta thay các giá trị y1 , y2 ,...,yn vào (1.22) (vì Y  x  là nghiệm của hệ), ta được: a11  k  1  a12 2   a1n n  0a211   a22  k  2   a2 n n  0a   a     a  k   0.nnn n1 1 n 2 2(1.23)Các 1 , 2 ,..., n không đồng thời bằng không thì định thức sau phải bằng không,tức là:a11  ka21an1a12a1na22  ka2 nann  kan 219 0,(1.24)Phương trình (1.24) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (1.22). Phương trình (1.24) có n nghiệm thực khác nhau:k1 , k 2 ,..., kn . Khi đó ta có nghiệm:kx y1i  1i e y   2i ek x 2i Yi  x  , i  1, 2,..., n      kx yni   ni e iiivà các nghiệm Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  độc lập tuyến tính.nDo đó nghiệm tổng quát của hệ là: Y  x    CiYi  x  , Ci là các hằng số.i 1 Phương trình (1.24) có cặp nghiệm phức đơn:k j  p  iqk j  p  iq,  j  1, 2,..., n Nếu với nghiệm k j  p  iq ta có nghiệm Yj : p iq  x 1 j e px  cos q  i sin q   y1 j  1 j e    p iq  xy 2 j e  2 j e px  cos q  i sin q 2jYj  x   ,  j  1, 2,..., n      pxpiqx ynj   nj e  nj e  cos q  i sin q  Khi đó bằng cách thay các nghiệm vào hệ (1.24) ta sẽ tìm được các  ij . Sau đó tatách phần thực và phần ảo ta suy ra được hệ nghiệm cơ bản của hệ.Trường hợp k j  p  iq tương tự.20