Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ấy. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì DE luôn đi qua một điểm cố định.
Show
Chủ đề: Học toán lớp 9 Hình học lớp 9 Chuyên đề - Đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner (lớp 9) Bạn Hoàng Phúc Nguyên hỏi ngày 08/08/2014.
Các bài liên quan
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.  2.Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực). 3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp. - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác. - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. - Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau. 4. Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếpCông thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích của 3 cạnh tam giác chia bốn lần diện tích: Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc B Công thức tính bán kính đường tròn ngọi tiếp của góc C 5. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácXác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác + Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB - Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau: - Cách 1 + Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R + Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình - Cách 2: + Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác. + Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. - Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền 6. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácViết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau: + Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm) + Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c + Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm. + Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình: => Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c. Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm. 7. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácCho tam giác ABC Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC 8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giácDạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5) Cách giải: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình: Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là: Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn cách giảiGọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có: Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1) Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách giải: Ta có: Áp dụng công thức Herong: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: VD 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu? Cách giải: Áp dụng định lý Pytago ta có: PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm. Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP. => Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP. Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm. VD 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? Cách giải Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác. Suy ra: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. ∆ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng là đường cao. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có: CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm. Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm. Suy ra: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm. VD5: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN=6 cm, N P=8 cm,. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu? Giải: Đáp án bài tập 1 Áp dụng định lý Pytago ta có: Gọi D là trung điểm Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp 9. Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácBài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K. a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm. a, Chứng minh rằng tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó b, Cho bán kính đường tròn tâm I là 2cm góc BAC = 500. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF 1. Định nghĩa đường trònĐường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu (O;R), là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R. + Nếu A nằm trên đường tròn (O;R) thì OA=R + Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA<R + Nếu A nằm ngoài đường tròn (O;R) thì OA>R. 2. Định lí về sự xác định một đường trònQua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. 3. Tính chất đối xứng của đường tròna) Tâm đối xứng Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. b) Trục đối xứng Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn 4. Bài tậpVí dụ 1 :Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải + Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o. Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120odựng trên đoạn BC. ⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120odựng trên đoạn BC. Ví dụ 2 :Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( E nằm giữa A và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F. a. Chứng minh IF⊥ AB tại J b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn. Hướng dẫn giải a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB ⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB Mà BE giao AD tại I ⇒ I là trực tâm của tam giác AFB ⇒ IF là đường cao của tam giác AFB ⇒ IF⊥ AB tại J (đpcm) b. P, Q là trung điểm của AB và BF⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF ⇒ PQ // BF Mà AD BF ⇒ AD⊥ PQ R, Q là trung điểm IF và BF⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR. Ví dụ 3 :Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. Hướng dẫn giải ΔBAD có góc A bằng 90oA nằm trên đường tròn đường kính BD. ΔBED có góc E bằng 90o(E là hình chiếu của D lên BC)⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD. F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng của đường tròn). Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD. Ví dụ 4 :"Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét. Hướng dẫn giải Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ. Gọi H là trung điểm của PQ, ta có: + Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m. 3 cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn– Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn. – Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn. – Cách 3: Chứng minh hệ thứcMA2 = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp trongĐể chứng minh điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể dùng một trong 2 cách sau đây:
Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giácĐể chứng minh điểm O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có thể dùng một trong 2 cách sau đây:
Chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABCĐể chứng minh điểm O là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC ta:
|
