1.1. Định nghĩa 1 (định lý thuận)Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Show  Giả thiết: * M nằm trên tia phân giác của góc xOy * \(MA \bot Ox,\,MB \bot Oy\) Kết luận: * MA = MB 1.2. Định lý 2 (định lý đảo)Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Giả thiết: * M nằm trong góc xOy * \(MA \bot Ox,\,\,MB \bot Oy\) * MA = MB Kết luận: * M nằm trên tia phân giác của góc xOy. Nhận xét: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC. Giải Ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat A\)) (1) Suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_2}}\) Do đó \(\Delta IBC\) cân tại tại I nên IB = IC (2) Từ (1) và (2) ta có: \(\Delta IHC = \Delta IKB\) (cạnh huyền, góc nhọn) Nên IH=IK Vậy AI là phân giác của góc BAC. Ví dụ 2: Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có \(\widehat A = {90^0}\), B thuộc Ox, C thuộc Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy. Giải Vẽ \(AH \bot Ox,\,\,AK \bot Oy\) Xét \(\Delta KAC\) và \(\Delta HAB\) có: \(\widehat {KAC} = \widehat {HAB}\) (cùng phụ góc (CAH) AC = AB (gt) Nên \(\Delta KAC = \Delta HAB\) (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra AK = AH Vậy OA là tia phân giác của góc xOy. Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là phân giác củ góc BAC. Giải Ta có: Hạ \(DP \bot AB,DQ \bot AC\) Xét \(\Delta DBP\) và \(\Delta DCQ.\) Có \(\widehat P\) và \(\widehat Q = 1v\) DB – DC (gt) \(\widehat {BDP} = \widehat {CDQ}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Vậy \(\Delta DBP = \Delta DCQ\,\,(g.c.g)\) Suy ra DP = DQ Điều này chứng tỏ D nằm trên phân giác của góc BAC, tức là AD là phân giác của góc BAC.
Để chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 8 cách dưới đây.1. Chứng minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và $ \widehat{xoz}=\widehat{yoz}$ 2. Chứng minh $ \widehat{xoz}=\frac{1}{2}\widehat{xoy}$hay $ \widehat{yoz}=\frac{1}{2}\widehat{xoy}$
3. Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox và Oy. 4. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân. 5. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác. 6. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông. 7. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. 8. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Series Navigation<< 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB >>§5. TÍNH CHẤT TIA PHẦN GIÁC CỦA MỘT GÓC A. Tóm tắt kiến thức Định lí 1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. > => MA = MB (h.3.42) / M c B Hỉnh 3.42 xOz = zOy M e Oz MA 1 Ox ; MB 1 Oy Định lí 2 Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác BCD vuông cân tại D. Chứng minh AD là tia phân giác BAC . Giải. (h.3.43) Hạ DI 1 AB; DH 1 AC. Ta có DI//AC nên DI 1DH. Hình 3.43 -Xét ABDI và ACDH có: ĩ = H = 90°, BD = DC (gt) Dị = D3 (cùng phụ với Dọ ) nên ABDI = ACDH suy ra DI - DH do đó AD là tia phân giác cùa BAC . Nhận xét Vì chưa có khoảng cách từ D đến AB và AC nên việc vẽ DI và DH là suy luận tự nhiên. Sai lầm có thể mắc là BD = CD thì kết luận ngay AD là tia phân giác của BAC . Sai lầm ở chỗ DB và DC không vuông góc với AB và AC. c. Hưỏng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 31. Bài 32. Giải. M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy (hai khoảng cách đó bằng nhau vì đều là khoảng cách giữa hai cạnh song song cúa thước ). Vậy theo định lí 2, điểm M thuộc tia phàn giác của góc xOy và OM là tia phân giác của góc xOy. Giải, (h.3.44) Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài CBx và BCy. Kẻ KD1 Bx , KE 1 BC , KF 1 Cy. K thuộc tia phàn giác của góc CBx nên KD = KE (1). K thuộc tia phân giác của góc BCy nên KE = KF (2). Từ (1) và (2) suy ra KD = KF. Do đó K thuộc tia phân giác của góc A. Nhận xét. Muốn chứng minh điểm K thuộc tia phàn giác của góc A thì cẳn chứng minh K cách đều hai cạnh của góc A (KD = KF). Bài 33. Giải Ot và Ot' là các tia phân giác của hai góc kề bù xOy và xOy' nên tOt' = 90° . Chứng minh: xOt + xôt' = I xôy +1 xõy' = I (xôy + xOy') = 1.180° = 90° . Suy ra tót' = 90°. Nếu M thuộc tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Nếu M thuộc tia đối của tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox'.Oy' của góc x'Oy'. Vậy nếu M thuộc đường thẳng Ot thì M cách đều hai đường tháng xx' và yy'. Tương tự, nếu M thuộc đường thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'. Xét điểm M cách đều hai đường thẳng xx' và yyf: Nêu M nằm trong góc xOy thì M thuộc tia Ot. Nếu M nằm trong góc x'Oy' thì M thuộc tia đối của tia Ot. Nếu M năm trong góc xOy' thì M thuộc tia Ot'. Nếu M nằm trong góc x'Oy thì M thuộc tia đối của tia Ot'. Khi M = 0 thì khoáng cách từ M đến xx' và đến yy' đều bằng 0. Tập hợp các điếm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' là hai đường thẳng Ot và Ot', đó là các đường phân giác của các gồc tạo bới hai đường thẳng xx', yy'. Bài 34. Giai, (h.3.45) AOBC = AODA (c.g.c) => BC = AD. A OBC = A ODA (câu a) Hình 3:45 Cj - Aj IA = IC IB = ID. c2 — A 2. AIAB = AICD (g.c.g): , c) A IOA - A IOC (c.c.c) => O| = o7 OI là tia phân giác cúa góc xOy. Bài 35. Giải, (h.3.46) Cách 1. Áp dụng bài 34 (SGK), dùng thước vẽ các điếm A, B, c, D, I (xem hình vẽ ở bài 34). Tia OI là tia phàn giác của góc xOy. Cách 2. Dùng thước vẽ được các điểm A Hình 3.46 trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB. Dùng thước vẽ được trung điểm c của AB. AAOC = ABOC (c.c.c) => AOC = BOC nên oc cũng là đường phân giác của góc o. D. Bài tạp luyện thêm Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A, cắt Oy tại c. Đường vuông góc với Oy kẻ từ B, cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với Ox kẻ từ D, cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ từ c, cắt Ox tại F và cắt DE tại K. Chứng minh ba điểm o. I, K thắng hàng. Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phán giác góc A cắt BC tại D, tia phân giác góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh IH = IK. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB không chứa điếm c, vẽ tia Ax. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay sao cho xAB = yAC. Kẻ BD vuông góc với Ax (D e Ax), ké CE vuông góc với Ay (E e Ay). Đường thắng BD và CE căt nhau tại K. Chứng minh rằng KA là tia phân giác của DKE. Cho tam giác ABC có A = 120°, đường phân giác AD. kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC chứng minh tam giác DIK đều. Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số 1. (h.3.47) AOAC = AOBD (g.c.g) =>OD = OC. AOAI= AOBI (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => 1A = IB => I thuộc đường phân giác của xOy (1). AODK = AOCK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => KD = KC => K thuộc đường phân giác cua xOy (2). Từ (1) và (2) => I, K cùng thuộc đường phân giác của xOy =>O; I; K thẳng hàng. Nhận xét. Chúng ta có thêm một cách chứng minh những điểm thẳng hàng: Những điểm cùng nằm trên đường phân giác của một góc thì thắng hàng. 2. (h.3.48) Kẻ IE 1AD, ta có BAC = 120° => IAH = 60°, AD là tia phân giác BAC nên DAC = ị BAC = 60°. 2 Suy ra DAC - CAx, hay AC là tia phân giác của ADx nên IH = IE. DI là tia phàn giác của góc ADC nên IK = IE. Suy ra IH = IK. Nhận xét. Khi giải các bài toán về đường phân giác, bạn nên chú ý đến đường phân giác trong và ngoài của tam giác. AD là đường phân giác cua BAC => A, = = IbTc = 60° ; DI = DK. 1 - ? Tam giác AID có Âị = 60°; Ấĩò = 90° => D, = 30° Tam giác ADK có A ọ = 60°; AKD = 90° => D2 = 30° => IDK = DÌ + dỊ = 60° . Tam giác DIK có DI = DK: IDK = 60° =>tam giác DIK là tam giác đều. |
